Programme Point institutionnel (1h) Tri de problèmes (1h) Point sur les types de raisonnements (30min) Problème ouvert et tâche complexe (30min) Repas Point sur le calcul algébrique (30min) Analyse de travaux d’élèves (1h30) Evaluation du socle (30min) Bilan et perspectives (15min)

1 Ce que « disent » les textes officiels Introduction 1 Ce que « disent » les textes officiels

l’acquisition du socle commun par tous les élèves est une obligation du service public d’éducation inscrite dans la loi : « La scolarité obligatoire doit au moins garantir à chaque élève les moyens nécessaires à l’acquisition d’un socle commun constitué d’un ensemble de connaissances et de compétences qu’il est indispensable de maîtriser pour accomplir avec succès sa scolarité, poursuivre sa formation, construire son avenir personnel et professionnel et réussir sa vie en société »[1] . [1] Loi d’orientation et de programme pour l’avenir de l’École, n°2005-380 du 23 avril 2005, article 9.

le socle constitue le cœur du programme et, comme tel, sa maîtrise est indispensable à toutes les poursuites d’études comme à la vie en société. Le document d’application « Document ressource pour le socle commun dans l’enseignement des mathématiques au collège » a pour ambition de montrer, à la fois par des indications générales et par des exemples, comment l’enseignant de mathématiques peut gérer, en termes de formation et en termes d’évaluation, cette double exigence de l’acquisition du socle par tous les élèves et de l’avancement dans le programme.

2 Les finalités de la formation en mathématiques Introduction 2 Les finalités de la formation en mathématiques

Le socle et le programme Permettre aux élèves d’acquérir les mathématiques nécessaires à une poursuite d’études (autrement dit, le programme), objectif qui doit rester l’ambition pour tous. Donner à tous la culture mathématique nécessaire au citoyen (autrement dit, permettre aux élèves d’acquérir les connaissances et compétences du socle commun), objectif que l’on peut qualifier de nécessaire pour tous.

Les priorités en termes de formation Incontestablement, la maîtrise du calcul réfléchi inséparable du sens des nombres et des opérations. L’acquisition d’automatismes qui favorisent l’autonomie et l’initiative des élèves dans la résolution de problèmes et les mettent en confiance. La mise en place permanente de l’activité de raisonnement qui est l’essence même des mathématiques.

I les points clés de l’enseignement des mathématiques au collège

1 La résolution de problème Compétences: lire, interpréter et organiser l’information ; s’engager dans une démarche de recherche et d’investigation ; mettre en relation les connaissances acquises, les techniques et les outils adéquats pour produire une preuve ; communiquer par des moyens variés et adaptés – aptes à convaincre – la solution du problème Attestation de maîtrise du socle commun 2 grands types de raisonnement : Induction et présomption déduction 2 étapes : rechercher et produire la preuve Mettre en forme et communiquer

2 Des exemples de raisonnement La somme de deux multiples de 7 est-elle un multiple de 7 ? (Quelques productions d’élèves en réponse à la question posée)

3 Le raisonnement déductif Raisonner en mathématiques, ce n’est pas seulement pratiquer le raisonnement déductif Un raisonnement déductif peut être considéré comme complet même s’il n’a pas une mise en forme canonique La mise en forme écrite d’une preuve ne fait pas partie des exigibles du socle Le travail sur l’oral à l’occasion de « débats mathématiques » constitue un pas essentiel dans l’apprentissage de l’argumentation

4 Ouvrir les problèmes Favoriser l’engagement des élèves dans la résolution et permettre la mise en activité de chacun Laisser vivre différentes stratégies de résolution Développer la prise d’initiative Ne pas s’abstenir de confronter les élèves à des tâches complexes

Exemple 1 Voici un programme de calcul qui peut s’appliquer à n’importe quel nombre Tripler Ajouter 4 Doubler Retirer 4 1) Appliquer le programme au nombre 5. 2) À quel(s) nombre(s) faut-il appliquer le programme pour trouver 809,2 ? 3) À quel(s) nombre(s) faut-il appliquer le programme pour trouver 14?

Exemple 2 Voici un programme de calcul qui peut s’appliquer à n’importe quel nombre. Doubler Ajouter 3 Multiplier par 3 Ajouter le nombre de départ 1) À quel(s) nombre(s) faut-il appliquer le programme pour trouver 25,1 ? 2) À quel(s) nombre(s) faut-il appliquer le programme pour trouver 34 ?

Exemple 3 Brevet

5 La démarche d’investigation chaque fois qu’une question est posée et que la réponse ne peut être donnée immédiatement à partir de connaissances disponibles Déroulement: Réflexion sur le problème posé  appropriation du problème, vocabulaire, contexte confrontation avec les savoirs disponibles (il est donc nécessaire de « connaître son cours »), recherche éventuelle d’informations sur le thème. Élaboration d’une conjecture recherche, avec mise en place éventuelle d’une première expérimentation, émission de la conjecture, confirmation, avec mise en place éventuelle d’une seconde expérimentation. Mise en place d’une preuve argumentée.

Une compétence transversale ? II Raisonner… Une compétence transversale ?

II-1… socialement Un raisonnement est un type particulier d’argumentation : La déduction énonce logiquement une conclusion nécessaire à partir de propositions données (S Holmes) l’induction est la formulation d’un énoncé général à partir de la constatation d’un ensemble de faits particuliers l’analogie consiste à tirer des conclusions d’une ressemblance entre les objets sur lesquels on raisonne (B Franklin)

II-2… en français Démarche inductive : observation d’un texte ou d’un corpus de textes, repérage guidé par des questions d’un certain nombre d’éléments, mise en évidence à partir de ces éléments du fait grammatical objet de l’étude et enfin mise en application immédiate de la notion découverte. Déductive : Lors de la production d’un texte ou de l’écriture d’un texte sous la dictée, comme par exemple pour accorder un participe passé. Il faut attendre la classe de seconde pour que soit développée la capacité à rédiger des textes argumentatifs fondés sur des raisonnements déductifs et que les élèves distinguent démontrer et argumenter d’une part, convaincre et persuader d’autre part.

II-3… en histoire géographie Placé en situation d’argumentation en histoire, l’élève va chercher à comprendre une situation, éclairer un fait en procédant par analogie en utilisant soit une situation passée déjà connue de lui, soit la connaissance qu’il a du monde actuel. En géographie, l’étude part de situations particulières ou spécifiques pour ensuite dégager par une démarche inductive des savoirs d’ordre général. La géographie sollicite largement l’analogie pour dégager des similitudes mais aussi des oppositions de situations. Des mises en relations et un raisonnement déductif permettent à partir du cycle central d’analyser une situation particulière.

II-4… en sciences expérimentales L’abduction (ou raisonnement abductif) est un mode de raisonnement consistant à déterminer la ou les causes les plus probables d’une "observation surprenante". L’élève confronté à un problème est conduit à émettre des conjectures, des hypothèses (recherche d’explications ou de causes). Pour ce faire, l’élève conduit un raisonnement abductif, postulant par exemple à partir de l’observation, un principe de fonctionnement qui expliquerait le résultat d’une action réalisée avec un objet technique

III Pour tous les élèves…

…Pour tous les élèves, et en particuliers pour les plus en difficulté… « …les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne […] La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s’acquiert et s’exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. » Aussi, on se méfiera de toute démarche réduisant l’enseignement des mathématiques à une suite d’acquisitions de techniques, voire à du dressage. Les mathématiques sont toujours un lieu de créativité et de recherche. Il n’est pas question de proposer un programme réduit ou des exercices plus pauvres, ou plus simples, en un mot moins ambitieux ou ennuyeux, mais bien de s’assurer que chaque élève trouve dans sa classe, avec son maître, les conditions d’un apprentissage motivant des fondamentaux qui lui donneront les clés de sa réussite.