Les concepts d'opération Lundi 11 février 2013

La théorie des concepts D’après G. Vergnaud Lucie demande à Julie l’âge de ses trois frères et sœurs ; celle-ci répond : la somme de leurs âges est égale au tien, et leur produit à 36. Bien, dit Lucie, qui prend un papier et un crayon, mais qui au bout de quelques minutes dit : je ne peux pas répondre. Ah, c’est vrai, dit Julie. Je ne t’avais pas dit que l’aîné fait du judo. Lucie est dès lors fixée. Comment Lucie a-t-elle procédé ?

Explications des procédures de résolution et des propriétés en jeu : 1- Lister tous les produits égaux à 36 comprenant 3 termes. 2- Additionner pour chaque produit les 3 termes. 3- A l'issue de cette étape, Lucie ne peut pas répondre. On en déduit donc qu'il s'agit des deux propositions ayant comme somme 13 : soit 2X2X9 et 6X6X1. 4- Le nouvel indice nous parle d'un aîné : il s'agit donc de 2X2X9. Ce problème illustre bien la théorie de Vergnaud. Il fait appel aux concepts de la multiplication et de l'addition, il met en jeu du langage (somme, produit...), il fait appel aux propriétés comme la commutativité et enfin il nécessite des résultats et des procédures mémorisés.

La théorie des concepts

Compenser : exemple : 4X9= (4X10)-(4X1) Décortiquer d'autres techniques : il semble préférable de le proposer au cycle 3 pour les élèves en réussites ou les élèves performants.

Activités préparatoires

2ème étape : RÉALISONS DES COUPLES ET DÉNOMBRONS-LES !

3ème étape : Retrouvons le bon rectangle

La division

Les 2 sens de la division

… et un 3ème !

Classer les problèmes En CP - CE1 1- Il y a 4 élèves. La maîtresse distribue 3 jetons à chaque élève. Combien distribue–t–elle de jetons en tout ? 2- La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à 4 élèves. Chaque élève a le même nombre de jetons. Combien de jetons a chaque élève ? 3- Quel est le nombre de carreaux de chocolat que contient une tablette de 3 sur 4 ? 4- La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à un groupe d’élèves. Chaque élève reçoit 3 jetons. Combien y a–t–il d’élèves ? http://media.eduscol.education.fr/file/ecole/00/3/Le_nombre_au_cycle_2_153003.pdf

Classer les problèmes Et en GS ? 1- L’enseignant annonce aux élèves qu’ils vont fabriquer un jeu de cartes. Vous allez chercher combien de cartes différentes on peut fabriquer avec trois formes géométriques (carré, rond, triangle) et quatre couleurs (jaune, rouge, vert,bleu). Attention, il y a une seule forme et une seule couleur par carte. 2- L’enseignant a préparé des pots de peinture pour les ateliers. Il annonce aux élèves ce qu’ils vont chercher. Vous allez chercher combien d’ateliers fonctionneront cet après–midi. Il y a seize pots de peinture. Chaque groupe doit avoir quatre pots. Je vous demande d’écrire le nombre d’ateliers que vous avez trouvé. 3- L’école vient de recevoir des ballons en mousse. L’enseignant annonce aux élèves ce qu’ils vont chercher. Vous allez chercher combien de ballons le directeur va distribuer à chaque classe. Il y a quinze ballons et cinq classes. Bien évidemment chaque classe doit avoir le même nombre de ballons. Je vous demande d’écrire le nombre de ballons que vous avez trouvé.

Additions et soustractions

Les problèmes  des réussites contrastées… Des problèmes bien réussis

Des problèmes peu réussis

Comment expliquer ces différences de réussite ? Les différentes catégories de problèmes (selon la typologie de Gérard Vergnaud)

Progression qui respecte les processus mentaux

Exemple d'activité : le jeu de piste

La technique opératoire de l’addition Extraits vidéo joints.

La technique opératoire de la soustraction Plutôt les techniques ! A vous de poser : 70320 - 8756

La technique par « cassage des classes »

L'addition à trous 82 – 27 = ?

La technique soustraction un peu de culture générale

La multiplication : par où commencer ? L’addition réitérée ou Les quadrillages ???

Historiquement… Les Grecs mettaient toujours en relation le numérique et le géométrique : Un nombre  représenté par une longueur Un produit de 2 nombres  représenté par l’aire d’une surface

Les limites de l’addition réitérée

Alors que … Il nous semble important de faire prendre conscience aux collègues de cycle 2 que les mots qu'ils utilisent et les choix qu'ils font lors de l'installation des différentes techniques engagent les élèves dans la suite de leurs apprentissages notamment pour les décimaux et la notion d'aire. Aborder la multiplication par le quadrillage c'est aider ensuite à l'installation des décimaux et aux calculs d'aires. Nous pouvons aussi lors de la technique posée de l'addition et de la soustraction attirer l'attention des enseignants sur le vocabulaire utilisé : éviter de dire « on aligne tous les chiffres par la droite » ce qui posera problème quand surviendront les nombres décimaux mais dire « on aligne les chiffres des unités, ... » Explication du calcul : ¾ X 4/5 : « j'ai pris 4 colonnes sur 5 puis je prends 3 lignes sur les 4 » .

Les propriétés à acquérir

Situations et calcul mental Mardi 12 février 2013

A vous de jouer 48 × 250 57 x 25

12 x 25=300 16 x 25=400 32 x 25=800 36 x 25=900 48 x 250 = 12 x 4 x 250 12 x 1000 12 000 57x25= (56+1) x25= (56x25) + (1x25)= (14x4x25) +(1x25)= (14x100) + 25 = 1400+ 25= 1425

A vous jouer Trio

Le calcul mental

Quelques points de vocabulaire Calcul mental Calcul posé Résultat automatisé Calcul réfléchi Calcul rapide Calcul approché Procédure automatisée

Les connaissances à faire acquérir Dans les programmes 2008… des indications concernant les tables…connaitre, mémoriser, restituer des éléments concernant le calcul mental … produire, reconnaitre, utiliser, calculer mentalement…un travail quotidien. Dans les programmes de la classe de 6ème… le calcul mental est mentionné : on s’y entraîne, on consolide… Cela renvoie implicitement à l’école élémentaire l’enseignement des procédures de calcul. Un cadre horaire : le ¼ d’heure quotidien d’entraînement, des séances plus longues pour l’enseignement des procédures de calcul et de nouveaux résultats.

L'apprentissage des tables débuté au cycle 2 mais poursuivi au cycle 3 Les tables sont des faits arithmétiques à connaitre. Bien que le nombre de faits soit restreint, la mémorisation des tables résiste : « Les informations qu’elles contiennent ne sont pas arbitraires et indépendantes les unes des autres. Au contraire, leurs contenus s’entremêlent étroitement. Elles fourmillent de fausses régularités, de rimes troublantes, de jeux de mots trompeurs. (S. Dehaene –La bosse des maths). »

Des procédures à enseigner et à apprendre Pourquoi enseigner le calcul mental ? … des liens avec la vie de tous les jours. Une manière de permettre à l’élève de cerner ses besoins dans ce domaine. Le travail sur les ordres de grandeurs permet une anticipation et un premier contrôle sur la validité d’un résultat. Le recours au calcul mental et ses limites : il faut permettre aux élèves de mesurer leur efficience dans ce domaine mais aussi de situer leurs limites. Il faut les amener à faire preuve d’autonomie et d’initiative en choisissant la forme de calcul la plus adaptée : calcul mental, calcul posé, calculatrice.

Des procédures à découvrir, entraîner et automatiser Pour automatiser des procédures il faut les repérer, les identifier, les exercer. Ce travail est l’essentiel du parcours de formation à proposer. L’apprentissage préconisé est un passage par l’explicite : expliciter ou faire expliciter les propriétés des nombres et celles des opérations en jeu…systématiquement en début d’apprentissage, puis chaque fois que nécessaire Recenser les procédures adaptées à la progression de chaque année de l’école élémentaire pour les enseigner explicitement…nécessité d’une progression pensée sur le parcours élémentaire de l’élève. Procédures ou procédure ? Il serait improductif d’imposer une stratégie et une seule, même et surtout celle qui apparait comme une évidence pour celui qui enseigne. Pour choisir, il faut avoir le choix…

Progression et programmation Les apprentissages se construisent dans la durée. Une programmation toujours associée aux autres apprentissages mathématiques : quand on étudie la relation centimes/euros, il est impossible d’éviter de revenir au complément à 100, la distributivité dans la technique opératoire de la multiplication doit être travaillée en calcul mental. Mais des spécificités à respecter : les techniques opératoires ne doivent pas être transposées au calcul mental, les techniques du calcul mental sont à apprendre spécifiquement. Les techniques de calcul mental s’appliquent prioritairement dans les situations de la vie courante : monnaie, comparaison de mesures, échanges entre enfants. Les techniques spécifiques au calcul mental ne pourront s’installer durablement que si elles sont comprises, c’est-à-dire reliées à des connaissances déjà installées sur les nombres et sur les opérations : sens et technique sont étroitement liés.

A VOUS DE JOUER !

LE JEU DES DOUBLES TOUS NIVEAUX But à atteindre : être le premier à gagner 15 jetons Chaque enseignant lance à son tour les 2 dés. Il peut alors prendre : Autant de jetons que l'indique le plus grand dé Ou Le double du plus petit dé Faire au moins 3 parties pour explorer les difficultés, les possibilités....

Évolutions envisageables Anticiper les tirages permettant d'obtenir un nombre donné Idem mais avec la notion de moitié

Les tables de Pythagore Quelle progressivité ?

La table de multiplication À construire et à analyser avec les élèves

La mémorisation des répertoires additifs et soustractifs

Les tables de multiplication

Une progression basée sur la réflexion : Après la table de 2, les tables de 4 et de 8 peuvent être reconstruites. Même remarque après la table de 3 pour 6 et 9. La seule n'ayant aucun lien avec les autres, donc a priori la plus difficile à mémoriser, c'est la table de 7. Mais, en réalité, il ne reste alors que 7 x 7 à apprendre. Tous les autres peuvent être retrouvés par commutativité (Exemple : 7 x 8 et 8 x 7 ….)

La mémorisation des répertoires additifs et soustractifs Pour faciliter la visualisation des acquis

A vous de jouer !

Des jeux à fabriquer : en fabriquant 1 jeu Exemples de jeux multiplicatifs Des jeux à fabriquer : en fabriquant 1 jeu de chaque, toute la classe peut jouer en même temps ! * le jeu des mariages * le jeu de mémory * le jeu de la table * le jeu de Pythagore * les 50 cases * le jeu des multiples A partir de ces jeux, créer des jeux pour travailler les répertoires additifs et soustractifs