CHAPITRE 13 Systèmes de deux équations à deux inconnues

Objectifs: Savoir si un couple de nombres est solution d’un système. Résoudre un système de deux équations à deux inconnues admettant une et une seule solution. Mettre en équation et résoudre des problèmes conduisant à des systèmes. aaaaaa

Les 2 équations sont liées I. Mise en équation d’un problème Dans une boulangerie, Paul achète 3 pains au chocolat et 2 croissants ; il paie 2,80 €. Dans la même boulangerie, Juliette achète 1 pain au chocolat et 3 croissants ; elle paie 2,10 €. Calculer le prix d’un pain au chocolat et d’un croissant. Choix des deux inconnues x le prix d’un pain au chocolat y le prix d’un croissant Mise en équations Achat de Paul 1ère équation Les 2 équations sont liées Achat de Juliette 2ème équation

Exemples : - Le couple ( 0,40 ; 0,80 ) est-il solution de ce système ? Résoudre un système, c’est trouver un couple de nombres ( x ; y ) qui vérifie à la fois la 1ère équation et la 2ème équation du système. Exemples : - Le couple ( 0,40 ; 0,80 ) est-il solution de ce système ? On a  3 x 0,40 + 2 x 0,80 = 2,80 La 1ère équation est vérifiée et  0,40 + 3 x 0,80 = 2,80 ≠ 2,10 Mais la 2ème équation n’est pas vérifiée le couple ( 0,40 ; 0,80 ) n’est pas solution du système. - Le couple ( 0,60 ; 0,50 ) est-il solution de ce système ? On a  3 x 0,60 + 2 x 0,50 = 2,80 La 1ère équation est vérifiée et  0,60 + 3 x 0,50 = 2,10 Et la 2ème équation également le couple ( 0,60 ; 0,50 ) est solution du système.

II. Méthode de résolution par substitution Résoudre le système suivant : On isole une inconnue dans une équation. (ici x dans la 2ème équation) On substitue l’inconnue isolée dans l’autre équation. ( ici x par 2,10 - 3y dans la 1ère équation) On résout cette équation pour trouver une des deux inconnues. (ici y dans la première équation)

Le couple ( 0,60 ; 0,50 ) est solution du système. On résout cette équation pour trouver une des deux inconnues. (ici y dans la première équation) On substitue l’inconnue trouvée dans l’autre équation. ( ici y par 0,50 dans la 2ème équation) On termine le calcul pour trouver la valeur de la 2ème inconnue. ( ici x dans la 2ème équation) Le couple ( 0,60 ; 0,50 ) est solution du système. Un pain au chocolat coûte 0,60 € et un croissant 0,50 €.

l1 l2 III. Méthode de résolution par combinaison linéaire Résoudre le système suivant : l1 comme ligne 1 l2 comme ligne 2

l1 l2 l1 l1 x 4 l2 l2 x 3 1ère étape : élimination des x Il faut obtenir le même nombre de x dans les 2 équations. l1 l2 On va donc multiplier par 4 et par 3 pour obtenir 12x dans chaque équation. l1 l1 x 4 l2 l2 x 3 On soustrait maintenant les deux équations membre à membre afin d’éliminer les x . Donc y = 4

l1 l2 l1 l1 x (-5) l2 l2 x 2 2ème étape : élimination des y Il faut obtenir le même nombre de y dans les 2 équations. l1 l2 On va donc multiplier par -5 et par 2 pour obtenir -10y dans chaque équation. l1 l1 x (-5) l2 l2 x 2 On soustrait maintenant les deux équations membre à membre afin d’éliminer les y . Donc x = 1 Le couple ( 1 ; 4 ) est solution du système.