Iranete Lima Sous la direction de Nicolas BALACHEFF et Jana TRGALOVA De la modélisation de connaissances des élèves aux décisions didactiques des professeurs Étude didactique dans le cas de la symétrie orthogonale Iranete Lima Sous la direction de Nicolas BALACHEFF et Jana TRGALOVA Thèse préparée au sein de L’Équipe Did@TIC, Laboratoire LEIBNIZ – IMAG Financée par le gouvernement brésilien – CNPq

Plan de la présentation 1. Problématique et cadre théorique 2. Modélisation de connaissances des élèves 3. Étude de décisions didactiques 4. Expérimentation auprès des élèves 5. Expérimentation auprès des professeurs 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

Contexte : Étude des décisions didactiques Projet BAP (Soury-Lavergne éd., 2003) Problématique EIAH Apprentissage de la preuve autour de la symétrie orthogonale Diagnostic de conceptions Décisions didactiques (Chaachoua & Lima, 2003 ; Lima & Trgalova, 2005) 1. Problématique et Cadre Théorique

1. Problématique et Cadre Théorique Étude de décisions didactiques des professeurs : décisions prises avec une intention d’apprentissage par l’élève de la connaissance visée 1. Problématique et Cadre Théorique Modélisation de connaissances des élèves concernant la connaissance visée Choix d’une notion mathématique : symétrie orthogonale

Modèle des niveaux du professeur 1. Problématique et Cadre Théorique Cadre de référence Choix des Cadres de Référence qui contiennent des principes méthodologiques et des règles qui permettent de réaliser les modélisations envisagées : Modèle cK¢ Modèle des niveaux du professeur 1. Problématique et Cadre Théorique Balacheff (1995, 2005) Margolinas (2002, 2005)

Modèle cK¢ : formalisation de conceptions La conception est l’état d’équilibre d’un système, et plus précisément d’une boucle action/rétroaction du système [sujet<>milieu]. P est un ensemble de problèmes R est un ensemble d’opérateurs L est un système de représentation  est une structure de contrôle 1. Problématique et Cadre Théorique

Hypothèse de travail (1) Les contrôles rendent compte des critères qui renvoient le sujet au choix, à la décision, à l’adéquation, à la validité d’une action, à la décision « résolu » pour un problème (Gaudin, 2005). 1. Problématique et Cadre Théorique

Questions de recherche Q1 : Comment caractériser l’ensemble des contrôles des conceptions susceptibles d’être mobilisés par l’élève dans la résolution d’un problème relatif à la symétrie orthogonale ? Q2 : À partir de l’ensemble des contrôles, peut-on accéder aux autres éléments qui caractérisent une conception, notamment les opérateurs et les problèmes ? Si oui, comment ? 1. Problématique et Cadre Théorique

Hypothèse de travail (2) L’apprentissage est considéré comme le passage d’une conception à une autre. Une conception C est légitimée par une sphère de pratique. Cette légitimité s’impose en fonction du problème que le sujet résout. 1. Problématique et Cadre Théorique

1. Problématique et Cadre Théorique Question de recherche Q3 : Quels sont les types de problèmes qui favorisent le passage d’une conception Ci à une conception Cj, et comment décrire ces problèmes en termes de variables didactiques ? 1. Problématique et Cadre Théorique

Modèle des niveaux du professeur 1. Problématique et Cadre Théorique Cadre de référence Modèle cK¢ Modèle des niveaux du professeur 1. Problématique et Cadre Théorique Balacheff (1995, 2005) Margolinas (2002, 2005)

Modèle des niveaux du professeur Situations sur-didactiques +3 Valeurs et conceptions sur l’enseignement/apprentissage projet éducatif : valeurs éducatives, conceptions de l’apprentissage et de l’enseignement + 2 Construction du thème construction didactique globale dans laquelle s’inscrit la leçon : notions à étudier et apprentissage à réaliser + 1 Projet de leçon projet didactique spécifique pour la leçon observée : objectifs, planification du travail 0 Situation didactique réalisation de la leçon, interaction avec les élèves, prise de décisions dans l’action -1 Observation de l’activité des élèves perception de l’activité de l’élève, régulation du travail délégué aux élèves 1. Problématique et Cadre Théorique Situation a-didactique

Hypothèse de travail (3) Connaissances susceptibles d’intervenir dans la prise de décisions des professeurs (Comiti, Grenier et Margolinas, 1995) : niveau + 3 : connaissances sur la notion mathématique et sur l’apprentissage  niveau + 2 : connaissances relatives à la situation d’enseignement/apprentissage  niveau + 1 : connaissances globales sur les connaissances et les difficultés habituelles des élèves niveau 0 : connaissances qui sont des interprétations et/ou des représentations des élèves, qui vont lui servir dans l’action pour ses prises de décisions immédiates  niveau - 1 : connaissances permettant de distinguer dans le travail de l’élève les erreurs ou les difficultés 1. Problématique et Cadre Théorique

1. Problématique et Cadre Théorique Question de recherche Q4 : Sur quels éléments les professeurs s’appuient-ils pour prendre leurs décisions didactiques en vue de faire évoluer les conceptions mobilisées par un élève ? 1. Problématique et Cadre Théorique

Plan de la présentation 1. Problématique et cadre théorique 2. Modélisation de connaissances des élèves 3. Étude de décisions didactiques 4. Expérimentation auprès des élèves 5. Expérimentation auprès des professeurs 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

2. Modélisation des Connaissances Objectifs Caractériser a priori l’ensemble des contrôles des conceptions susceptibles d’être mises en œuvre par un élève générique dans la résolution de problèmes de symétrie orthogonale Décrire des procédures de résolution 2. Modélisation des Connaissances

L’étude théorique Symétrie Orthogonale Résultats de recherches Institution scolaire Symétrie Orthogonale 2. Modélisation des Connaissances Mathématique et didactique

Résultats de recherches Typologie des procédures (Grenier & Laborde, 1987 ; Grenier, 1988) : rappels : horizontal, vertical, par prolongement, orthogonal procédures analytiques, semi-analytiques, globales Typologie des conceptions (Tahri, 1993) : parallélisme, symétrie centrale, symétrie oblique, symétrie orthogonale Théorèmes en acte (Grenier, 1988) : un segment horizontal ne peut se transformer en un segment vertical la symétrie matérialise sur la feuille deux demi-plans 2. Modélisation des Connaissances

Institution scolaire : Programmes Cycle 2 : exploitation de l’aspect perceptif de la symétrie (par la vue, par l’utilisation du pliage, calque, miroir…) Cycle 3 : passage progressif des connaissances perceptives aux connaissances géométriques (utilisation du pliage, calque…; tracé de figures symétriques sur papier quadrillé ) Classe 6e : passer de l’identification perceptive de figures et de configurations à leur caractérisation par des propriétés (construction d’un point, d’un segment, d’un cercle, que l’axe de symétrie coupe ou non la figure) 2. Modélisation des Connaissances

Institution scolaire : manuels Définitions : Deux figures symétriques par rapport à une droite se superposent par pliage le long d’une droite. Deux points distincts A et A’ sont symétriques par rapport à une droite d lorsque la droite d coupe le segment [AA’] perpendiculairement en son milieu. Propriétés : Caractéristiques : l’orthogonalité et l’égalité des distances Conservation : longueur, mesure des angles, alignement... 2. Modélisation des Connaissances

Institution scolaire : manuels Types de problèmes : reconnaissance de figures symétriques par rapport à une droite d  reconnaissance d’axes de symétrie  construction de figures symétriques par rapport à une droite d  (à main levée, sur papier quadrillé, avec des instruments de dessin)  construction d’axes de symétrie (à main levée, sur papier quadrillé, avec des instruments de dessin) 2. Modélisation des Connaissances

Formalisation de contrôles Critères de choix Taille Distance à l’axe 2. Modélisation des Connaissances Direction Forme Sens Position

2. Modélisation des Connaissances Critères et valeurs Distance à l’axe : conservée Taille : conservée 2. Modélisation des Connaissances Direction : horizontale ou celle donnée par le prolongement d’un segment de F Forme : conservée Sens : inverse Position : translation suivie d’un retournement

2. Modélisation des Connaissances Contrôles Σtaille : Le symétrique d’un segment est un segment de même longueur Distance à l’axe : conservée Taille : conservée Σdist : Une figure (sous-figure) et sa symétrique sont à la même « distance » de l’axe de symétrie 2. Modélisation des Connaissances Σhor : L’image d’une figure (sous-figure) par une symétrie orthogonale est construite dans une direction horizontale Σprolong : L’image d’une figure par une symétrie orthogonale est construite dans la direction donnée par le prolongement d’un segment de cette figure Direction : horizontale ou celle donnée par le prolongement d’un segment de F Σforme : Une figure et son image par la symétrie orthogonale ont la même forme Forme : conservée Sens : inverse Position : translation suivie d’un retournement Σtranslation : L’image d’une figure F par la symétrie orthogonale est obtenue par une translation de F dans une direction choisie Σsens_inverse : Une figure et son symétrique ont leur sens inverse

2. Modélisation des Connaissances Autres contrôles Liés à l’utilisation du pliage Σpliage_1 : Une figure et sa symétrique se superposent par pliage le long de l’axe de symétrie  Liés à l’utilisation du calque Σcalque_3 : Si F’ est obtenue en décalquant F et en retournant le papier calque, alors F et F’ sont symétriques Liés à la nature de la figure F Σnature_de_F’ : Le symétrique d’une figure est une figure de même nature Liés aux relations entre la figure F et la droite d Σpoint_invariant : Le symétrique d’un point sur l’axe est le point lui-même  Contrôles de parallélisme Σparallélisme_segment : Un segment et son symétrique sont parallèles 2. Modélisation des Connaissances

Résultats de l’étude théorique Modélisation de contrôles susceptibles d’être mobilisés par l’élève dans la résolution de problèmes de reconnaissance et de construction de figures symétriques. Répertoire des variables didactiques. Description en termes de contrôles des procédures susceptibles être mobilisés par l’élève dans la construction de figures symétriques. Étant donné que les opérateurs sont attestés dans l'action, cette étude ne nous a pas permis de formaliser a priori les opérateurs. 2. Modélisation des Connaissances

Plan de la présentation 1. Problématique et cadre théorique 2. Modélisation de connaissances des élèves 3. Étude de décisions didactiques 4. Expérimentation auprès des élèves 5. Expérimentation auprès des professeurs 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

3. Étude de décisions didactiques Quels sont les éléments déterminants dans la prise de décisions didactiques du professeur ? Dans le but de favoriser un apprentissage chez l’élève, le professeur prend des décisions : Quelle est la meilleure manière d’aborder un contenu ? Quels problèmes choisir ? À partir d’une réponse de l’élève, quelle est la manière la plus pertinente de conduire un processus d’enseignement ? … 3. Étude de décisions didactiques

Modèle des niveaux du professeur Niveaux sur-didactiques + 3 Valeurs et conceptions sur l’enseignement/apprentissage projet éducatif : valeurs éducatives, conceptions de l’apprentissage et de l’enseignement + 2 Construction du thème construction didactique globale dans laquelle s’inscrit la leçon : notions à étudier et apprentissage à réaliser + 1 Projet de leçon projet didactique spécifique pour la leçon observée : objectifs, planification du travail 0 Situation didactique réalisation de la leçon, interaction avec les élèves, prise de décisions dans l’action - 1 Observation de l’activité des élèves perception de l’activité de l’élève, régulation du travail délégué aux élèves 3. Étude de décisions didactiques Projet didactique local

Situation du professeur participant à notre recherche Projet didactique local Projet éducatif : valeurs éducatives, conceptions de l’enseignement et de l’apprentissage (+3) Professeur Situation S +1 3. Étude de décisions didactiques Production de l’élève Observé de la situation S-1 Projet global : notions à étudier et apprentissage à réaliser (+2)

Plan de la présentation 1. Problématique et cadre théorique 2. Modélisation de connaissances des élèves 3. Étude de décisions didactiques 4. Expérimentation auprès des élèves 5. Expérimentation auprès des professeurs 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

Expérimentation auprès des élèves Objectifs : recueillir des productions d’élèves afin de pouvoir identifier les types de réponses et de procédures concevoir des copies pour l’expérimentation menée auprès des professeurs dans le but d’étudier leurs prises de décisions didactiques Le public : 51 élèves de deux classes de quatrième (13-14 ans d’âge) d’un collège à Grenoble Données recueillies : copies 4. Expérimentation auprès des élèves

Expérimentation auprès des élèves : quelques résultats Certains élèves ont donné des réponses et ont utilisé des procédures de construction convergentes sur la totalité des problèmes. D’autres élèves ont donné des réponses et ont utilisé des procédures de construction différentes d’un problème à l’autre. D’autres encore ont donné aussi bien des réponses correctes qu’erronées. Cependant, il y a une certaine cohérence dans ces réponses en termes de contrôles mobilisés. 4. Expérimentation auprès des élèves

Construction théorique de copies « Anissa » : copie fictive avec réponses et procédures présentant une certaine convergence « Béatrice » : copie vraie comportant des réponses assez variées « Cédric » : copie fictive avec réponses et procédures tantôt correctes tantôt erronées, présentant toutefois une convergence dans les contrôles mobilisés 4. Expérimentation auprès des élèves

4. Expérimentation auprès des élèves Copie Béatrice Problème-flèche 4. Expérimentation auprès des élèves Σprolong : L’image d’une figure par une symétrie orthogonale est construite dans la direction donnée par le prolongement d’un segment de cette figure. Σdist : Une figure (sous-figure) et sa symétrique sont à la même « distance » de l’axe de symétrie. Σrotation : L’image d’une figure par la symétrie orthogonale est obtenue par une rotation de F autour d’un point et d’un angle choisis. Ou Σrotation + Σsens_inverse :  une figure et son symétrique ont leur sens inverse. Σparallélisme_segment : Un segment et son symétrique sont parallèles. Présentons d’abord notre analyse de cette copie en termes en termes des éléments de conceptions à lumière du modèle cK¢. Le première problème proposé aux élèves a été un problème de reconnaissance suivant : Quelle est la couleur de la flèche symétrique de la flèche noire par rapport à la droite d. Béatrice a choisi la flèche rouge en justifiant… Nous avons supposé que les contrôles qui ont pu intervenir dans ce choix de Béatrice sont… Étant donné qu’il s’agit d’un problème de reconnaissance et que Béatrice n’a pas réalisé des actions sur la figure l’analyse de la copie ne nous a pas permis d’identifié les opérateurs éventuellement mobilisés par Béatrice.

4. Expérimentation auprès des élèves Copie Béatrice Problème segment-losange 4. Expérimentation auprès des élèves Σprolong ; Σdist ; Σrotation   Σtranslation : L’image d’une figure F par la symétrie orthogonale est obtenue par une translation de F dans une direction choisie + Σsens_inverse ; Σparallélisme_segment Σdemi_plan : Le symétrique de F est situé de l’autre côté de l’axe de symétrie. Σpoint_invariant : Le symétrique d’un point sur l’axe est le point lui-même. 

4. Expérimentation auprès des élèves Copie Béatrice Problème-segment Σortho : La figure (sous-figure) symétrique d’une figure (sous-figure) par la symétrie orthogonale est construite dans la direction orthogonale à d ; Σdist  Σsegment : Si les extrémités d’un segment sont les symétriques des extrémités d’un autre segment par rapport à une droite d, alors ces deux segments sont symétriques par rapport à d. 4. Expérimentation auprès des élèves RB1 : Construire une droite perpendiculaire à la droite d passant par un point. RB2 : Construire le symétrique d’un point en conservant la distance à l’axe dans la direction orthogonale à celui-ci. RB3 : Construire le symétrique d’un segment comme le segment reliant les symétriques des extrémités du segment objet.

4. Expérimentation auprès des élèves Copie Béatrice Problème-maison Σortho ; Σdist ; Σtaille_1 : Le symétrique d’un segment est un segment de même longueur. Σforme : Une figure et son image par la symétrie orthogonale ont la même forme (en particulier, le symétrique d’un segment est un segment). Σposition_autre : l’image de la figure est construite en fonction d’une direction précédemment définie ; Σsens_inverse 4. Expérimentation auprès des élèves RB1 : Construire une droite perpendiculaire à la droite d passant par un point. RB2 : Construire le symétrique d’un point en conservant la distance à l’axe dans la direction orthogonale à celui-ci . RB4 : À partir d’un point construit, tracer la figure image (F’) tout en conservant la taille et la forme de la figure initiale (F), et en inversant l’orientation des angles.

Copie Béatrice : conclusions Problèmes de reconnaissance : contrôle lié à la direction donnée par le prolongement d’un segment ; Problème de construction du segment : procédure analytique contrôle lié à la propriété d’orthogonalité et distance. Problème de construction de la maison : procédure semi-analytique contrôles taille, forme, sens inverse Système de représentation : changement de registre passant du géométrique au spatio-graphique et vice-versa 4. Expérimentation auprès des élèves S’agit-il de conception(s) ? Si oui, s’agit-il de l’évolution d’une conception vers une autre, ou bien de la cohabitation de plusieurs conceptions chez Béatrice ?

Plan de la présentation 1. Problématique et cadre théorique 2. Modélisation de connaissances des élèves 3. Étude de décisions didactiques 4. Expérimentation auprès des élèves 5. Expérimentation auprès des professeurs 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

Dispositif expérimental Objectifs : Dégager les éléments identifiés par les professeurs dans l'activité de l’élève, et la façon dont ces éléments sont pris en compte dans leurs décisions didactiques Dégager les éléments des projets globaux d'enseignement (niveau +2) et des projets éducatifs (niveau +3) qui influencent les décisions des professeurs 5. Expérimentation auprès des professeurs

Dispositif expérimental Public 10 professeurs expérimentés dans l'enseignement secondaire ou primaire Dossier fourni aux professeurs fiche de l'enseignant copies Anissa, Béatrice et Cédric questionnaire série de 18 problèmes Données recueillies questionnaires entretiens (2 professeurs) 5. Expérimentation auprès des professeurs

5. Expérimentation auprès des professeurs Questionnaire 1) Pourriez-vous décrire ce qu’est la symétrie axiale pour cet élève (propriétés attribuées à cette notion par l’élève, types d’erreurs, moyens de contrôle …) ? 2) Quelle séquence d’apprentissage proposez-vous pour cet élève ? Justifiez tous les choix faits dans cette séquence : a) éléments pris en compte b) raisons du choix des problèmes et conditions d’utilisation de ces problèmes c) autres remarques 5. Expérimentation auprès des professeurs

Méthodologie d’analyse des productions des professeurs Σpliage_1 : Une figure et sa symétrique se superposent par pliage 5. Expérimentation auprès des professeurs Σ ortho : La figure (sous-figure) symétrique d’une figure (sous-figure) par la symétrie orthogonale est construite dans la direction orthogonale à d Σ dist : Une figure (sous-figure) et sa symétrique sont à la même « distance » de l’axe de symétrie Σdemi_plan : Le symétrique de F est situé de l’autre côté de l’axe de symétrie Voici l’extrait d’une production d’un professeur. Nous l’avons analysé de la manière suivante. Celle–ci est la réponse donné par un des professeurs à la première question où nous avons demandé au professeur de décrire ce qui est la symétrie axiale pour cet élève.

Copie Béatrice Prise d’information par les professeurs La structure de contrôle des conceptions initiales contiendrait : Contrôles Prof_1 Prof_2 Prof_3 Prof_4 Prof_5 Σdist  non stable Σortho Σtaille_1 Σforme Σdemi_plan Σpliage_1 Σdist_point /point 5. Expérimentation auprès des professeurs

Copie Béatrice Projets didactiques des 5 professeurs La structure de contrôle de la conception visée contiendrait : Contrôles Prof_1 Prof_2 Prof_3 Prof_4 Prof_5 Σpliage_2 Σortho Σdist  Σsens_inverse Σpoint_invariant 5. Expérimentation auprès des professeurs

Copie Béatrice : Conclusions Les connaissances qui semblent avoir influencé les décisions des professeurs : connaissances des programmes scolaires : symétrie et pliage connaissances relevant de l’expérience de l’enseignement et connaissances du fonctionnement des élèves : aspect visuel de la symétrie (Prof_1 et Prof_5) efficacité du travail à l’oral (Prof_5) les situations de guidage fonctionnent dans certains cas (Prof_4) 5. Expérimentation auprès des professeurs

Copie Béatrice : Conclusions connaissances mathématiques de la symétrie : propriétés d’orthogonalité et d’égalité des distances propriété d’invariance des points sur l’axe (Prof_2) relation symétrie/pliage (Prof_3) conceptions de l’enseignement/apprentissage : on apprend à partir de ce qu’on sait déjà ; amener l’élève à dégager de nouvelles connaissances qui se substitueront aux anciennes (Prof_1 et Prof_2) mobilisation de connaissances nouvelles pour déstabiliser des connaissances erronées  (Prof_4) l’élève apprend à partir des exercices progressifs (Prof_4 et Prof_5) formulation favorisant l’apprentissage (tous les Profs) importance du réinvestissement des connaissances (tous les Profs) 5. Expérimentation auprès des professeurs

Plan de la présentation 1. Problématique et cadre théorique 2. Modélisation de connaissances des élèves 3. Étude de décisions didactiques 4. Caractérisation des conceptions 5. Expérimentation auprès des professeurs 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

6. Conclusion générale et perspectives Questions Q1 et Q2 concernant la caractérisation des contrôles et l’accès aux autres éléments des conceptions : L’étude a priori nous a permis d’identifier les contrôles susceptibles d’être mobilisés par un élève générique dans la résolution des problèmes de reconnaissance et de construction de figures symétriques. L’étude des copies nous a permis de dégager chez ces élèves les , les R et L des conceptions mobilisées dans la résolution des problèmes P proposés. 6. Conclusion générale et perspectives

6. Conclusion générale et perspectives Questions Q1 et Q2 concernant la caractérisation des contrôles et l’accès aux autres éléments des conceptions : Dans certains cas où les réponses de l’élève paraissaient confuses, voire contradictoires, grâce à l’analyse en termes de contrôles nous avons pu reconstituer un raisonnement cohérent chez l’élève dans la résolution des problèmes. Nous pensons avoir ainsi mis en évidence l’intérêt didactique d’étudier l’activité de l’élève en termes de structures de contrôle. 6. Conclusion générale et perspectives

6. Conclusion générale et perspectives Question Q3 : quels sont les types de problèmes qui favorisent le passage d’une conception Ci à une conception Cj, et comment décrire ces problèmes en termes de variables didactiques ? Les conceptions Ci et Cj identifiées par ces professeurs chez les élèves ne sont pas les mêmes. Nous n’avons pas eu les moyens de faire une analyse comparative en termes de problèmes utilisés par les professeurs pour favoriser le passage de Ci à Cj. 6. Conclusion générale et perspectives

6. Conclusion générale et perspectives Question Q4 : sur quels éléments les professeurs s’appuient-ils pour prendre leurs décisions didactiques en vue de faire évoluer les conceptions mobilisées par un élève ? Les connaissances des programmes scolaires, du fonctionnement des élèves, et notamment leurs connaissances mathématiques de la symétrie et leurs conceptions de l’enseignement/apprentissage. Les connaissances de la symétrie orthogonale intervenant le plus dans les décisions des professeurs sont liés au pliage et aux propriétés d’orthogonalité et d’égalité des distances. 6. Conclusion générale et perspectives

Perspectives de recherche Modélisation de connaissances : A partir des contrôles, des opérateurs et des systèmes de représentation utilisés par un sujet dans la résolution de problèmes, comment identifier si une ou plusieurs conceptions sont présentes chez ce sujet ? Modélisation de décisions didactiques : Quels sont les types de problèmes qui favorisent le passage d’une conception initiale Ci à une conception cible Cj, Ci et Cj étant connues, et comment décrire ces problèmes en termes de variables didactiques ? 6. Conclusion générale et perspectives

Merci beaucoup !!! Muito obrigada !!!