CHAPITRE 5 Fractions

Objectifs: - Simplifier des fractions. Utiliser la propriété suivante et sa réciproque:  « si alors a x d = b x c » (b ≠ 0 et d ≠ 0). Savoir additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions. aaaaaa

Extrait de la pièce Marius de Marcel Pagnol (acte 11). CÉSAR (à Marius) - Eh bien, pour la deuxième fois, je vais te l'expliquer, le picon-citron-curaçao. Approche-toi ! Tu mets d'abord un tiers de curaçao. Fais attention : un tout petit tiers. Bon. Maintenant, un tiers de citron. Un peu plus gros. Bon. Ensuite, un BON tiers de Picon. Regarde la couleur. Regarde comme c'est joli. Et à la fin, un GRAND tiers d'eau. Voilà. MARIUS - Et ça fait quatre tiers. CÉSAR - Exactement. J'espère que cette fois, tu as compris. MARIUS - Dans un verre, il n'y a que trois tiers. CÉSAR - Mais, imbécile, ça dépend de la grosseur des tiers. MARIUS - Eh non, ça ne dépend pas. Même dans un arrosoir, on ne peut mettre que trois tiers. CÉSAR - Alors, explique-moi comment j'en ai mis quatre dans ce verre. MARIUS - Ça, c'est de l'Arithmétique.

Valeurs approchées d’un quotient On a = 5 ÷ 8 = 0,625 et = 6 ÷ (-2) = -3 Les divisions se terminent. Ici , le quotient est un nombre décimal. On peut donner sa valeur exacte. Mais = 15 ÷ 7 = 2,142857143… La division ne se termine pas. Pour donner une valeur approchée d’un nombre, on peut faire une troncature ou un arrondi.

Arrondi de Mais = 15 ÷ 7 = 2,142857143… La division ne se termine pas. Pour donner une valeur approchée d’un nombre, on peut faire une troncature ou un arrondi. Troncature de Arrondi de à l’unité au dixième au centième au millième 2 2 ou 3 2 2,1 2,1 ou 2,2 2,1 2,14 ou 2,15 2,14 2,14 2,142 2,143 2,142 ou 2,143 Il s’agit du nombre le plus proche. Ex : si on fait un arrondi au centième il faut regarder le chiffre suivant, c'est-à-dire, celui des millièmes… On « coupe » l’écriture du nombre à l’endroit demandé.

II. Quotients égaux 1) Fractions égales Le quotient de deux nombres en écriture fractionnaire ne change pas si l’on multiplie ( ou si l’on divise) par un même nombre non nul le numérateur et le dénominateur. Autrement dit : avec k ≠ 0 Remarque : Cette règle sert à simplifier des fractions ou à les « réduire » au même dénominateur. Exemples :

2) Propriété du produit en croix Pour tous nombres a, b, c et d (b ≠ 0 et d ≠ 0) Si alors a x d = b x c Réciproquement : Si a x d = b x c alors Exemple : Trouver le nombre p tel que On a 4 x p = 7 x 3 4 x p = 21 ou encore p = 5,25 donc

III. Addition et soustraction 1) Fractions de même dénominateur Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur: 1- On additionne ou on soustrait les numérateurs 2- On garde le dénominateur commun Autrement dit : et Exemple : Calculatrice : pour effectuer du calcul fractionnaire avec la machine, on utilise la touche

2) Fractions de dénominateurs différents On se ramène au cas précédent en « réduisant » d’abord les fractions au même dénominateur. Exemples : Le premier multiple commun dans les tables de 3 et de 9 est 9 donc le dénominateur commun de 3 et 9 est 9. Le premier multiple commun dans les tables de 1 et de 8 est 8 donc le dénominateur commun de 1 et 8 est 8. Le premier multiple commun dans les tables de 5 et de 4 est 20 donc le dénominateur commun de 5 et 4 est 20.

IV. Multiplication  Attention Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Autrement dit : (avec b ≠ 0 et d ≠ 0) Exemple : On décompose les numérateurs et dénominateurs afin de simplifier le calcul final.  Attention et non pas

V. Nombre inverse et division 1) Le nombre inverse Lorsque le produit de deux nombres est égal à 1, on dit qu’ils sont inverses l’un de l’autre. L’inverse de x est (avec x ≠ 0) L’inverse de est (avec a ≠ 0 et b ≠ 0) Exemples :

2) La division Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. (avec b ≠ 0, c ≠ 0 et d ≠ 0) Autrement dit : Exemples : Diviser par -5/8 revient à multiplier par son inverse c’est-à-dire 8/-5 Diviser par 3 revient à multiplier par son inverse c’est-à-dire 1/3

VI. Exemples de calcul prioritaire Effectuer les calculs suivants en détaillant les étapes : Le dénominateur commun de 1 et 8 est 8 Le dénominateur commun de 7 et 42 est 42 On simplifie par 7

Les calculs au numérateur et au dénominateur sont prioritaires Le dénominateur commun de 5 et 4 est 20 Le dénominateur commun de 1 et 2 est 2 On simplifie par 2 Diviser par 11/2 revient à multiplier par son inverse c’est-à-dire 2/11