Construction du nombre et numération … Animation Pédagogique Maths St Martin d’Hères - Novembre 2005 Maryse Coda Gérard Gerdil-Margueron

Programme… Journée 1 : Journée 2 : autour de situations-problèmes échanges sur les pratiques Étude d’outils sur des thèmes donnés (GS : le nombre pour anticiper, CP les aspects algorithmiques, CE échanges/groupements Journée 2 : autour de situations-problèmes étude de situations construction de séquences à mettre en œuvre Journée 3 : retour sur les mises en œuvre Comment concilier situations-problèmes et fichiers La question de l’évaluation D’autres outils

Deux questions par écrit… Pourquoi avez-vous choisi une Animation pédagogique en maths ? Quelles sont vos attentes ?

Echange sur les pratiques… Le point sur les pratiques de classes (fichier utilisé, utilisation du livre du maître, jeux, autres outils …spécificité de la pratique en maths…) Un stagiaire expose sa pratique ; ceux qui se reconnaissent se signalent et complètent brièvement ; puis un autre stagiaire expose et ainsi de suite… Objectif : favoriser les échanges d’expériences, de doutes et de réussites,

Document d’application des programmes - cycle 2 - 2002 La résolution de problèmes constitue le critère principal de la maîtrise des connaissances…mais elle est également le moyen d’en assurer une appropriation qui en garantit le sens. ….La plupart des notions … peuvent, à l’aide d’activités bien choisies et organisées par l’enseignant, être construites par les élèves comme des outils pertinents pour résoudre des problèmes, avant d’être étudiées pour elles-mêmes et réinvesties dans d’autres situations. Les problèmes proposés doivent alors permettre aux élèves de prendre conscience des limites ou de l’insuffisance des connaissances dont ils disposent déjà et d’en élaborer de nouvelles dont le sens sera progressivement enrichi.

Quelques hypothèses sur l’apprentissage dans les programmes Le sens d’un concept se construit dans deux directions fortement imbriquées: L’aspect outil : le pouvoir que donne le concept à l’élève pour résoudre des problèmes L’aspect objet : le pouvoir que l’élève a sur le concept (saisir ses propriétés, les expliciter, les faire fonctionner, les faire évoluer… Le nouveau se construit à partir de l’ancien, en l’améliorant ou en le rejetant ; les connaissances initiales des élèves sont à la fois des points d’appui et des obstacles pour l’acquisition des connaissances. Conséquence : Il serait vain de chercher à construire le concept de nombre avant d’utiliser les nombres. « A cet égard, rien ne justifie au début du cycle 2, une étude des nombres un par un » (document application 2002)

La construction du nombre Manipulation intuitive des nombres : jeux, comptines … Premiers jeux d’échanges, de troc… Correspondance terme à terme Dispositions spatiales Comptine numérique comptage comparaison échanges dénombrement classement rangement Aspect cardinal du nombre Aspect ordinal du nombre Aspect algorithmique de la suite des nombres Connaissance des premiers nombres Distinction valeur-quantité Groupements par 10 Ecritures additives des nombres Ecriture canonique Ecriture des nombres sous diverses formes et lecture

La comptine Rôle prépondérant du contexte social dans son acquisition Acquisition essentiellement orale Les mots-nombres sont d’abord des mots isolés, puis signification et mémorisation renforcée par l’inscription dans une suite ordonnée. Début de GS : 76% comptent au delà de 5 et 60% au delà de 10 Début de CP : 88% comptent au delà de 10 et 57% au delà de 20 Trois parties dans la comptine : Une partie conventionnelle et stable Une partie stable, mais non conventionnelle Une partie ni stable, ni conventionnelle

La comptine 4 étapes bien identifiées dans son fonctionnement : D’abord comme un tout (suite non scindable, retour à 1 nécessaire pour avoir 4, procédures de recomptage) Puis comptage devient possible à partir de n’importe quel nombre (bande numérique en référence, comparaison possible, surcomptage) Comptage à rebours Les nombres peuvent être dissocier de la suite par couples (de 4 pour aller à 7…)

La correspondance terme à terme Procédure de dénombrement qui évite le nombre pour : Construire une collection équipotente à une collection donnée Comparer deux collections Effectuer des distributions et des partages 3 étapes : Les enfants s’appuient sur des relations globales (forme de la collection) : quantités discrètes comme les quantités continues Coordination des relations (un pour toi, un pour moi…) mais non résistance à la transformation de la forme de la collection Conservation d’une quantité discrète quelle que soit son organisation (déduction logique sur le rien ajouté) Mise en œuvre entre la chaîne parlée et le pointage par le doigt des objets

Les constellations Visualisation des petits nombres par la reconnaissance globale de configuration simples « standard » : Doigts de la main Dés, Carré/diagonale Permettent la décomposition d’une collection importante en unités visualisables (amorce de groupements ou d’écritures additives)

Le nombre au CP Reprise des acquis de maternelle (comptine, constellations, correspondance) Abandon d’une construction mathématisée du nombre au profit des propriétés et notamment des aspects algorithmiques de la suite des nombres : Régularité de la suite écrite des nombres en opposition à la suite orale Décomposition de cette suite en famille de 10 Écriture de n-1, n+1, n-10, n+1à quand on connaît celle de n Suite orale entre 70 et 99 Comptines croissantes ou décroissantes, de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10 Travail important sur la distinction valeur-quantité et installation de règles d’échanges fixes Aspect groupement/échange et notamment sur les groupements par 5 sans codage Codage en base 10 et écritures additives (en lien avec réunions de collections) Passage du comptage au calcul (surcomptage, résultats mémorisés, compléments à 10…)

Le nombre au CE1 Stabilisation, décontextualisation des connaissances de CP sur l’écriture des nombres et leur signification Comprendre et mettre en œuvre les groupements et les échanges Travail sur les relations du type : Collection organisée Ecriture chiffrée Modification de la collection nouvelle écriture ? Modification de l’écriture nouvelle collection ? Aspects algorithmiques de la suite des nombres au delà de 100 Désignation orale et écriture en lettres Ordre et comparaison des entiers (situer les nombres les uns par rapport aux autres, les situer par rapport à des multiples de 10 ou de 100…) Relations arithmétiques (additives, doubles) sur 5, 10, 20, 25, 50, 100

Travail de groupes o Thèmes choisis : GS : le nombre pour anticiper CP : les aspects algorithmiques de la suite des nombres CE : échanges et groupements o Tâche : analyser une situation ou plusieurs exercices d’un fichier sur le thème indiqué selon les axes suivants : Dans les activités envisagées, à quel moment l’élève est-il en situation de résoudre un problème ? Comment comprend-il la tache à réaliser ? Comment s’effectue la validation de la tâche à réaliser ? Quel traitement pour les erreurs ? Comment caractériser les modalités d’apprentissages ? Comment s’effectue l’institutionnalisation ?