Un exemple de système EDA d'index supérieur distillation réactive avec réactions chimiques instantanément équilibrées Dr. Karim Alloula (ingénieur informatique scientifique) Dr. Jean-Pierre Belaud (Maître de conférences ENSIACET) Pr. Jean-Marc Le Lann (directeur ENSIACET)

Plan de l’exposé Objectif: Intégration symbolico-numérique d’équations différentielles algébriques d’index supérieur Un système de calcul symbolico-numérique: eXMSL Modèle algébro-différentiel de référence: la distillation de Rayleigh Prise en compte de réactions chimiques Conclusions, Attentes, Perspectives LEDA Karim Alloula - Vendredi 26 mars 2010

Transformations formelles déjà mises en oeuvre (1/2) Classe de modèles Transformation formelle Expression initiale Résultat Equations non linéaires Equations différentielles algébriques Calcul de fonction résidu Transformation d’inéquations en équations Equations non linéaires saturées, sur ou sous déterminées Formulation généralisée du schéma de Newton (Dedieu 2006) Formulation différentielle du schéma de Newton généralisé (Hirsch 1979) Equations différentielles algébriques Détermination de conditions initiales cohérentes Système EDA 1er ordre, index 1 Valeurs initiales des variables dépendantes et de leurs dérivées LEDA Karim Alloula - Vendredi 26 mars 2010

Transformations formelles déjà mises en oeuvre (2/2) Classe de modèles Transformation formelle Expression initiale Résultat Equations non linéaires Equations différentielles algébriques Optimisation sous contraintes non linéaires Définition d’une fonction implicite Fonction explicite Calcul d’une matrice Jacobienne Calcul d’une dérivée directionnelle Fonction implicite LEDA Karim Alloula - Vendredi 26 mars 2010

eXMSL FORTRAN 90 Library LEDA Calcul de propriétés thermodynamiques par application de l’équation d’état SRK Définition du facteur de compressibilité comme une fonction implicite Dérivation formelle par rapport à la température Intégration formelle par rapport à la température LEDA Karim Alloula - Vendredi 26 mars 2010

eXMSL Model Editor LEDA Résultat du problème d’optimisation spécifié Edition du problème d’optimisation Demande d’évaluation de l’expression saisie LEDA Karim Alloula - Vendredi 26 mars 2010

Distillation de Rayleigh - Présentation Un modèle continu par morceaux… vu comme un modèle unique sous contrainte LEDA Karim Alloula - Vendredi 26 mars 2010

Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL Exemple de courbes de résidus LEDA Karim Alloula - Vendredi 26 mars 2010 Figure 5. Distillation diagram for the butanol-1, methanol, water mixture

Distillation de Rayleigh réactive - Présentation Un modèle continu par morceaux… vu comme un modèle unique sous contrainte LEDA Karim Alloula - Vendredi 26 mars 2010

Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL Résolution Algorithme numérique: Petzold-Gear BDF (IMSL) Etapes de transformations formelles: Détermination d’un jeu d’équations suffisant pour obtenir des conditions initiales cohérentes Calcul formel des résidus Calcul formel de la matrice Jacobienne Gestion de l’événement d’état: Arrêt de l’intégration du modèle en phase liquide: pas minimal de la variable indépendante ou Jacobien du système singulier Reprise de l’intégration du modèle en phase di-phasique avec calcul de nouvelles conditions initiales cohérentes LEDA Karim Alloula - Vendredi 26 mars 2010

Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL Résultats obtenus Résultats très cohérents Temps de calcul: Bien inférieurs aux environnements de calcul interprété 1 ordre de grandeur supérieur par rapport aux codes compilés Modélisation: Construction de fonctions implicites à partir d’équations de modèles Assemblage ou composition de fonctions implicites Évaluation de fonctions implicites et de leurs dérivées Mémorisation des points du graphe des fonctions résidus Définition des fonctions implicites à partir d’un point de fonctionnement « pertinent » du modèle, i.e. pour lequel le jeu de variables est facile à calculer. Mémorisation => réduction du nombre de pas de Newton total. Particulièrement intéressant dans le domaine de la simulation en génie des procédés où des équilibres thermodynamiques d’un mélange sont calculés pour diverses températures et pressions. LEDA Karim Alloula - Vendredi 26 mars 2010

Généralisation à la distillation réactive: Le calcul de CIC devient laborieuse! Quel est l’index de différentiation du modèle présenté? 2? Y a-t-il un intérêt à distinguer les réactions chimiques instantanément équilibrées des réactions contrôlées par la cinétique? Comment se comparent les dynamiques des phénomènes thermodynamiques et des réactions chimiques? Quelles connaissances métier doit-on apporter pour le calcul de CIC? Définition des fonctions implicites LEDA Karim Alloula - Vendredi 26 mars 2010

Un modèle de taille et de difficulté modestes est calculé Conclusions Un modèle de taille et de difficulté modestes est calculé Automatiquement par un système de calcul symbolico-numérique Très précisément Dans un temps inférieur à celui obtenu avec un environnement de calcul interprété et une méthode similaire Après des efforts de modélisation (degrés de liberté, formulation…) Très correctement lors d’un changement d’état bien particulier LEDA Karim Alloula - Vendredi 26 mars 2010

Attentes par rapport au projet ANR LEDA Forme normale caractérisant les conditions initiales cohérentes MIP Possibilité de passage à l’échelle (complexité Pryce) LYX Dynamiques différentes (distillation réactive) LIFL LEDA Karim Alloula - Vendredi 26 mars 2010