PUISSANCES D’UN NOMBRE I LES PUISSANCES DE 10 Une année lumière: environ neuf mille milliards de kilomètres 9 000 000 000 000 km Masse du soleil : deux milliards de milliards de tonnes 2 000 000 000 000 000 000 t La population mondiale: Six milliards, huit cent trois millions, deux cent trente et un milles, quatre cent quatre-vingt-dix personnes 6803231490 Un micron: un millionième de mètre. 0,000 001 m Rayon de l’atome d’hydrogène : cinq dix milliardièmes de centimètres 0,000 000 000 5 cm

Remarques : a) Ces écritures ne sont pas faciles à utiliser. ♦ On peut oublier des zéros ou en rajouter ♦ Ils ne rentrent pas dans la calculatrice ♦ Ils sont difficiles à lire ♦ Et si il faut faire des opérations cela ne sera pas facile b) Il existe une écriture qui va nous permettre d’écrire plus simplement ces nombres.

Définition des puissances de 10 a) Exposant positif 100 = 10 ×10 = 10² 3 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 4 10 000 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 On lit «  10 exposant 4 » ou « 10 puissance 4 » L’exposant indique le nombre de zéros après le 1 n 10n = 10 ……………..0 n zéros

b) Exposant négatif - 1 0,1 = 10 -2 0,01= 10 -3 0,001 = 10 -4 0,000 1 = 10 On lit « 10 exposant -4 » ou « 10 puissance -4 » L’exposant négatif indique le nombre de chiffres après la virgule n 10 -n = 0 , 0 …………………….1 n chiffres après la virgule

0,001= Les exposants négatifs et les nombres fractionnaires a) On retient : Exemples:

N’oublie pas… Puissance Exposant Coefficient numérique Base Coefficient littéral

II REGLES DE CALCUL 1° Produit de deux puissances Règle:

2° Quotient de deux puissances a) Exemples: b) Règle

Exemples ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ Attention!

3° Puissances d’une puissance. a) Exemples. b) Règle

Somme ou différence de deux puissances Ce n’est pas une puissance de 10 Attention! Il n’y a pas de règle générale pour additionner les puissances. Il faut revenir aux écritures décimales.

III PUISSANCES D’UN NOMBRE 1°Remarque: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 × 5 7 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 2° Définition a désigne un nombre relatif et n un entier positif non nul n a = a × a × ……………… × a n facteurs égaux à a Remarques : ♦ On lit a « puissance n » ou « a exposant n » ♦ a0 = 1 ♦ a1 = a

3° Calculs. a) Les puissances sont prioritaires sur les multiplications 5 × 32 = 5 × 9 = 45 b) Si l’exposant ou le nombre sont petits on calcule à la main ou de tête. 53 =125 25 =32 Sinon on utilise la calculatrice.

Touche puissance

ATTENTION -32 ( -3 )2 ♦ -32 = - 9 ♦ ( -3 )2 = ( -3 ) × ( -3 ) = 9 53 Ne pas confondre : -32 et ( -3 )2 1° ♦ -32 = - 3 × 3 = - 9 Seul 3 est au carré ♦ ( -3 )2 = ( -3 ) × ( -3 ) = 9 ( -3 ) est au carré 2° La puissance et le produit 53 = 5 × 5 × 5 = 125 5 × 3= 15

IV REGLES DE CALCUL ♦ an × am = a n+m ♦ an× bn = (ab)n ♦ (an)m=an×m 1° Puissances et produit. a) Produit de deux puissances d’un même nombre. 23 × 24 = 2×2×2 × 2×2 ×2 ×2 = 27 b) Produit de puissances de même exposant 23 × 53 = 2×2×2 ×5×5×5 = 2×5 × 2×5 × 2×5 = ( 2×5)3 c) Puissances d’une puissance. (73)2 = 73 × 73 = 7×7×7×7×7×7 = 76 d) Règles a,b étant des nombres relatifs ; m, n des entiers relatifs ♦ an × am = a n+m ♦ an× bn = (ab)n ♦ (an)m=an×m

e) Exemples: 1° cas (multiplication ayant la même base) 35×32=35+2=37 x3× x4× x = x3+4+1 = x8 2° cas (multiplication ayant différentes bases et le même exposant 32×52=(3×5)2=152 3° Une base composée entre des parenthèses (3x)2 = 32 × x2 = 9 × x2 = 9x2

2° Puissances et quotient a) Quotient de deux puissances d’un même nombre. b) Quotient de puissances de même exposant c) Règles a,b étant des nombres relatifs ; m un entier relatif.

Operations avec exposants Multiplie (x3)∙(x4) = (x ∙ x ∙ x) ∙ (x ∙ x ∙ x ∙ x) = (x ∙ x ∙ x ∙ x ∙ x ∙ x ∙ x) = x7 A5 ∙ A4 = Divise:

d) Exemples.

3° Exposants négatifs ♦ Donc : ♦ Règle. Soit a un nombre relatif non nul et n un entier positif ► est l’inverse de ►