La notion de fonction au collège Académie de Nancy-Metz rentrée 2008

Organisation et gestion de données, fonctions Objectifs   - approcher la notion de fonction ; - acquérir une première connaissance des fonctions linéaires et affines et de synthétiser le travail conduit sur la proportionnalité dans les classes antérieures ; -   de poursuivre la mise en place de paramètres (de position et de dispersion) d’une série statistique et d’envisager ainsi la notion de résumé statistique ; -   de mettre en pratique sur des exemples simples la notion de probabilité. En rouge le socle

La notion de fonction Objectifs faire émerger progressivement, sur des exemples, la notion de fonction en tant que processus faisant correspondre, à un nombre, un autre nombre ; exploiter des exemples issus de situations concrètes ou de thèmes interdisciplinaires ; faire apparaître les fonctions linéaires et affines comme des exemples particuliers de tels processus.

La notion de fonction Capacités Déterminer l'image d'un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule. Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique.

Un fil rouge pour l’année 1. Approche de la notion de fonction 2. Proportionnalité et fonction linéaire 3. Fonctions affines 4. Systèmes d’équations

I. Approche de la notion de fonction Dès le début de l’année ………et même avant Objectifs Introduire la notion de variable Utiliser les trois registres Tableaux de valeurs Représentations graphiques Expressions algébriques

I. Approche de la notion de fonction La notion de variable et de fonction Avant la troisième Dépendance entre deux grandeurs En fonction de Programme de calcul La notion de fonction et d’image en géométrie

I. Approche de la notion de fonction Dans les autres disciplines SVT en sixième Physique en quatrième

I. Approche de la notion de fonction En troisième Notion de variable Volume 1 Volume 2 Notion de fonction Voyage Nancy-Metz Fonction carré Équation x²=a

I. Approche de la notion de fonction Activité d’introduction Objectifs Modéliser une situation Mettre en évidence la variation d'une grandeur en fonction d'une autre Utiliser une fonction non affine Utiliser les différents registres des fonctions pour résoudre un problème

I. Approche de la notion de fonction Activité d’introduction Un problème d’optimisation : le volume de la boîte x 20 cm Pour fabriquer une boîte, on découpe un carré de même dimension à chaque coin d’une plaque de carton carrée de côté 20 cm . On veut fabriquer une boîte de volume maximal. x ……. 11 11

I. Approche de la notion de fonction Activité d’introduction : déroulement Construction de boîtes avec différentes dimensions pour les découpes carrées et calcul des volumes. Tableau de valeurs sur tableur Représentation graphique sur tableur Volume en fonction du côté de la découpe carrée Réponse au problème posé

Registre numérique Registre graphique Registre algébrique x le côté de la découpe carrée V(x) le volume de la boîte V(x) = x(20 – 2x)(20 – 2x) V: x x(20 – 2x)(20 – 2x)

Un autre exemple ABCD est un rectangle tel que AB=12 cm et AD=8cm. AE=BF=CG=AH Où placer les points E, F, G, H respectivement sur [AB], [BC], [CD], [AD] pour que l’aire de EFGH soit minimale ?

I. Approche de la notion de fonction Quelle synthèse dans le cours ? Exemple

2. Proportionnalité et fonction linéaire Deuxième temps: avant Noël Objectifs Opérer une synthèse des différents aspect de la proportionnalité rencontrés depuis la sixième Exprimer ces aspects dans un nouveau langage Modéliser les situations de proportionnalité

2. Proportionnalité et fonction linéaire Capacités Déterminer par le calcul l’image d’un nombre donné et l’antécédent d’un nombre donné. Déterminer une fonction linéaire à partir de la donnée d’un nombre non nul et de son image. Représenter graphiquement une fonction linéaire. Lire sur une telle représentation l’image d’un nombre donné et le nombre ayant une image donnée.

2. Proportionnalité et fonction linéaire Fonction linéaire : un exemple d’activité en classe Pour les soldes, un commerçant décide d’appliquer à la caisse un rabais de 40% sur le prix marqué en rayon. Comment calculer le prix payé à la caisse à partir du prix marqué ? Comment retrouver le prix marqué connaissant le prix payé à la caisse ?

2. Proportionnalité et fonction linéaire Références Documents d'accompagnement : « grandeurs et mesures », paragraphe 7 page 35 « proportionnalité-fonctions »

3. Fonctions affines Troisième temps : deuxième trimestre Capacités Déterminer par le calcul l’image d’un nombre donné et le nombre ayant une image donnée par une fonction affine. Déterminer une fonction affine par la donnée de deux nombres et de leurs images (en partie 4). Représenter graphiquement une fonction affine. Lire sur une telle représentation l’image d’un nombre donné et le nombre ayant une image donnée.

3. Fonctions affines Utilisation MEP rôle des coefficients a et b Imagiciel rôle des coefficients a et b Coefficient directeur Utilisation MEP

4. Systèmes d'équations Quatrième temps : troisième trimestre Capacité Résoudre algébriquement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues admettant une solution et une seule ; en donner une interprétation graphique. Déterminer une fonction affine par la donnée de deux nombres et de leurs images.

4. Systèmes d’équations Exemples d’activités Vérifier la vraisemblance d'une solution obtenue algébriquement. Donner une solution graphique évidente et la vérifier algébriquement. Donner une solution approchée, précédant une éventuelle résolution algébrique.

A suivre

Dépendance entre deux grandeurs Des situations variées à exploiter dès la sixième Ex 1: 3 kg d’oranges valent 7,5 € Poser des questions dont la réponse peut-être donnée à partir de cette information. Ex 2: Étude des rectangles de longueur L, de largeur l et d’aire 120. Ex 3: Étude de l’aire d’un carré en fonction de son côté

Proportionnalité Utilisation d’expressions du type « prix de 7,5 kg vaut 26 €» « p. de 7,5 kg = 26 € » « p(7,5 kg )=26 €» cf. document d'accompagnement « proportionnalité »

En fonction de En cinquième Exprimer l’aire de la figure en fonction de x En quatrième Exprimer la longueur DN à l’aide de x sachant que N est le milieu de [DF] 5

Programmes de calcul Choisir un nombre Lui ajouter 4 Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi Ajouter 4 à ce produit Écrire le résultat (x+4)x x +4

Programmes de calcul Le professeur a écrit au tableau l’exercice suivant : Calculer 23 X 7 + 7 ; 23 X 8 + 7 ; 23 X 9 + 7 ; 23 X 10 + 7 23 X 11 + 7 ; 23 X 12 + 7 ; 23 X 13 + 7 ; 23 X 14 + 7 Résumer la consigne

Image en géométrie Symétrie

En SVT sixième 1.Indiquer ce que représente l’axe (le trait) vertical. ………………………………. 2. Trouver à quel âge le bovin pèse 600 kg ……………………………………….. 3. Donner la masse du bovin à l’âge de 10 mois. …………………………………… 4. Placer sur la courbe avec une croix, le point indiquant la masse du bovin à l’âge de 17 mois. 5. Repasser la partie de la courbe correspondant à la variation de masse entre 13 et 20 mois.

En physique quatrième

Exemple de fonctions Deux cyclistes A et B se rendent de Metz à Nancy en prenant le même chemin. Ils partent en même temps de Metz. La longueur du parcours est 50 km. Les deux courbes représentent la distance parcourue par chacun des deux cyclistes en fonction du temps.

Pour chaque question, proposer une réponse puis donner une explication. 1)      Lequel des deux cyclistes roule le plus vite pendant la première demi-heure ? 2)      Que se passe-t-il au bout d’une heure ? 3)      Lequel des deux cyclistes est devant l’autre durant la deuxième heure ? 4)      Lequel des deux cyclistes arrive le premier et au bout de combien de temps arrive-t-il ? 5)      Que se passe-t-il pour le cycliste B entre 40 min et 70 min de parcours ? 6)      Le cycliste A roule-t-il à la même vitesse durant tout le parcours ? 7)      Pourquoi peut-on dire que le cycliste B va moins vite les 20 derniers km que les 30 premiers ? 8)      Calculer la vitesse moyenne en km/h de chaque cycliste sur l’ensemble du parcours.