Apprentissage des mathématiques Résolution de problèmes Roland Charnay - 2007

Des enjeux complémentaires Acquérir des outils mathématiques… Etre capable de les utiliser dans différents domaines, en autonomie Préparer la suite des apprentissages (collège…) Développer des compétences générales Avoir les outils c’est bien, savoir les faire fonctionner chest mieux, mais savoir quand l'utiliser chest l'essentiel. Roland Charnay - 2007

Plan Etat des lieux : quelques données sur les acquis des élèves Analyse des difficultés Pistes pour l’action pédagogique Roland Charnay - 2007

Etat des lieux Quelques données Roland Charnay - 2007

Evaluation sixième 2004 Plus d'1 élève sur 5 a des difficultés avec les "compétences nécessaires pour profiter pleinement des situations pédagogiques de sixième" (pour plus de 2/3 des items considérés). Deux domaines particuliers de difficultés le calcul mental la résolution de problèmes Les compétences de base sont celles qui sont indispensables pour poursuivre l'apprentissage normal des mathématiques. Roland Charnay - 2007

Calcul mental – Evaluations CE2 et 6e 2004 : 28 % d'échec aux "questions de base" En calcul mental, il n’y a plus de problème avec la maitrise de la langue.( question orale) 36 divisé par 4, 55% de réuisste seulement. Enjeux du Calcul Mental ; Dans la vie courante, les principaux calculs se font mentalement, puis à l’aide de la calculatrice. Mais le calcul posé ne se fait quasment plus. La société a évolué. Le coeur des objectifs de l'école primaire a changé. Avant on apprenait le mécanisme, maintenant il faut comprendre comment cela fonctionne. Le manque de réflex des élèves dans la maitrise du CM les met en difficulté pour le reste, en particulier pour le raisonnement des situations problèmes. Les apprentissages se developpent d'abord avec des petits nombres et donc une bonne maîtrise du CM est indispensable. Le CM doit fonctionner en réflex. Le CM doit permettre de reconstruire les nombres à partir de ces mémorisations. On est dans le CM réfléchi Roland Charnay - 2007

Priorité au calcul mental parmi tous les moyens de calcul sous ses 2 aspects Mémoriser des résultats et des procédures Construire des résultats Roland Charnay - 2007

La résolution de problèmes Roland Charnay - 2007

Evaluation 6e - 2003 Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y a-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a ……… pages complètes. 54 % Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 % Roland Charnay - 2007

Procédures possibles Problème des photos Division par 6 Division (CM1) Essais de produits par 6 Table de multiplication (CE2) Addition de 6 en 6 Addition (CE1) Schématisation des pages et des photos Dénombrement (CP) Le sens de la division n'est pas encore maîtrisé par tous à la sortie de cm2. Mais il y d'autres stratégies de résolution qui mobilisent des resources à tous les niveaux de classes. Mais la réussite se situe dans les deux premières techniques seulement. Pour le reste c’est plutot du hasard de calcul. On peut avoir comme objectifs : D’amener le maximun d’enfants à utiliser les deux premières techniques D’amener chez les autres la mise en place de stratègies reposant sur leur connaissances. Roland Charnay - 2007

Une question Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème… ne pensent-ils pas… n’osent-ils pas… ne se croient-ils pas autorisés… … (à) les utiliser pour répondre à la question? Roland Charnay - 2007

Comparaison internationale (PISA 2003) Deux points faibles caractéristiques "Les élèves ont des connaissances, mais elles sont peu disponibles. Pour la plupart d'entre eux, si on ne leur dit pas explicitement quelles connaissances mathématiques il convient d'utiliser dans une situation donnée, ils ne la trouveront pas d'eux-mêmes, même s'ils possèdent le ou les éléments de connaissance correspondants". Manque d'autonomie : "Ils ne s'attaquent qu'aux questions qu'ils pensent pouvoir résoudre, ils ne disposent pas de stratégies pour aborder un problème qui ne leur est pas familier : essayer, expérimenter, bricoler… ne font pas partie des modes d'approche possibles". Antoine Bodin, Les mathématiques face aux évaluations, revue Repères (IREM), octobre 2006 Eva de PISA 2003 : lLs français ne sont ni les meilleurs ni les moins bons. Nous sommes comparables aux Belges et Anglais.... Sur des exercices proches du scolaire ça va, mais si cela devient original ça se complique. Les français sont les premiers en non réponse. Ils n’osent pas. Roland Charnay - 2007

Un exemple Un menuisier dispose de 32 m de planches et souhaite s'en servir pour faire la bordure d'une plate-bande dans un jardin. Il envisage d'utiliser un des tracés suivants pour cette bordure : Indiquez pour chacun des tracés s'il peut être réalisé avec les 32 m de planches. Français st bons sur D, ils se trompent sur B ( cela ressemble à un rectangle) ; pour A et C pas de formule ou de connaissances apprises dc fort taux d'échec. Roland Charnay - 2007

Analyse des difficultés Quelques pistes Roland Charnay - 2007

Le prix du sac de brioches est 2 F. Julie (éva 6e) Julie a acheté pour un goûter : deux tablettes de chocolat à 8 F. chacune quatre bouteilles de limonade à 6 F. chacune un sac de brioches. Elle a payé 56 F. Quel est le prix du sac de brioches ? 8 F x 6 F = 54 F Le prix du sac de brioches est 2 F. Qu'est ce qui s'est passé ds la tête de l'élève pour écrire cela ? Il a su lire l'énoncé . Il a compris qu'il y avait 3 trucs, on en connait 2 et après addition on trouvera le troisième. Il a pris 8 et 6 car c' très souvent le cas. Pourquoi pas + ; le mot chacune implique la multiplication. Roland Charnay - 2007

Schéma d’analyse sommaire Connaissances en lecture sur le contexte mathématiques sens des notions raisonnement calcul Connaissances sur ce qui est attendu sur ce qui est permis sur ce qui marche souvent sur "l'accueil" des erreurs A cause des ressources implicites, à dte , il s'interdit des démarches « bb » (dessin), il ne participe plus, il est perdu sorti du contexte. Roland Charnay - 2007

A la bonne place (éva CE2) Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient. 367 582 309 600 500 400 300 600 582 500 367 400 309 300 Roland Charnay - 2007

… pour le travail avec les élèves Quelques pistes… … pour le travail avec les élèves Roland Charnay - 2007

Apprendre ce qu’est chercher Un mot à double sens Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur Mathématic-attitude : chercher chest : Chercher dans sa tête (solution expertes) Chercher avec leur tête (nouvelle solution) A l'école on travaille essentiellement le premier sens. Il faut travailler les deux axes. On peut fabriquer ainsi de faux mauvais élèves mais surtout de faux bons élèves qui sont perdus par la nouveauté, les ex où l'on n'a pas de systématisation de la démarche. Roland Charnay - 2007

Exemples en GS 24 objets, 6 pochettes Exemple 1 : Résolution à l'aide du matériel 24 objets, 6 pochettes mettre 3 ou 4 ou 5 objets par pochette Contrainte supplémentaire : il doit y avoir tous les types de pochettes Autre contrainte : même nombre d'objets dans chaque pochette Exemple 2 : Résolution à l'aide du matériel Trouver toutes les répartitions de 12 objets dans 3 pochettes Roland Charnay - 2007

Narration de recherche Aide à la prise de conscience du comportement de chercheur et de stratégies efficaces Narration de recherche Rédiger un compte-rendu de sa recherche, en décrivant toutes les idées, toutes les pistes, y compris celles qui n'ont pas abouti (IREM de Montpellier) Faire des mathématiques, chest accepter de tâtonner, de faire des hypothèses, d'essayer, de se tromper, de corriger, de recommencer… Mise en commun Comprendre et discuter d'autres démarches Synthèse sur des stratégies efficaces Faire une hypothèse, la tester (pour voir) Faire un schéma (pour comprendre, pour chercher) Déduire de l'information d'un essai Systématiser des essais… Roland Charnay - 2007

Aider à l’appropriation du problème Plusieurs supports de présentation Vécu Dessin, schéma, document Oral Ecrit Aux cycles 1 et 2, le travail sur fiche est peu favorable, dans la phase d’apprentissage La présentation par l'écrit pose immédiatement des difficultés supplémentaires. La présentation orale est mieux souvent compris. Au C1 et au C2 l'abus de W sur fiche nuit à l'apprentissage. Roland Charnay - 2007

Dix dans la boîte (Cap maths CP) - deux joueurs - 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup. Roland Charnay - 2007

Dix dans la boîte : 3 problèmes Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à chaque coup Plusieurs solutions… dont les nombres Connaître le contenu de la boîte Vers l’addition Savoir s’il est possible de gagner au coup suivant Vers le complément Roland Charnay - 2007

ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situation Situation réelle Favorise l’appropriation de la situation et du problème Anticiper Incite à l'expérience mentale L'important n'est pas de manipuler, mais d'anticiper : Les E pose sur leur table 3 jetons puis 4 jetons et le maitre écrit au tableau 3 + 4 =7; il n'y a eu aucune recherche de l'addition mais d u comptage. Le M a devt lui une boite il met 3 puis 4 jetons ds la boite et demande combien il y en a. La réponse, la réalité n'est pas visible ni ds la tête du maître mais ds la boite. Il y a procédures mathématique. Au C2 il devrait passer 2/3 du temps à « chercher » et 1/3 du temps à faire fonctionner les système appris. Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures Roland Charnay - 2007

Limiter les références possibles à des indices « extérieurs » au problème. Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours Se méfier des aides « de surface » Attention aux aides textuelles ; elles ne fonctionnent pas tjrs dans le bon sens. Roland Charnay - 2007

Exploiter la diversité des procédures Favoriser la diversité Exploiter la diversité Aider au progrès des élèves Comment faire comprendre que l'élève peut oser toutes les expérimentations ; c dans l'exploitation que ne doit pas apparaître une seule solution; le « corrigé » doit intégrer parfois les différentes solutions. Si l'affichage de cette diversité n'apparaît js, il n'y aura pas encouragement à chercher. Au niveau des traces écrites, un montage des différentes solutions peut être proposé; ou le choix de copie d'une solution à utiliser la prochaine fois. Comment aller vers la résolution experte ; Affichage des différentes solutions Mise en relation par l'enseignant des solutions semblables (3 tas de 6 images, 6+6+6 ou 6X3..) Simplifier les nbr pour aller vers le mode expert Décourager les E de certains modes trop lourds (250 images à dessiner c long) Roland Charnay - 2007

Correction ou mise en commun ? Aboutir au corrigé, à LA solution Conséquence : « résolution » unique dont il faut s’approcher le plus possible Mise en commun Inventorier les « résolutions » Débattre de leur validité Les comparer Conséquence : la diversité est possible Roland Charnay - 2007

Trace écrite ? Pas de trace écrite cette fois-ci Une « résolution » correcte, au choix de chaque élève Un montage de différentes « résolutions » correctes Roland Charnay - 2007

Exemple : 250 passagers, 240 adultes Aider à progresser… Prise de conscience au cours de la mise en commun Mise en lien, établissement de ponts entre des « résolutions » en apparence différentes Choix des variables Exemple : 250 passagers, 240 adultes Expérience mettant en évidence l’équivalence de 2 « résolutions » (ici validation expérimentale) Roland Charnay - 2007

Accorder un autre statut à l'erreur Se tromper est « normal », dans la phase d'apprentissage Dans cette phase, l'erreur ne doit donc pas être sanctionnée On apprend aussi en travaillant sur les erreurs Roland Charnay - 2007

Un exemple en calcul mental Question : calculer "6 fois 15" Réponse sur l'ardoise : 36 Analyse (hypothèse confirmée par l'explication de l'élève) L'élève a calculé 6 x 5 = 30 et 6 x 1 = 6, puis 30 + 6 = 36 Roland Charnay - 2007

Travail possible Faire expliciter la procédure utilisée Pourquoi est-on sûr que cette réponse est fausse (sans refaire le calcul) ? Parce que chest plus grand que 6 x 10 Faire expliciter (éventuellement de plusieurs manières) une procédure correcte qui s'appuie sur une décomposition de 15 Roland Charnay - 2007

Exemples d'explicitations… Oralement 15 chest 10 + 5, pour avoir 6 fois 15, il faut prendre 6 fois 10 et 6 fois 5 Oralement, avec appui sur un dessin 6 fois ça et 6 fois ça Essentiellement par le dessin (ou matériel, doigts) Roland Charnay - 2007

Et retour sur la procédure erronée Quel calcul réalise-t-on en faisant 6 fois 5 plus 6 fois 1 ? Explications du même type que précédemment (oral, dessin…) Roland Charnay - 2007

La culture mathématique, chest … Des connaissances Des connaissances utilisables (donc qui ont du sens) Des connaissances cohérentes (reliées entre elles) La capacité à les utiliser pour justifier L'initiation à une pratique "mathématisante" Roland Charnay - 2007