ACTIVITES 23 - Fonctions linéaires

ACTIVITE 1 1) Que peut-on dire du tableau suivant? Quelle relation existe-t-il entre x et y? x 1 2 3 y 4 6 2) Placer les points (0;0), (1;2), (2;4) et (3;6) dans un repère. Que remarque-t-on? 3) Compléter le tableau suivant de façon que x et y soient proportionnels. x 1 2 3 4 5 y 6 16 4,6

ACTIVITE 2 On définit la fonction f qui à x associe le nombre 2x. f(x) est l’image de x. x est l’antécédent de f(x). 1) Calculer f(7), f(-7) et f(21). Montrer que f(21) = 3 × f(7) 2) Calculer f(4), f(6) et f(10) Montrer que f(10) = f(4) + f(6) REMARQUE Si les listes de nombres x et f(x) sont proportionnelles, alors f est une fonction linéaire

ACTIVITE 3 Soit g la fonction linéaire qui au nombre 4 associe le nombre 3. 1) Déterminer les images des nombres 8 ,12 et x, a) par le calcul b) graphiquement 2) Déterminer l’antécédent du nombre 4,5

Correction Activité 1 1) 2x y = x 1 2 3 y 4 6 × 2 1 2 3 y 4 6 × 2 Les listes de nombres x et y sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité est égal à 2. y = 2x

2) y Tous les points sont alignés. y = 2x (3;6) 2x ? Tous les points sont alignés. On obtient une droite qui passe par l’origine des axes (proportionnalité) y = 2x est l’équation de cette droite. (2;4) (1;2) (0;0) O x x

3) Compléter : × 4 + x 1 2 3 4 5 y 6 16 4,6 8 2,3 ×2 8 10 + × 4

Correction Activité 2 1) f(7), f(-7) et f(21)? sachant que f(x) = 2x f(21) = 3  f(7) car D’une façon générale : f(nx) = 2  7 -14 2  21 f(3 7) = 2  (3  7) = 3  (2  7) = 3  f(7) 21 = 3  7 n f(x) si f est une fonction linéaire.

2) f(4), f(6) et f(10) ? sachant que f(x) = 2x = 2  (4 + 6) = 2  4 + 2  6 = f(4) + D’une façon générale : f(x + y) = 2  4 = 8 2  6 = 12 2  10 = 20 f(6) f(x) + f(y) si f est une fonction linéaire.

Correction Activité 3 x 4 8 12 g(x) 3 ? 6 9 1) g(8), g(12) et g(x)? On sait : g(8) = g(12) = ou g(12) = g(4 + 8) = g(4) = 3 et g fonction linéaire g(24) = 2  g(4) = 2  3 = 6 g(34) = 3  g(4) = 3  3 = 9 g(4) + g(8) = 3 + 6 = 9 x 4 8 12 g(x) 3 ? g(x) = k x g(4) = k  4 et g(4) = 3 donc : 4k = 3 soit : k?  6 9

y tan = g(8) = g(12) = 6 12 9 g(x)? 9 6 g(x) 3 3  4 x O 4 8 12 16 x x

2) x ? tel que g(x) = 4,5 g(4) = 3 et g(x) = kx car g fonction linéaire Cherchons la valeur de k. g(4) = k  4 = 3 g(x) = 4,5 x = 6

y x ? g(x) = 4,5 12 y = g(x) g(6) = 4,5 x = 6 9 6 4,5 3 O 4 x 6 8 12 16

Exercice Représenter graphiquement la fonction f : f est une fonction linéaire. La représentation graphique de f est une droite qui passe par l’origine des axes O. Déterminons les coordonnées d’un second point. Prenons x = 5 par exemple. y = - 0,4  5 = Donc la droite passe par le point A(5;-2)

y y = - 0,4x 5 O x -2 A Déterminer le coefficient a de la fonction linéaire f dont la représentation graphique est la suivante : y 6 L’image de 2 est 6 f(2) = 6 f est une fonction linéaire. Donc : f(x) = ax f(2) = a  2 2a = 6 a = 3 O 2 x

Soit f une fonction linéaire définie par f(2) = 5 Soit f une fonction linéaire définie par f(2) = 5. Déterminer f(4); f(6) et f(10) Montrer que f(10) = f(4) + f(6) f(x) = ax f(2) = a  2 f(2) = 5 a = 5 2 5 2 donc 2a = 5 f(x) = x 5 2 f(4) =  4 f(4) = 10 5 2 f(6) =  6 f(6) = 15 f(10) = f(4) + f(6) 5 2 f(10) =  10 f(10) = 25 Remarque SI f(x) = ax, f est une fonction linéaire, alors : f(kx) = et f(x +y) = a(kx) = k(ax) = kf(x) FIN a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y)