Académie de Strasbourg Journées d'animations pédagogiques 2009 Académie de Strasbourg Atelier Fonctions

Extraits du programme de troisième Connaissances: Notion de fonction Image, antécédent, notations f (x), x f (x). Capacités: Déterminer l'image d'un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule. Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique.

3ème Commentaires Toute définition générale de la notion de fonction et la notion d’ensemble de définition sont hors programme. La détermination d’un antécédent à partir de l’expression algébrique d’une fonction n’est exigible que dans le cas des fonctions linéaires ou affines.

3ème Connaissances Fonction linéaire. Coefficient directeur de la droite représentant une fonction linéaire. Fonction affine. Coefficient directeur et ordonnée à l’origine d’une droite représentant une fonction affine.

Capacités (sur les fonctions affines) 3ème Capacités (sur les fonctions affines) Déterminer une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images. Représenter graphiquement une fonction affine. Lire et interpréter graphiquement les coefficients d’une fonction affine représentée par une droite. - Déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère.

Exercice de brevet blanc 3ème Exercice de brevet blanc On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre ; Multiplier ce nombre par 6 ; Ajouter le carré du nombre choisi ; Ajouter 9 à la somme obtenue.   1. Montrer que, si on choisit le nombre 5, le résultat obtenu est 64. 2. Calculer la valeur du résultat obtenu lorsque le nombre choisi est -2. 3. On note x le nombre choisi. Exprimer le résultat obtenu en fonction de x. 4. Démontrer que le résultat obtenu est égal à (x + 3)². 5. Quel nombre peut-on choisir pour que le résultat soit 0 ?

Exercice de brevet blanc 3ème Exercice de brevet blanc On donne ci-contre le graphique d’une fonction f. Répondre aux questions suivantes :   1. Donner l’image de 1 par la fonction f. 2. Lire f(0). 3. Quels sont les antécédents de 1. 4. Donner un nombre qui a trois antécédents.

Une progression à construire à partir de problèmes…. La classe de seconde: Une progression à construire à partir de problèmes…. qui laisse le temps de la maturation qui développe l'autonomie des élèves

Travailler les changements de registre Tableaux de valeurs Formule Texte Tableau de variations Courbes

Laisser le temps de la maturation: sur la notion de fonction. sur les variations. sur les fonctions de référence. Voici cinq activités pour illustrer ces propos.

Activité 1 d 50 100 150 200 250 300 350 P -45 -60 -25 -30 -37.5 -52 A l’aide d’un sonar, un navire sonde le fond marin. Pour cela, il se déplace en suivant une ligne droite à partir d’un point d’origine et il émet des salves d’ultrasons. Il mesure le temps qui s’écoule avant de recevoir l’écho des ultrasons et en déduit la profondeur P de la mer sous le point situé à la distance d de l’origine. Le tableau ci-dessous donne les mesures en mètres, effectuées pour plusieurs positions du navire. Construire le nuage de points associé à ce tableau. Peut-on déterminer pour quelles positions d du navire la profondeur est 50 mètres ? Cela a-t-il un sens de relier les points du nuage ?

Activité 1 Les données sont insuffisantes pour conclure sans émettre d'hypothèses supplémentaires

Activité 1 bis t 9 22 35 45 58 T -5.5 -4 -2 -1 -0.5 t 100 120 160 180 200 220 T 0.1 0.5 1 On réchauffe doucement un glaçon et on mesure l'évolution de la température T de la matière observée (glace ou eau) en fonction du temps t. T est exprimée en degrés Celsius et t en secondes. Construire le nuage de points associé à cette situation. Cela a-t-il un sens de relier les points du nuage? Peut-on déterminer pendant combien de temps la température observée est comprise entre -0,5 et +0,5 degrés ? Deux situations inspirées du manuel "Hyperbole". Les questions ont été réécrites.

Activité 1 Dans ce cas les données permettent de conclure car la température du mélange augmente avec le temps.

Activité 2 Bernard a pris sa voiture pour aller voir un ami à Mulhouse avant de revenir chez lui à Haguenau. Il a dressé trois graphiques pour résumer son trajet. Le premier décrit la quantité restante d’essence dans son réservoir en fonction du temps écoulé. Le deuxième la distance parcourue en fonction du temps écoulé. Le troisième la distance qui le sépare de Haguenau en fonction du temps écoulé.

Activité 2 Les trois fonctions seront notées E, d et H. L’un des graphiques a été perdu et, sur les deux autres les valeurs figurant sur l’axe des ordonnées ont été effacées. Bernard se souvient que son réservoir contenait 16,5 litres lorsqu’il est parti de Haguenau et que la distance Haguenau- Mulhouse est de 150 km. Le temps écoulé est exprimé en heures.

Activité 2 Partie 1 : Raisonner sur des graphiques Associer chacun des deux graphiques restants à l’une des trois fonctions E, d et H. Combien de temps Bernard est-il resté à Mulhouse ? Pourquoi la femme de Bernard n’était-elle pas contente le lendemain matin lorsqu’elle a voulu prendre la voiture ? Graduer les axes des ordonnées des deux graphiques. Reconstituer le troisième graphique.

Activité 2 La quantité d'essence dans le réservoir E est la seule fonction décroissante.

Activité 2 Comme la distance parcourue est fonction croissante du temps ce graphique ne peut que correspondre à la distance qui sépare Bernard de Haguenau.

Activité 2 Partie 2 : Fonction affines et coefficients directeurs On admet que les trois courbes tracées sont des réunions de segments de droites (on dit que les fonctions E, d et H sont affines par morceaux) et que les points extrémités de ces segments correspondent à des valeurs exactes lorsqu’ils sont situés aux intersections du quadrillage. Déterminer dans chacun des cas les coefficients directeurs de toutes ces droites (Bernard se souvient que lorsqu’il a fait une pause à l’aller, son réservoir contenait exactement 12,3 litres). Comment peut-on interpréter ces coefficients directeurs ? Bernard a-t-il respecté la limitation de vitesse ?

Activité 2 Période 1 2 3 4 5 6 Durée en h 1/6 1/2 1/3 C.D. (V. en km/h) 90 120 -150 -100 Période 1 2 3 4 5 6 Durée en h 1/6 1/2 1/3 C.D. (C. en l/h) -4,2 -6,6 -12 -5

Activité 2 Partie 3 : Définition et étude d’une nouvelle fonction Etablir un tableau mettant en relation la vitesse v (en km/h) et la consommation c (en litre/100 km). On note f la fonction qui à chaque vitesse v associe la consommation c. Est-il possible de répondre aux questions suivantes : La fonction f est-elle affine ?La fonction f est-elle croissante ?

Activité 2 Période 1 3 5 6 Durée en h 1/2 1/3 V. en km/h 90 120 150 100 C. en l/h 4,2 6,6 12 C. En l/100km 4,67 5,5 8 Il n'est pas possible de conclure que la fonction f est croissante à partir des données du tableau (mais cela est fort probable). Par contre, f n'est pas affine puisque l'augmentation de consommation pour une augmentation de 30 km/h n'est pas la même (période 1-3 et période 3-5)

f est la fonction qui à AM associe l'aire de CAM. H est le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC. M est un point de [AB] AH=2, HB=HC=4. f est la fonction qui à AM associe l'aire de CAM. g est la fonction qui à AM associe l'aire de CMB. h est la fonction qui à AM associe la longueur CM. Associer à chaque fonction son tableau de variations et le compléter. x ……. 6 fonction :…. …. ….. x 6 fonction :…. …. ….. x ……. 6 fonction :…. …. ….. x 6 fonction :…. ….. ….

Activité 3 Aborder la partie "logique" A partir d'un tableau de variations… Aborder la partie "logique"

Activité 3 VRAI- FAUX Il existe un réel de [-3;3] dont l'image par f est strictement inférieure à zéro. Tous les réels de [-3; 3] ont une image négative par f. Pour tout x de [-1;3] , f (x) ≤ f (-1). Il existe un réel t de [2;3] tel que f(t) > f(1). Le point de coordonnées (1;4) est sur la courbe de f.

Activité 3 Ce type de travail est indispensable pour que les élèves puissent comprendre par la suite les définitions d'extremums et de croissance. On peux également envisager un questionnaire avec l'option: "on ne peut pas conclure"

Activité 4 On considère les fonctions f et g définies par : f(x)=3x²-x-2 et g(x)=4-3x² . Parmi les points représentés sur la figure ci-contre, déterminer ceux qui appartiennent à la courbe représentative de f et ceux qui appartiennent à celle de g.

Activité 4 suite Calculer f(1/3) et en déduire l’axe de symétrie de la courbe représentative de f. Calculer g(0,5) et en déduire le tableau des variations de g. Les trois derniers points sont des points de la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré. Quelles sont ses variations?

Activité 4 On retravaille la définition de courbe représentative tout au long de l'année. Ce type de question peut être donné en évaluation, une fois étudiées les fonctions du second degré.

Activité 5: Un problème de recherche d’extremum La figure ci-contre représente un quart de cercle de rayon 6. M est un point quelconque sur le segment [AB]. Pour chaque position du point M, on construit le rectangle AMNP, où N est un point du quart de cercle et P un point du segment [AC]. On donne la courbe représentative de l’aire du rectangle AMNP en fonction de la distance AM. Comment placer le point M pour que l’aire du rectangle AMNP soit maximale ?

Comprendre la courbe combiner lecture graphique d’image et calcul exact d’image Déterminer par une lecture sur la courbe l’aire du rectangle AMNP lorsque AM =2 Confirmer ou non la valeur trouvée graphiquement par le calcul exact de cette aire. Interprétation géométrique de f(2) puis calcul exact Lecture d’image: f(2)

combiner lecture graphique d’antécédent et calcul approché d’image Déterminer par une lecture sur la courbe les valeurs de AM pour lesquelles l’aire du rectangle AMNP est 17. Confirmer ou non les valeurs trouvées graphiquement par le calcul Interprétation géométrique puis calcul approché de f(3,5) et f(4,8) Lecture graphiques d’antécédents Notion de valeurs approchées

travail sur la négation: Comprendre la notion de maximum a) Déterminer par une lecture sur la courbe la position du point M pour laquelle l’aire du rectangle AMNP semble maximale. b) La valeur trouvée graphiquement est-elle exacte ? Justifier. travail sur la négation: ce n’est pas le maximum car il existe une valeur de AM telle que etc... Recherche graphique d’une valeur approchée du maximum

Comprendre le problème a) D ’après la courbe, à combien de valeurs de AM différentes correspondent une même aire de rectangle ? b) En admettant que l’aire maximale correspond à une seule valeur de AM, expliquer comment déterminer exactement cette valeur et la calculer. Faire le lien entre la courbe et le problème géométrique posé.

Une dernière….

Phrases : Chaque point a pour abscisse 1. L’abscisse de chaque point est égale au carré de son ordonnée. Le produit des coordonnées de chaque point vaut 1. L’abscisse de chaque point est égale à son ordonnée. Le carré de l’abscisse de chaque point est égal à son ordonnée. La somme entre le carré de l’abscisse et le carré de l'ordonnée de chaque point vaut 2. La somme des coordonnées de chaque point est nulle. Pour chaque point, l’abscisse est l’inverse de l’ordonnée. Pour chaque point, l’abscisse est l’opposée de l’ordonnée.

Développer l'autonomie et la prise d'initiative

Exemple 1 Des problèmes ouverts… Comment faire pour que l'aire colorée soit la plus petite possible? La plus grande possible ?

La longueur totale du tablier est 2 200 m. Exemple 2 Au cours de la construction d’un viaduc, le tablier est poussé sur les piles à partir de deux extrémités.  La longueur totale du tablier est 2 200 m.  L’équipe qui travaille à l’extrémité nord pousse le tablier à la vitesse constante de 20 cm.h-1. A l’extrémité sud, le tablier est poussé par une machine plus puissante et progresse à la vitesse constante de 35 cm.h-1.   Au bout de combien de temps et à quel endroit les deux parties du tablier vont-elles se rejoindre ?

Exemple 3 Détail des démarches possibles…

Un problème se ramenant à une équation du type f(x) = k ABCD est un rectangle tel que : AB = 8cm AD = 5cm M est un point de [AB] N est un point de [BC] AM = BN Comment placer les points M et N pour que l’aire du triangle DMN soit de 19 cm2 ?

PHASE 1 : TRAVAIL A LA MAISON

PHASE 2 : CONJECTURE EN CLASSE Utilisation du logiciel géogébra

PHASE 3 : TRAVAIL EN CLASSE Choix de la variable : on peut poser AM = x . Expression de l’aire (DMN) en fonction de x :

DIVERS TRAITEMENTS DU PROBLEME PHASE 4 : DIVERS TRAITEMENTS DU PROBLEME

Exploitation de la courbe représentative de la fonction Recherche de solutions approchées : Exploitation de la courbe représentative de la fonction

Par calcul formel instrumenté ( logiciel de calcul formel Maxima) Recherche de solutions exactes : Par calcul formel instrumenté ( logiciel de calcul formel Maxima) Résolution par calcul algébrique à la main, la forme canonique étant fournie :

Ressources pour le programme de seconde : - Algorithmique - Notations et raisonnement mathématiques - Probabilités et statistiques Fonctions http://www.ac-strasbourg.fr/sections/enseignements/secondaire/pedagogie/les_disciplines/mathematiques/lycee/programmes/view