Quelques exercices d’identification de types de symétries Basés sur des dessins et gravures de Escher et de Jetta

Procédure Pour chacun des dessins examinés, nous suivons l’ordre des vérifications à faire pour s’assurer du type de symétrie du pavage. Ensuite, nous mentionnons le type du pavage, dans la nomenclature des cristallographes. Si des fausses pistes se présentent, nous les signalons.

Anges et démons 2 directions de miroirs (H et V) Centres de rotation d’ordre 4 au point de convergence de 4 anges et 4 démons Ces points ne sont pas sur les axes Type pm4

Arachnides 3 directions de miroirs Rotations d’ordre 3 autour des points de convergence des queues et de ceux des « coudes » Ces centres sont sur les axes de symétrie Type p3m

Colombes Aucun miroir (toutes les colombes sont vues par le flanc droit) Pour la même raison, pas de symétrie glissée Rotations d’ordre 2 (centres antre 2 ailes ou 2 ventres) Type p2 ! Il peut y avoir des symétries glissées sans miroir, mais si tous les motifs sont dans le même sens on peut éliminer les deux d’un coup

Crabes Une seule direction de miroirs (verticale) Rotations d’ordre 2 (centres entre les yeux de 2 crabes de même couleur) Accessoirement, symétries glissées horizontales Type p2g

Fleurs Deux directions de miroirs (voir lignes vertes) Cantres de rotation d’ordre 4 (croisement d’une ligne bleue et d’une rouge) Type pm4 ! Chaque fleur est une rosace Rm5, mais ses rotations ne s’étendent pas à tout le pavage

Personnages accroupis Deux directions de miroirs (H et V) Centres de rotation d’ordre 4 situés hors des axes Type pm4 Encore ? Ben oui, Escher est un original qui a trouvé drôle de traiter en parti-culier de ce cas bizarre

Premier croquis de Jetta Les trois directions des bords de triangles, et les trois directions de médianes, portent des miroirs Rotations d’ordre 6 autour des rond-points Type p6m

Deuxième croquis de Jetta 4 directions de miroirs (H, V et les bissectrices) Centres de rotation d’ordre 4 (centre des carrés gris, et des rosaces) à l’intersection des axes Type p4m Les rosaces sont de type R8m, mais leurs 8 rotations ne conservent pas le dessin tout entier

Oui, mais ... Avez-vous remarqué que les rosaces ne sont pas toutes identiques ? Si l’on tient compte de leurs différences, les axes de symétrie sont plus espacés (l’axe bleu est toujours valable, l’axe rouge pas) … mais c’est toujours un p4m

Lézards gauches Les lézards sont tous orientés de la même manière (ils « regardent à gauche ») ; donc ni miroirs ni sym glissées Centres de rotation d’ordre 4 (point de rencontre des « bras droits ») Type p4

Lions bas Tous les lions ont « la tête à gauche », donc ni miroirs ni sym glissées Centres de rotation d’ordre 2 (entre les 3es pates, et entre les crinières) Type p2 (et non p2g comme dit en classe)

Lions perses Cette fois, il y a des lions « droits » et « gauches » Cependant, il n ’y a aucun miroir ; il y a donc forcément des symétries glissées Centres de rotation d’ordre 2 à la jonction des pattes Type p2g

Lutins Tous les lutins montrent leur profil droit ; pas de miroirs ni de symétries glissées Centres de rotation d’ordre 3 sur le front Type p3

Papillons Pas de miroirs (les papillons sont à peu près symétriques, mais cette symétrie ne se propage pas à tout le dessin) Centres de rotation d’ordre 6 au bout des ailes gauches Type p6m Il y a aussi des centres de rotation d’ordres 3 et 2 ; mais on ne considère jamais que l’ordre le plus élevé

Poux Une seule direction de miroirs Symétries glissées dans la direction perpendiculaire aux miroirs Centres de rotation entre les 1es pattes, et entre les 3es pattes Type p2g

Raies Aucun miroir (les poissons jaunes sont symétriques, tout au moins leur forme extérieure, mais cette symétrie n’est pas globale) Centres de rotation d’ordre 2 entre les nageoires latérales vertes, ainsi qu ’entre les jaunes) Symétries glissées H et V Type pg2

Et pour continuer ... D’excellentes sources d’exercices sont disponibles autour de vous : Carrelages et pavages (au sens propre) Papiers peints Arrangements floraux … Bonne chasse !