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2 Les étapes 1- Fin 2002 : Mise en cohérence des programmes des disciplines scientifiques (commission BACH) 2- Eté 2004 : Parution du nouveau programme de 6ème Introduction générale / mise en œuvre : rentrée Eté 2005 : Parution des programmes de sciences du cycle central / textes sur les thèmes de convergence/ mise en œuvre : rentrée 2006 : 5ème, rentrée 2007 : 4ème 4- Eté 2006 : Parution des textes sur le socle commun : Réécriture des programmes dans la perspective du socle / nouveau programme de 3ème (mise en œuvre 2008)

3 Les objectifs généraux Comme dans les classes antérieures, l'enseignement des mathématiques renforce la formation intellectuelle des élèves, et concourt à celle du citoyen, en développant leur aptitude à chercher, leur capacité à critiquer, justifier ou infirmer une affirmation, et en les habituant à s'exprimer clairement aussi bien à l'oral qu'à l'écrit.

4 À la fin de cette classe terminale du collège, la maîtrise par les élèves de plusieurs types de savoirs est visée : dans le domaine des nombres et du calcul : calcul numérique (nombres entiers, décimaux et fractionnaires, relatifs ou non, proportionnalité) et premiers éléments de calcul littéral ; dans le domaine de lorganisation et la gestion de données : premiers éléments de base en statistique descriptive et en probabilité ; dans le domaine géométrique : figures de base et propriétés de configurations du plan et de l'espace ; dans le domaine des grandeurs et de la mesure : grandeurs usuelles, grandeurs composées et changements dunités ; dans le domaine des TICE : utilisation dun tableur- grapheur et dun logiciel de construction géométrique. Les savoirs visés

5 – poursuivre létude des paramètres de position dune série statistique, – aborder létude de paramètres de dispersion en vue dinitier les élèves à la lecture critique dinformations chiffrées. - approcher la notion de fonction ; - acquérir une première connaissance des fonctions linéaires et affines - synthétiser le travail conduit sur la proportionnalité dans les classes antérieures ; - poursuivre la mise en place de paramètres (de position et de dispersion) d'une série statistique; - envisager la notion de résumé statistique ; - mettre en pratique sur des exemples simples la notion de probabilité. dans la partie organisation et gestion de données, fonctions

6 – assurer la maîtrise des calculs sur les nombres rationnels, – amorcer les calculs sur les radicaux, – faire une première synthèse sur les nombres avec un éclairage historique et une mise en valeur de processus algorithmiques, – compléter les bases du calcul littéral et dapprocher le concept de fonction ; - assurer la maîtrise des calculs sur les nombres rationnels ; - faire une première synthèse sur les nombres avec un éclairage historique ; - amorcer les calculs sur les radicaux et de poursuivre les calculs sur les puissances ; - compléter les bases du calcul littéral et den conforter le sens, notamment par le recours à des équations ou des inéquations du premier degré pour résoudre des problèmes ; dans la partie nombres et calculs

7 – compléter la connaissance de propriétés et de relations métriques dans le plan et dans lespace, - compléter lapproche des transformations par celle de la rotation, - préparer loutil calcul vectoriel, qui sera exploité au lycée. - compléter la connaissance de propriétés et de relations métriques dans le plan et dans l'espace ; dans la partie géométrie

8 dans la partie grandeurs et mesures : - compléter les connaissances relatives aux aires et volumes ; - étudier des situations dans lesquelles interviennent des grandeurs composées, notamment du point de vue des changements dunités.

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10 Les documents d accompagnement en cours ou en projet 1- Résolution de problèmes : des procédures personnelles aux procédures expertes 2- Proportionnalité, fonctions 3- Organisation et gestion de données 4- Evolution des nombres tout au long du collège 5- Les différentes formes de calcul 6- Le passage du numérique au littéral 7- Justification, preuve, démonstration 8- Grandeurs et mesures 9- Géométrie

11 Les nombres et le calcul numérique

12 Le calcul numérique Un réel problème Les trois formes de calcul Progressivité des apprentissages Des situations qui donnent du sens aux nombres et aux opérations

13 Le calcul littéral

14 Les différents statuts de la lettre au cours des quatre années - Variation du statut en fonction de la tâche - Variation du statut au cours de la résolution dun même problème

15 Les expressions littérales

16 Deux situations détude Résoudre par l algèbre Démontrer en calcul littéral

17 Equations : Les différentes étapes au cours des quatre années

18 Démontrer dans le domaine du calcul littéral Une nécessité : - Distorsion non souhaitable entre le géométrique et le numérique dans la mise en place de la démonstration - Souligner les cohérences internes : par exemple, prouver des résultats sur les entiers avec le calcul littéral Exemples : - Sur un exemple générique : la somme de deux multiples d un nombre est un multiple de ce nombre. - La somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de 3 - Si d divise a et b alors d divise a-b et b…. - Document daccompagnementDocument daccompagnement

19 La géométrie

20 Deux problèmes récurrents : La formalisation dune démonstration - La rédaction obéit à des règles strictes de structuration. (appui sur les connecteurs de langage de la langue française) - Pas un seul modèle admissible - Problème des implicites (conventions liant l'émetteur et le récepteur) Importance des problèmes de construction - Les trois géométriesLes trois géométries

21 Organisation et gestion de données Fonction

22 L'un des objectifs est de faire émerger progressivement, sur des exemples, la notion de fonction en tant que processus faisant correspondre, à un nombre, un autre nombre. Les exemples mettant en jeu des fonctions sont issus de situations concrètes ou de thèmes interdisciplinaires. Les fonctions linéaires et affines apparaissent comme des exemples particuliers de tels processus. Introduction de le notion de fonction

23 Une boîte est fabriquée dans une plaque de carton carrée de côté 20 à partir du patron ci-contre (les parties vertes sont des découpes carrées de côté x). Déterminer le volume maximum que la boîte peut contenir. 20 x Pour travailler la notion de fonction : des problèmes d optimisation Un classique: le volume de la boîte

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25 Déterminer le triangle rectangle AMB inscrit dans le demi-cercle de diamètre AB dont le périmètre est maximum Pour travailler la notion de fonction : des problèmes d optimisation Un autre classique: le périmètre d un triangle rectangle x AB M 1 O h

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27 Un sauveteur, situé en S, se porte au secours dun nageur N en difficulté. En quel point P doit-il entrer dans l eau pour que la durée de l intervention soit la plus courte ? Pour travailler la notion de fonction : des problèmes d optimisation Un autre exemple : le sauvetage S P ? N Vitesse sur le sable : 12 km/h Vitesse dans leau : 6 km/h SH = 30 m NH = 10 m H

28 La précision au mètre est suffisante ! Si la durée est exprimée en secondes, le facteur k est 3600/ La fonction à étudier est : Le temps minimum dintervention est environ de 14 secondes

29 Statistiques

30 Région Bretagne Source : Recensement 1999

31 Probabilités du programme de 3 e

32 La nouveauté dans les programmes de 3 e les probabilités Le programme de la classe de troisième a pour objectif de permettre : dans la partie « organisation et gestion de données, fonctions » : - dapprocher la notion de fonction ; - dacquérir une première connaissance des fonctions linéaires et affines et de synthétiser le travail conduit sur la proportionnalité dans les classes antérieures ; - de poursuivre la mise en place de paramètres (de position et de dispersion) d'une série statistique et denvisager ainsi la notion de résumé statistique ; - de mettre en pratique sur des exemples simples la notion de probabilité ;...

33 Extrait du bandeau relatif au titre 1. Organisation et gestion de données, fonctions. Pour les séries statistiques, l'étude des paramètres de position est poursuivie : médiane et quartiles. Une première approche de la dispersion est envisagée. L'éducation mathématique rejoint ici l'éducation du citoyen : prendre l'habitude de s'interroger sur la signification des nombres utilisés, sur l'information apportée par un résumé statistique. De même, cest pour permettre au citoyen daborder lincertitude et le hasard dans une perspective rationnelle que sont introduits les premiers éléments relatifs à la notion de probabilité.

34 Contenus 1.4 Notion de probabilité [Thèmes de convergence] Compétences Comprendre et utiliser des notions élémentaires à propos des probabilités dans des contextes familiers dexpérimentation. Exemples dactivité, commentaires La notion de probabilité est abordée à partir de situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes). Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquelles les probabilités ne sont pas définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaison mais sont approximativement évaluées par les fréquences observées expérimentalement (approche fréquentiste des probabilités).

35 Exemples dactivité, commentaires La notion de probabilité est utilisée pour traiter des situations de la vie courante pouvant être modélisées simplement à partir des situations précédentes. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves. Il y aura un document daccompagnement portant spécialement sur les probabilités et leur enseignement en 3 e …

36 Les situations familières concernant les instruments produisant du hasard

37 G P En lançant un grand nombre de fois la punaise, on obtient une suite de G et de P. Pour un petit nombre dexpériences, cette suite ne semble suivre aucune loi ; mais le résultat global laisse apparaître une régularité dans la fréquence de sortie de P et de G. Au début, la fréquence (relative) du nombre de G varie très fortement. Mais à la longue, elle tend à se stabiliser autour dune valeur p [qui vaut à peu près 5/6]. Cest pour traduire ce fait empirique que lon dit que la probabilité dobtenir G est p. Pour le lancer de la punaise, on ne peut approcher cette probabilité que par lexpérimentation.

38 En revanche, pour les jeux évoqués précédemment, on peut obtenir la probabilité dun résultat (dune issue) par des considérations de symétrie ou de comparaison. Pour chacun des jeux, chacun des deux résultats possibles ont la même probabilité : 1/2 La probabilité dobtenir une boule jaune est 2/5. On a 3 chances sur 5 dobtenir une boule rouge. La probabilité de gagner est 1/4, …

39 Autres exemples : Chaque résultat a la même probabilité : 1/6. Les résultats 1, 2, 3, 4 et 5 ont respectivement comme probabilités : 1/3, 1/6, 1/4, 1/6 et 1/12. La probabilité dobtenir un résultat pair est 1/6 + 1/6, cest-à-dire 1/3.

40 Un tireur novice tire parfaitement au hasard sur la cible ci-contre. Tous les cercles sont concentriques et leurs rayons sont r, 2r, 3r, 4r, 5r et 6r. Quelles sont les probabilités pour le tireur datteindre chacune des régions 10, 9, …, 5 ? Réponse : 1/36, 3/36, 5/36, 7/36, 9/36, 11/36. Le même tireur tire parfaitement au hasard sur cette nouvelle cible. Tous les cercles sont concentriques et leurs rayons sont r, 2r, 3r, 4r, 5r et le carré a un côté de longueur 12r. Quelles sont les probabilités pour le tireur datteindre chacune des régions 10, 9, …, 5 ? Réponse : 0,022 ; 0,065 ; 0,109 ; 0,153 ; 0,196 ; 0,455.

41 Expériences à deux épreuves R B 1/4 3/ /6 1/2 1/3 Les résultats possibles sont (R, 1), (R, 2), (R, 3), (B, 1), (B, 2), (B, 3). Chacun de ces résultats est représenté dans larbre ci- contre par une branche (ou chemin). Comment évaluer la probabilité de chacun deux ? B R

42 Imaginons que lon reproduise 120 (ou N) fois lexpérience. 1/4 de ces expériences suivront la branche vers R, et parmi celles-ci 1/6 iront vers 1. Donc il y en aura : La fréquence (relative) du résultat (R, 1) est donc 5/120 (ou 1/24). Ceci conduit à admettre que, de manière générale, la probabilité dun chemin est égale au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.

43 On peut traiter avec ces représentations en arbres les questions relatives à deux tirages successifs dans une urne, avec remise ou sans remise. Urne avec 3 boules Bleues, 2 boules Jaunes, 1 boule Rouge Probabilité dobtenir deux boules de la même couleur. Tirages sans remise BB J R 1/6 1/3 1/2 J 2/5 B 3/5 R J B 1/5 3/5 R J B 1/5 2/5 P(E) = 1/3. 1/5 + 1/2. 2/5 = 4/15 27% Tirages avec remise 1/6 1/3 1/2 1/6 1/3 1/2 1/6 1/3 1/2 R R J J B B P(E) = 1/6. 1/6 + 1/3. 1/3 + 1/2. 1/2 = 7/18 39 %

44 Exemple tiré de larticle de Bernard Parzysz Un outil sous-estimé : larbre probabiliste. Bulletin de lAPMEP n° 372, pp 47-52, Scrutin Groupe I : électeurs de moins de 35 ans ; 38% de lensemble des électeurs. Groupe II : électeurs de 35 à 60 ans ; 43% de lensemble des électeurs. Groupe III : électeurs de plus de 60 ans ; 19% de lensemble des électeurs. Taux de participation : Groupe I : 81% Groupe II : 84% Groupe III : 69% On choisit un électeur au hasard. Quelle est la probabilité quil ait voté ? Quel est le taux de participation au scrutin ? 0,38 0,43 0,19 0,81 V Non V 0,84 I II III 0,69 V V Non V P = 0,38.0,81+ 0, ,19.0,69 0,80.