O B A OCOD OA = OB Les points O,C et A sont alignés. Les points O,D et B sont alignés. Les droites (CD) et (AB) sont parallèles. On aimerait démontrer que : CD
1ère étape : d d’ Les droites d et d’ sont parallèles. EF HIJK Que peut-on dire de l’aire des triangles : EHFEIFEJFEKF
Aire de EFH
d d’ EF hhh Aire de EFJ : JH Base hauteur 2 EF h 2 = Aire de EHF : Base hauteur 2 EF h 2 = EFJ et EHF ont bien la même aire.
O B A C D donc les triangles CDA A C D A C D A C D et CDB B C D B C D B C D B C D (CD) et (AB) sont parallèles A C D B C D ont la même aire…. ….CD x e 2 e
OO A C D B C D ACD et CBD ont la même aire Si on « ajoute » à tous deux le triangle OCD Alors ODA et OCB ont la même aire
Aire de OCD OC h 1 2 = Aire de ODA OA h 1 2 = Aire de OCD OD h 2 2 = Aire de OCB OB h 2 2 = A O O C D B C D h1h1 h2h2 ODA et OCB ont la même aire
Aire de OCD OC h 1 2 = Aire de OAD OA h 1 2 = Aire de OCD OD h 2 2 = Aire de OCB OB h 2 2 =OO A CD B C D h1h1 h2h2 Donc Aire de OCD Aire de OAD Aire de OCD Aire de OCB = =
Aire de OCD OC h 1 2 = Aire de OAD OA h 1 2 = Aire de OCD OD h 2 2 = Aire de OCB OB h 2 2 =OO A CD B C D h1h1 h2h2 Aire de OCD Aire de OAD Aire de OCD Aire de OCB = OC h 1 2 OD h 2 2 OA h 1 2 OB h 2 2 = soit
OC h 1 2 OD h 2 2 OA h 1 2 OB h 2 2 Puis en simplifiant les fractions…. = OCOD OA = OB Il reste :
OCOD OA = OB On a bien démontré que : O B A C D