Apprentissages numériques de l’école au collège Conférence donnée à Angers le 2 février 2005 par Roland CHARNAY, IUFM de Lyon À la demande de l’Inspection Pédagogique Régionale de l’académie de Nantes Roland Charnay - 2004-2005

Apprentissages numériques de l’école au collège Enjeux, difficultés, évolutions Roland Charnay - 2004-2005

Autour de 3 réflexions Les enjeux de ces apprentissages sur l’ensemble de la scolarité obligatoire  Les connaissances attendues des élèves au terme de l’école primaire (programmes actuels)  Les difficultés constatées, à partir de l’analyse des évaluations à l’entrée en Sixième Roland Charnay - 2004-2005

Organisation des programmes Cycle 3 de l’école primaire Collège Exploitation de données numériques Organisation et gestion de données, fonctions Connaissance des nombres entiers naturels Nombres et calcul Connaissance des fractions simples et des nombres décimaux Calcul Espace et géométrie Géométrie Grandeurs et mesure Roland Charnay - 2004-2005

Plan L’apprentissage des nombres et de leurs désignations L’apprentissage du calcul La résolution de problèmes, avec un intérêt plus particulier pour la proportionnalité Roland Charnay - 2004-2005

Les nombres et leurs désignations Roland Charnay - 2004-2005

Entiers naturels Numération décimale et ordre sur ces nombres : depuis le CP Valeur positionnelle des chiffres peu évaluée à l'entrée en Sixième Deux résultats Ecris en chiffres 25 dizaines 40,8 % relation désignations orale-chiffrée relativement bien acquise  80 % à 90 % Roland Charnay - 2004-2005

Quelle explication pour 25 dizaines ? Une remarque : Ecris en chiffres 7 unités 4 dixièmes est mieux réussi (54,8 %) Une explication : les termes comme dizaine… renvoient à une position et non à une valeur C'est la valeur positionnelle qui importe… … Et les relations entre valeurs Roland Charnay - 2004-2005

Pour les écritures, pas de différence fondamentale entre naturels et décimaux 100 fois plus 2 4 1 7 100 fois moins 100 fois plus 2 4, 1 7 100 fois moins Roland Charnay - 2004-2005

Décimaux Numération décimale et ordre : depuis le CM1  repris au collège Evaluations : difficultés pour 25 % à 50 % des élèves Au primaire comme au collège travail insuffisant sur la compréhension trop axé sur les techniques : revenir au sens chaque fois que c'est possible (ex 7 x 0,1 : c'est 7 dixièmes) marquant de manière insuffisante les ruptures avec les entiers Roland Charnay - 2004-2005

Ruptures principales Relativement à l'ordre procédure de comparaison intercalation Relativement à des procédures de calcul notamment multiplication et division par 10, 100… Relativement au "sens" des opérations Roland Charnay - 2004-2005

Fractions Approche limitée à l'école primaire une seule signification : 5/3 c’est 5 fois 1/3 travail par le raisonnement (sans techniques) Peu évalué à l'entrée en Sixième Roland Charnay - 2004-2005

Au collège : une place centrale et des difficultés nouvelles Nouvelle signification, comme quotient : 7/3 c’est le tiers de 7  Comprendre l'équivalence : 7 fois le tiers de 1, c’est pareil que le tiers de 7 7/3 est un nombre et non un calcul à effectuer Conception plus théorique : 7/3 est le nombre qui multiplié par 3 donne 7  Fractions avec des décimaux au numérateur et au dénominateur Roland Charnay - 2004-2005

Des difficultés et un travail à faire au collège Le mot "quotient" désigne le résultat d'un calcul au cycle 3 désigne aussi un nombre (sans calcul) au collège L'équivalence des 2 significations de 7/3 Roland Charnay - 2004-2005

Evolution de la notion de nombre au cours de la scolarité Des entiers naturels aux décimaux : renoncer à l’idée de nombres qui se suivent accepter l’intercalation "sans fin" Passage aux fractions quotients : accepter qu’un nombre ne s’exprime pas nécessairement par une suite de chiffres Passage aux négatifs : renoncer au fait qu’un nombre exprime une quantité ou la mesure d’une grandeur Roland Charnay - 2004-2005

Le calcul Roland Charnay - 2004-2005

Deux questions Quels sont les besoins en calcul du futur acteur social et professionnel ? Quels sont les besoins en calcul pour l’apprentissage des mathématiques ? Roland Charnay - 2004-2005

Apprendre à calculer… apprendre à rendre calculables des situations par un travail de modélisation (cf. résolution de problèmes) apprendre à traiter des calculs de façon automatisée ou raisonnée pour aboutir à un résultat exact ou approché apprendre à organiser un calcul pour le rendre exécutable par une machine (Cf. initiation à l’usage du tableur au collège) Roland Charnay - 2004-2005

Quel calcul ? Résultat exact Résultat approché Calcul mental CALCUL AUTOMATISE CALCUL REFLECHI OU RAISONNE Résultat exact Résultat approché Calcul mental Résultats Procédures Procédures construites choix des arrondis Calcul écrit Techniques opératoires Calcul instrumenté Calculs usuels Ex : quotient et reste avec  Roland Charnay - 2004-2005

Priorité au calcul mental Calcul d’usage, utile dans la vie ordinaire  Moyen privilégié de contrôle Calcul réfléchi : lien entre raisonnement et calcul (choix et mise en œuvre d'une procédure adaptée) Indispensable à l'acquisition de nouvelles connaissances, à leur représentation mentale Aide à la résolution de problèmes : se ramener à un cas qui peut être traité mentalement Roland Charnay - 2004-2005

Le domaine de la multiplication et de la division Naturels Décimaux Multiplication Cycle 2 Sens Calcul mental Cycle 3 Calculs mental et posé Fin du cycle 3 Décimal par entier Collège Produit de 2 décimaux Division Division euclidienne Quotient décimal de 2 entiers Quotient de 2 décimaux Roland Charnay - 2004-2005

L'extension du calcul aux décimaux et aux fractions suppose des restructurations de connaissances Sens de la multiplication surtout liée, pour les entiers, à l'addition itérée Sens de la division liée, sur les entiers, au partage Théorèmes implicites La multiplication "agrandit" La division "diminue" Roland Charnay - 2004-2005

Compétences en calcul mental à l'entrée au collège Mémorisation ou automatisation Peu évaluée Difficultés avec tables de multiplication Quart de cent 67 % (Eva 2000) Cent divisé par quatre 61 % (Eva 2000) Trente-sept divisé par dix 42 % (Eva 2003) Trois fois zéro virgule cinq 44 % (Eva 2003) Roland Charnay - 2004-2005

Calcul réfléchi Résultats contrastés sur les entiers 198 + 10 81 % (Eva 2003) 405 – 10 78 % (Eva 2003) 47 + 33 84 % (Eva 2003) 60 – 19 65 % (Eva 2003) 52 : 4 35 % (Eva 2000) Résultats plus faibles avec les décimaux 1,7 + 2,3 61 % (Eva 2003) 2,5 x 4 44 % (Eva 2003) Roland Charnay - 2004-2005

Conclusion  Nécessité de poursuivre au collège l’entraînement au calcul mental sous ses 2 formes : mémorisé et réfléchi et ses 2 types de résultats : exacts et approchés Question des résultats nouveaux dont la mémorisation est utile (relatifs, carrés, racines carrées, puissances de nombres simples…) Roland Charnay - 2004-2005

Résolution de problèmes Roland Charnay - 2004-2005

Quelques constats Roland Charnay - 2004-2005

Evaluation 6e - 2003 Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y aura-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a ……… pages complètes. 54 % Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 % Roland Charnay - 2004-2005

Procédures possibles Schématisation des pages et des photos Dénombrement (CP) Addition de 6 en 6 Addition (CE1) Encadrement par deux multiples de 6 Table de multiplication (CE2) Division par 6 Division (CM1) Roland Charnay - 2004-2005

Une question Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème… ne pensent-ils pas… n’osent-ils pas… ne se croient-ils pas autorisés… … (à) les utiliser pour répondre à la question? Roland Charnay - 2004-2005

Raisonnement (exemple 2 : éva 6e, 2000) Sophie a dessiné et colorié trois étiquettes rectangulaires toutes identiques sur une plaque de carton, comme le montre le dessin. La plaque est rectangulaire et a pour longueur 12 cm et pour largeur 10 cm. 12 cm 10 cm a) Calcule la longueur réelle d’une étiquette. Ecris tes calculs. 44 % b) Calcule la largeur réelle d’une étiquette. Ecris tes calculs. 23 % 22 % des élèves ont mesuré Roland Charnay - 2004-2005

Deux pistes de travail pour l'école et le collège inciter les élèves à initier des procédures de résolution originales, personnelles travailler la capacité à déduire et à articuler différentes étapes par un raisonnement approprié. Roland Charnay - 2004-2005

Le cas de la proportionnalité Roland Charnay - 2004-2005

Complexité liée à la variété des problèmes Types de problèmes Reconnaître la proportionnalité Recherche d'une quatrième proportionnelle Problème de comparaison (partie/tout ; partie 1/ partie 2) Proportionnalité "multiple" (ex : aire du triangle) Types de contextes Proportionnalité fixée "socialement" Proportionnalité "intrinsèque" (physique, géométrie) Proportionnalité "fictive" (pourcentage, vitesse moyenne…) Roland Charnay - 2004-2005

Complexité liée à la diversité des procédures Propriétés utilisées implicitement ou explicitement linéarité coefficient de proportionnalité égalité de rapports… Sensibilité de ces procédures aux grandeurs en relation (de même nature ou non) aux nombres en jeu au nombre de couples fournis Procédures particulières utilisées dans d'autres disciplines Roland Charnay - 2004-2005

Des niveaux de conceptualisation différents Exemple : Avec 120 kg de blé, on obtient 100 kg de farine ? Combien de kg de farine avec 900 kg de blé ? Roland Charnay - 2004-2005

Raisonnement contextualisé 1 Avec 120 kg de blé, 100 kg de farine Avec 5 fois plus de blé, 5 fois plus de farine Donc avec 600 kg de blé, 500 kg de farine Avec 300 kg de blé, 250 kg de farine Avec 900 kg (600 kg + 300 kg) de blé, 750 kg de farine (500 kg + 250 kg) Roland Charnay - 2004-2005

Raisonnement contextualisé 2 Combien y a-t-il de fois 120 kg dans 900 kg ? (par division : 7,5 fois) Donc 7,5 fois plus de farine : 100 x 7,5 = 750 Les raisonnements 1 et 2 sont beaucoup plus difficiles si la question porte sur 90 kg de farine… Roland Charnay - 2004-2005

Raisonnement contextualisé 3 La masse de farine est 1,2 fois moins importante que celle de blé Donc 900 : 1,2 = 750 Roland Charnay - 2004-2005

Premier niveau de conceptualisation Modélisation par un tableau de nombres Donc changement de langage langage ordinaire  langage "numérisé" Autre représentation du raisonnement Permet une explicitation des propriétés utilisées (linéarité, coefficient) Roland Charnay - 2004-2005

Deuxième niveau de conceptualisation Fonction linéaire Nouveau langage (plus "algébrisé") Autre formulation des propriétés Exemple : f(λx) = λf(x) Roland Charnay - 2004-2005

A l'école primaire Pas d'enseignement de la proportionnalité Résolution de problèmes, avec des procédures "contextualisées" qui s'appuient implicitement : sur les propriétés de linéarité sur le passage par l'image de l'unité sur le coefficient, lorsqu'il a une signification pour les élèves Pourcentage, échelle et vitesse travaillés dans cet esprit sans procédures spécifiques Roland Charnay - 2004-2005

Exemple : 20 % de 350 (vente de croissants) Appui sur le langage : 20 pour 100  Pour 100 fabriqués  20 vendus Pour 100 fabriqués  20 vendus Pour 300 fabriqués  60 vendus Pour 50 fabriqués  10 vendus Pour 350 fabriqués  70 vendus Roland Charnay - 2004-2005

 Pour 100 fabriqués  20 vendus Pour 300 fabriqués  60 vendus (3 fois plus) Pour 50 fabriqués  10 vendus (la moitié) Pour 350 fabriqués  70 vendus  Le nombre de pains vendus, c'est 1/5 du nombre de pains fabriqués (ou 5 fois moins) 1/5 de 350, c'est 70 Roland Charnay - 2004-2005

Au collège Difficulté de passer de l'expression verbale "prendre 20 pour 100"… … à une procédure qui utilise : le quotient 20 / 100 La multiplication Ce passage n'a rien de "naturel" Roland Charnay - 2004-2005

Au collège : évolution des procédures Sixième passage par l’image de l’unité rapport de linéarité, exprimé sous forme de quotient coefficient de proportionnalité, exprimé sous forme de quotient Cinquième recours plus systématique aux quotients travail sur des tableaux de nombres (décontextualisation) première approche graphique Quatrième produit en croix (lié à égalité de quotients) caractérisation graphique Troisième modélisation par une fonction linéaire Roland Charnay - 2004-2005

Le cas de la multiplication de 2 nombres décimaux Rupture avec la multiplication par un entier (liée à l'addition itérée) L'utilisation de procédures relatives à la proportionnalité précède souvent celle de la multiplication Ex : 2,750 kg à 32,50 € le kg en passant par 500 g et 250 g Cas plus "complexe" : 2,648 kg en utilisant la signification de chaque chiffre Roland Charnay - 2004-2005

Relation avec de nombreux domaines du programme Graduation, diagramme, graphique Mesure : changement d'unité, formules, grandeurs-produits, grandeurs-quotients Géométrie : Thalès, agrandissement, réduction, cosinus Et avec d'autres disciplines Roland Charnay - 2004-2005

Quelques documents documents d’application des programmes de l’école primaire (notamment cycle 3) document Articulation école-collège document Calcul mental document Calculatrices document Calcul posé document Problèmes pour chercher Roland Charnay - 2004-2005