les points de Grothendieck Ce sont les points de Grothendieck qui font la musique G@B Guerino Mazzola

Le lemme de Yoneda dans le cadre conceptuel Théories fonctorielles de la musique Un regard grothendieckien sur Boulez

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Euclide d‘Alexandrie: punctus est cuius pars nulla est Alexandre Grothendieck introduction de l‘adresse

Luigi Pirandello Uno, nessuno e 105 (Gegnè) Luigi Pirandello Uno, nessuno e 105 (Gegnè)...vivo e intero, non più in me, ma in ogni cosa fuori.

Lemme de Yoneda Le foncteur @: C ® C@ : X ~> @X = hX = C(-, X) est pleinement fidèle: @: Hom(X,Y) ≈ Hom(@X,@Y) En particulier, X ≈ Y si et seuelement si @X ≈ @Y adresse C@ @C C

C@ est un topos! Ens (const.) produits cartésiens X  Y Mod@ F: Mod —> Ens préfaisceaux ont toutes ces propriétés Ens produits cartésiens X  Y réunions disjointes X È Y ensembles puissance XY charactéristiques c: X —> 2 pas d‘„algèbre“ @ (const.) C@ est un topos! Mod sommes directes A≈B possède de l‘„algèbre“ pas d‘ensembles puissance pas de charactéristiques

F T = 2 objet de vérité (booléen) pour ensembles  objet ponctuel d‘Euclide O = { }  II accord = morphisme de Ÿ12 dans objet de vérité F T Ÿ12 =

dénotateur nom forme coordonnée topos nom type/diagramme id

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= {do, mi, sol} = triade majeure  do = 0  (p) = 3p+7 Ÿ12 Accords circulaires do {do, (do), 2(do),...} = {do, mi, sol} = triade majeure sol  do = 0  (p) = 3p+7  mi 

x: O ® Ÿ12 x O O = { } x: Ÿ12 ® Ÿ12 z Ο12@Ÿ12 z: Ÿ12 ® Ÿ12 Thomas Noll 1995: modèle de l‘harmonie de Hugo Riemann: tons auto-adressés David Lewin Dan Tudor Vuza x O x: O ® Ÿ12 x: Ÿ12 ® Ÿ12 adresse ponctuelle d‘Euclide O = { } z: Ÿ12 ® Ÿ12 z Ο12@Ÿ12

David Lewin David Lewin („Generalized Musical Intervals and Transformations“ 1987) Dan Tudor Vuza („Sur le rythme périodique“ 1985) Les time spans t = (a, x) sont des transformations affines eax, i.e. des dénotateurs temporels auto-adressés t:—@Onset(eax) Dan Tudor Vuza 1 x a — x a 0 1

Trans(Dt,Tc) = < f  Ÿ12@Ÿ12 | f: Dt ® Tc > „consonances relatives“ Dt triade de dominante {sol, si, re} Tc triade de tonique {do, mi, sol} f Trans(Dt,Tc) = < f  Ÿ12@Ÿ12 | f: Dt ® Tc >

Ÿ12[e] T e.2.5 a + e.b  Ÿ12[e] Ke = Ÿ12 +e.{0,3,4,7,8,9} = consonances De = Ÿ12 +e.{1,2,5,6,10,11} = dissonances

Trans(Dt,Tc) = Trans(Ke,Ke)|ƒe Ÿ12 Ke, De ƒe ch.ad ch.ad Trans(Dt,Tc) = Trans(Ke,Ke)|ƒe Ÿ12 @ Ÿ12 Ÿ12 [e] @ Ÿ12 [e] ƒe Trans(Dt,Tc) Trans(Ke,Ke)

Exemple 1: Klumpenhouwer-nets de classes d‘hauteurs C = Ab groupes abeliens + applications affines Ÿ12 Ÿ12 3 7 2 4 3 7 T11.-1/Id T11.5/Id T4/Id T2/Id 2 4

Exemple 2: K-nets d‘accords C = Ab 2Ÿ12 {3,4,10} {2,7,8} 2T11.-1/Id 2T11.5/Id 2T4/Id 2T2/Id {1,2,7} {3,4,9}

Geste (local) = point D-adressé g: D  dans le graphe orienté spatial d‘un espace topologique X (= graphe des courbes continues dans X) X  corps squelette position hauteur temps X g D

formes réalistes? espace des bouts position hauteur temps D p

Digraph(F, ) =. espace topologique des gestes (locaux) Digraph(F, ) = espace topologique des gestes (locaux) de squelette F à corps dans X Notation: F @X  X Hypergestes! „boucle de boucles“ noeud cercle

Application gestuelle est une application continue (u,v): F @X  G @Y canoniquement induite par une paire u: G  F (graphes orientés) v: X  Y (continue) La categorie HG = HG1 des hypergestes 1) hypergestes 2) applications gestuelles  Induction: La categorie HGn des hypergestes n-uples F2@F1@X 

Avons chaîne de catégories d‘hypergestes G  HG = HG1  HG2  Avons chaîne de catégories d‘hypergestes G  HG = HG1  HG2 ... HGn  HGn+1 ... représentant la granularité des relations gestuelles, comme en géométrie différentielle avec les catégories de variétés n fois différentiables. E.g. recollant des gestes locaux pour créer des gestes globaux par des joints quasi-anatomiques

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Analyse de György Ligeti: Pierre Boulez: Entscheidung und Automatik in der Structure Ia (die Reihe UE, Wien et al. 1958)

Cr(U) = M -1(U) fibre créatrice du voisinage U de  coordonnées analytiques M modèle analytique ' xxx x' oeuvres représentations scientifiques un geste boulézien  = M(x) U structures x Cr(U) = M -1(U) fibre créatrice du voisinage U de  transduction (Anne Boissière)

1. déduction des séries de durées des séries d‘hauteurs: ...ist es keineswegs ersichtlich, warum eben diese Permutationen von den möglichen ausgewählt wurden. Das Unorganische steckt in der funktionslosen Transplantation eines Systems: Tonqualitäten mit Zahlen etikettiert; die entmaterialisierten Zahlen in Tabellen gereimt; schliesslich die Tabelle fetischartig als Mass für Dauernquantitäten angewandt — also urspüngliche Ordnungsbezeichnungen wertbezeichnend benützt. 2. déduction des séries d‘intensités/attaques des séries d‘hauteurs ... Die Auswahl der dynamischen Proportionen nach diesem Diagonalverfahren ist interessant als Spiel, aber sie ist noch unfunktioneller als die beschriebene Permutation der Dauern; sie geht nicht aus der musikalischen Materie, sondern aus einer Zahlenabstraktion hervor.

Pierre Boulez structures Ia (1952) CD wergo 1965 (3:36) Alfons & Aloys Kontarsky Faden („fil“) composition est un système de fils = des points de Grothendieck

séries dodécaphoniques Ÿ12 S 11 A = Ÿ11, F = PitchClass:.Simple(Ÿ12) S: Ÿ11  Ÿ12, S = (S0, S1, ... S11) ei ~> Si, ei = (0, 0, ... , 1, 0, 0,... 0) e0 = 0 i

Partie A Partie B fil 78/32

dichotomie forte de classe 71 Boulez: série de Messiaen des modes et valeurs d‘intensité classes des hauteurs 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 indexe 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 dichotomie forte de classe 71

série des durées 1/32 12/32 1/32 + 2/32 +... 12/32 = 78/32 = durée totale d‘un fil

série des intensités

séries des attaques représentation paramétrique: comment jouer? Attack:.Limit(Articulation, Dynamics, Anticipation) Articulation, Dynamics, Anticipation:. Simple(—) Articulation %, Dynamics %, Anticipation abs. val.

L‘enfer combinatoire de Boulez la matrice Q (Ligeti l‘appelle R)

B@F A@F f·g „adresse“ B changement d‘adresse g f espace F „adresse“ A Look differnetly at spaces! Take points as being affine homomorphisms from the zero space A=0. Here is the generic notation and visualization: Apoint is an A-parametrized set of points in F. A@F

Categorie ∫C des points C-adressés objets de ∫C x: @A  F, F = préfaisceau dans C@ ~ x  F(A), écrire x: A  F A = adresse, F = espace de x F A x x h  y morphismes de ∫C x: A  F, y: B  G h/: x  y F A  G B  changement d‘adresse

x:   ∫C réseau local dans C = diagramme x de points C-adressés xi: Ai Fi hilq/ilq hjms/jms hlip/lip hjlk/jlk hllr/llr xj: Aj Fj xm: Am Fm xl: Al Fl hijt/ijt x:   ∫C coordonnée de x

Exemple: K-nets de séries dodécaphoniques C = Ab Ÿ12 s Ks T11.-1/Id Id/T11.-1 s Ÿ11 Us UKs

l‘idée de Boulez: utiliser des changements d‘adresse! S: Ÿ11  ParameterSpace changements d‘adresse g: B  Ÿ11 donne S · g: B  Ÿ11  ParameterSpace b ~> Sg(b) exemple: g = K: Ÿ11  Ÿ11 ei ~> e11-i S · g = série rétrograde

transpositions et inversions? transposition A =Tn : Ÿ12  Ÿ12 x ~> Tn (x) = n+x inversion A = U : Ÿ12  Ÿ12 x ~> U(x) = u-x Ÿ12  Ÿ12 A A · S = S · C(A) Ÿ11 Ÿ11 S C(A)  C(A) = changement d‘adresse! C(Tn), C(U) remplace Tn ou U

On travaille sur l‘ontologie de l‘adresse commune Ÿ11 En géométrie algébrique, une adresse Spec(R) pour un anneau commutatif R définit une strate ontologique du schéma S, e.g., R = — définit l‘espace Spec(—)@S des solutions (points) réelles d‘équations polynomiales R = ¬ définit l‘espace Spec(¬)@S des solutions (points) complexes. G = groupe de symétries sur l‘espace des classes des hauteurs Ÿ12 Ÿ11 SH C(G) G C(G) = groupe de changements d‘adresse C(G) F Ÿ11 S?

La matrice Q de Ligeti est une matrice de changements d‘adresse ligne i = changement d‘adresse C(Tn(i)): Ÿ11  Ÿ11 pour la transposition Tn(i), où n(i) = différence S(i)-S(1) Exercice: pourquoi les lignes sont-elles un groupe?

comprendre la matrice Q de Ligeti comme changement d‘adresse comprendre la matrice Q de Ligeti comme changement d‘adresse Q: Ÿ11 Ÿ11  Ÿ11 avec Ÿ11 Ÿ11 = Ÿ11  Ÿ11  Ÿ11  Ÿ11  Ÿ143 (produit tensoriel affine) Q(eiej) élément de la base affine (e0, e1 , ... e11) de Ÿ11 Mais on a A@(B@C)  (A B)@C. Donc und telle matrice représente une série de séries: S · Q: Ÿ11  Ÿ11  Ÿ11  ParameterSpace S · Q(ei  -): Ÿ11  ParameterSpace ej ~> S(Q(eiej))

Cette technique est celle du „address killing“ dans ToM: Cette technique est celle du „address killing“ dans ToM: B@(A@F) = (B  A)@F 0@(A@F) = (0  A)@F = A@F ~ Situation similaire aux espaces des hypergestes G@F@X  Espaces de points adressés de points adressés de...

Le yoga de la construction boulézienne est un système de changements d‘adresse sur l‘adresse Ÿ11  Ÿ11, fournissant de nouvelles séries de séries pour cette composition. Etant donnés deux changements d‘adresse g, h: Ÿ11  Ÿ11 on obient un changement gh: Ÿ11  Ÿ11  Ÿ11  Ÿ11 défini par: gh (eiej) = g(ei)h(ej)

h g Q Q · g  h ParameterSpace gh : Ÿ11  Ÿ11  Ÿ11  Ÿ11 fournit un changement d‘adresse combiné: Q · gh: Ÿ11  Ÿ11  Ÿ11  Ÿ11  Ÿ11 h g Q Q · g  h ParameterSpace

Exemples: g = Id, h = K Q · IdK = système rétrograde g = h = Umib = U Q · UU = matrice U de Ligeti piano 1 utilise ces changements d‘adresse: classes des hauteurs durées partie A UId U · K  U · K partie B KU

un seul changement d‘adresse UU piano 1 utilise ces changements d‘adresse: classes des hauteurs durées partie A UId U · K  U · K partie B KU un seul changement d‘adresse UU piano 2 utilise ces changements d‘adresse : classes des hauteurs durées partie A UU · UId UU · (U · K  U · K) partie B UU · KU

série des intensités

les trajectoires d‘intensités a/b et c/d du „fou sur l‘échiquier“ (Ligeti)

topologie des trajectoires fermées a/b d‘intensité

topologie des trajectoires fermées c/d d‘intensité

Le lemme de Yoneda dans le cadre conceptuel Théories fonctorielles de la musique Un regard grothendieckien sur Boulez Transduction des „structures pour deux pianos“

BASE DU MODÈLE: Prendre un nombre de séries dans tous les paramètres qui interviennent (principals: classe d‘hauteurs, durée; auxiliaires: intensité, attaque) Prendre un groupe de changement d‘adresse (en l‘occurrence induit par transposition, inversion et rétrograde) pour les classes d‘hauteurs Appliquer ce groupe également à la durée Dériver de nouvelles matrices de changements d‘adresse pour piano 2 par un seul changement d‘adresse appliqué aux changements d‘adresse du piano 1 Dessiner des trajectoires fermées sur un tableau quotient du groupe des changements d‘adresse pour les paramèters auxiliaires pour dériver une série pour chacun. Appliquer les valeurs auxiliaires aux série entières Distribuer ces séries, groupées pour piano 1 et piano 2, aux temps déterminés. Ces temps de groupes sont périodiques (78/32).

BASE DE LA TRANSDUCTION DU MODÈLE: Prendre un nombre de séries dans tous les paramètres qui interviennent (principals: classe d‘hauteurs, durée,...; auxiliaires: intensité, attaque,...) Prendre un groupe de changement d‘adresse pour les classes d‘hauteurs Appliquer ce groupe également aux autres paramètres principaux Dériver de nouvelles matrices de changements d‘adresse pour instruments 2, 3,... par un seul changement d‘adresse par instrument appliqué aux changements d‘adresse de l‘instrument 1 Dessiner des trajectoires fermées sur un tableau quotient du groupe des changements d‘adresse pour les paramèters auxiliaires pour dériver une série pour chacun Appliquer les valeurs auxiliaires aux série entières Distribuer ces séries, groupées pour instrument 1 et instruments 2, 3,..., aux espace-temps déterminés. Ces espace-temps sont déterminés par des réseaux de transformations