Algèbre au collège : Entre Sens et Technique Sylvie Coppé IUFM de Lyon, Université Lyon 1 UMR ICAR (Université Lyon 2, CNRS, ENS Lyon Vincent Duval Sophie Roubin Christophe Alves Claire Piolti Sylvie Martin Dametto Alexandra Goislard Maud Chanudet Hélène Kuhman

SESAMES Algèbre IFÉ ENS LYON Situations d’Enseignement Scientifique: Activités de Modélisation, d’Evaluation, de Simulation SESAMES Algèbre IFÉ ENS LYON

HTTP://www.inrp.fr/pegame/ nous travaillons particulièrement sur la dialectique dévolution/institutionnalisation.

Quelles sont vos attentes ? Quelles sont vos questions ? Présentation Quelles sont vos attentes ? Quelles sont vos questions ? Accueil, présentation, horaires, cantine. → 9h-9h 30 -Pourquoi vous êtes vous inscrits à ce stage ? Quels sont vos attentes ? Quelles sont vos questions ? Tour de table On trie et on voit à quoi on répond tout de suite et par la suite dans le stage.

Représentations de l’algèbre au collège Donner deux types d'activités différentes que vous pratiquez fréquemment dans vos classes en algèbre au collège A quoi sert l'algèbre au collège ? 9h 30 – 10h 30: Point de vue des stagiaires/le nôtre. Travail individuel sur feuille 5min Travail en groupe 15min Restitution sur affiche, deux parties types de tâche et finalité de l’algèbre. Synthèse au tableau, on liste classe… en distinguant les tâches objets et les tâches outils

Algèbre ? Algèbre Objet/Algèbre outil Aspect procédural/Aspect Structural 2n + 1 Procédural 2n + 1 Structural

L’algèbre au collège c’est : L’utilisation de la lettre Les équations Le calcul littéral pour la technique Mais aussi : Les identités Les activités de preuves Les nombres relatifs Les fonctions Algèbre Outil / Objet Dans l’enseignement, l’algèbre est à la fois travaillé comme un outil Pour résoudre des problèmes Pour modéliser Pour prouver Et comme un objet travail sur le traitement des expressions algébriques, équivalence La lettre : Differents statuts : Abréviation - Unité de mesure - Pour désigner (un point) - Indéterminée – Inconnue – Variable - Paramètre Aspect procédural / structural 2n+1 sert à la fois à calculer des nombres en donnant une valeur à n 2n + 1 sert à désigner un nombre impair lorsque n est entier Les identités (sens du =) A l'entrée du collège le signe = désigne le résultat d'une opération Ex d’erreurs classiques 3  2 = 6 + 7 = 13 Pour traduire "le quart de 16" = 4 un élève répondra 1/4 = 4 En 4ème difficulté à envisager que le résultat d’un calcul donne 3x + 4 d’où 7x Nombres relatifs(appelés au début du 20ème nombres algébriques) Rupture par rapport aux nombres entiers Utilisés pour signifier des gains et pertes (chinois, indiens) et pour résoudre des équations Statut de nombres pas questionné, puis sujet de polémiques La multiplication des relatifs pose problème et n’est tranchée qu’en 1867 par Hankel

À quoi sert l'algèbre au collège ? 3 grands types de tâches Produire des formules, des expressions algébriques Traiter des formules, des expressions algébriques Utiliser des formules, des expressions algébriques dans des problèmes. L’algèbre va servir à résoudre des problèmes et pas seulement faire du calcul ou à apprendre des techniques opératoires. Il est nécessaire de travailler : le sens et la technique de calculs la nécessité d’introduire l’algèbre, la lettre.

Par "introduction à l'algèbre", on peut entendre plusieurs choses distinctes : mise en équation de problèmes arithmétiques simples et résolution par l'algèbre ; règles élémentaires de traitement et de transformation des équations ; première explicitation des concepts de fonction et de variable ;

mise en évidence de certaines propriétés structurales des ensembles de nombres, notamment l'ensemble des relatifs et de l'ensemble des rationnels ; etc…

Il est raisonnable de penser que c'est un savant équilibre de ces différentes composantes conceptuelles et des situations qui leur donnent du sens qui peut permettre aux élèves de comprendre en profondeur la fonction, la structure et le fonctionnement du raisonnement algébrique. Mais quel équilibre ? (Vergnaud, 1989)

Et dans les manuels? Sur le calcul littéral, 80% des exercices des livres portent sur les techniques « développer, réduire, enlever les parenthèses, etc… » (thèse de El Mouhayar, 2007) la part des exercices portant sur « démontrer, montrer, prouver, expliquer, justifier, vérifier » et les exercices ouverts est variable d’un manuel à l’autre mais reste faible (de 3,4% à 14%) (mémoire master Aloulen & Pinto)

Un exemple d’introduction de la lettre les carreaux colorés

Un exemple : les carreaux colorés Quelle version de l’activité proposeriez-vous ? A quel(s) niveau(x) ? Pour quoi ? Quels critères vous ont fait éliminer les autres énoncés ? Dans le document d’accompagnement des programmes : Dans un premier temps, les élèves sont invités à déterminer le nombre de carreaux grisés pour des valeurs déterminées du nombre de carreaux sur le côté du carré, puis dans un second temps à formuler en langage naturel une méthode de calcul et dans un dernier temps à produire une formule mathématique. La nécessité d.avoir à désigner le nombre de carreaux sur le côté justifie l.emploi d.une lettre. Les méthodes de calcul utilisées et par conséquent les formules produites sont diverses. Voici quelques exemples de formules que sont susceptibles de produire des élèves de 6e. Si n désigne le nombre de carreaux sur le côté du carré et N le nombre de carreaux grisés : N = 4n . 4 N = 2n + 2(n . 2) N = 4(n . 1) N = n + 2(n . 1) + (n . 2) Et à un autre niveau de classe : N = n2 . (n . 2)2 Un peu plus loin dans le même document :

Les carreaux colorés 1°) combien de carreaux sont colorés ? Voici un carré de côté 5. Les carreaux de la bordure sont colorés 1°) combien de carreaux sont colorés ? 2°) combien de carreaux seraient colorés sur un carré de côté 6 ? de côté 10 ? sur un carré de côté 123 ? Trouve une formule, un moyen de dire comment calculer ce nombre de carreaux . 3°) On a coloré 212 carreaux. Combien de carreaux a un côté du carré ? Est-il possible d'avoir coloré 731 carreaux ? 426 carreaux ?

Extraits d'une animation en classe Les carreaux colorés Extraits d'une animation en classe