Thème : ESPACE ET MOUVEMENT Rebond d’une balle

Etude du rebond d’une balle (1) . Expérimentation : Une caméra web permet de filmer le mouvement d’une balle lâchée sans vitesse initiale.

Etude du rebond d’une balle (2). Expérimentation : Sur cette vidéo numérique le logiciel AVIMECA permet d’effectuer des mesures de position du centre de la balle, image par image, donc à des dates successives connues.

On obtient ainsi: Les abscisses yi du centre sur un axe vertical dirigé vers le bas . Les dates de passage ti  à ces abscisses .

Utilisation d’un tableur Ce tableau de mesures peut être exporté vers un tableur pour calculer les vitesses v instantanées et pour représenter graphiquement y et v au cours du temps t

Graphique obtenu avec un tableur

Deux approches Physique Mathématiques

En Physique : Les données recueillies (yi;ti) permettent, à l’aide du tableur, de calculer les composantes de la vitesse instantanée vy en fonction de la date t dans les différentes parties du mouvement.

Avant le premier rebond v=f(t) f(t)= -9,4.t-0,51

Entre le premier et le second rebond v = j(t) j(t) = -9,3.t + 7,9

Après le second rebond v = h(t) h(t)= -10,2.t+16,1 3,00 v=h(t) 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0, 0 1 2

Les deux rebonds consécutifs v en fonction de t

Conclusion On obtient : des représentations graphiques de v(t) qui sont sensiblement des portions de droite. des coefficients directeurs voisins : g  9,4 m/s² ; g 9,3m/s² ; g  10,2m/s² Ces valeurs devraient être égales à 9,8 m/s2

Confrontation des prédictions d’un modèle théorique aux résultats expérimentaux Si le mouvement de la balle dans l’air s’effectue sans frottement, d’après le théorème du centre d’inertie, le vecteur accélération du centre de la balle doit être égal au vecteur champ de pesanteur de norme g = 9,8 m/s2. La composante vy du vecteur vitesse est donc une fonction affine de la date t (entre chaque rebond). Les valeurs expérimentales ne sont pas rigoureusement égales à 9,8 m/s2 car : les « pointés » n’ont pas toujours été bien faits par les élèves, L’image verticale contient 240 pixels pour une hauteur de 1,2m : 2 pixels sont séparés de 5 mm, distance relativement importante pour ce mouvement de chute libre.

Activités de l’élève en physique Acquérir un film et traiter des images . ØProgrammer le tableur pour le calcul des vitesses instantanées et obtenir la représentation graphique de vy en fonction de t. ØConclure : vy est-elle fonction affine de t ?

Activité de l’élève en physique Retrouver la valeur de l’accélération de la pesanteur : le coefficient directeur de la droite représentative de vy en fonction de t doit être égal à -g si le frottement peut-être négligé. Retrouver par intégration la loi horaire : si vy = -g t + b alors par intégration : y = (-1/2)g t²+ bt +c

En mathématiques : Les points semblent appartenir à des courbes qui, immédiatement sont interprétées comme des paraboles.   On cherchera donc à obtenir les équations de ces paraboles : y= a t² + b t + c   D’où un travail mathématique de résolution de système linéaire de trois équations à trois inconnues.

Les paramètres de ce système sont des nombres décimaux, la résolution se fera facilement à l’aide d’un moyen de calcul automatisé : calculatrice, par exemple, ou logiciel de calcul formel . Une fois les solutions trouvées, on peut obtenir à l’aide du tableur la modélisation du mouvement.

Le choix de trois points dans les séries de données précédentes correspondant aux différents rebonds permet d’obtenir trois systèmes linéaires à trois inconnues : On cherche a, b, c tels que la parabole d’équation : y = at²+bt+c passe par les points de coordonnées (ti , yi ) ci-dessous :   (0; 1,17) ; (0,102 ; 1,07) ; (0,238 ; 0,79) (a,b,c ) est solution d’un système de trois équations linéaires à trois inconnues: d’où y = -4,53 t²-0,52 t +1,17

De même, pour le premier rebond : Coordonnées des points utilisés : (0,476 ;0,13) ; (0,578 ;0,13) ; (0,714 ;0,72) La solution est : d’où, on prendra : y = -4,84 t² +8,24 t – 2,7 Pour le deuxième rebond : Coordonnées des points utilisés : (1,292;0,14) ; (1,394 ;0,39) ; (1,53 ;0,56) d’où, on prendra : y = -5,05 t² +16,01t –12,12

Modélisation Le tableur recalcule les abscisses yi à l’aide de fonctions trouvées

Activités de l’élève en mathématiques Choix des points (yi,ti) Résolution d’un système ( méthode du pivot de Gauss) dont les paramètres dépendent des points choisis . Utilisation de la calculatrice pour la résolution des systèmes : cela permet d’avoir très rapidement plusieurs courbes, parmi lesquelles on fera le choix des mieux adaptées aux résultats obtenus à l’aide du tableur .

Activités de l’élève en mathématiques Les fonctions du second degré étant trouvées, il peut calculer les vitesses au moment des rebonds.Ici interviennent les notions de : Ø     Fonction non dérivable en un point. Ø     Dérivée à gauche et à droite.

Activités de l’élève en mathématiques A l’instigation du physicien, il peut être intéressant de calculer la valeur absolue du rapport des vitesses avant et après le rebond, puis de comparer ces rapports au fur et à mesure des rebonds.

Calculs des vitesses Fonctions modélisant les rebonds : f1(t) = -4,5 3 t² - 0,52 t + 1,17 f2(t) = -4,84 t² + 8,24 t – 2,70 f3(t) = -5,05 t² + 16,01t – 12,12  Calcul des fonctions dérivées(vitesses ) en fonction du temps : f ’1(t) = - 9,06 t – 0,52 f ’2(t) = -9,68 t + 8,24 f ’3(t) = -10,09 t + 16,01

Vitesses (suite) On recherche les coordonnées des points d’intersection des courbes avec l’axe des temps. On obtient les valeurs suivantes : Valeurs avant rebond : t1= 0,44s t3=1,25s t5= 1,92s Valeurs après rebond : t2= 0,45s t4= 1,26s D’où les calculs de vitesses aux points de rebond : V1  - 4,63m/s ; V2  3,96m/s V3  - 3,97m/s ; V4  3,41m/s

Calcul des rapports de vitesses       r0,86 r’0,86 Il semble qu’il y ait un rapport constant entre la valeur absolue de la vitesse avant rebond et celle de la vitesse après rebond.

Activités de l’élève en mathématiques Lorsqu’on obtient un rapport constant, cela signifie que la suite des valeurs absolues des vitesses vy aux moments des rebonds est une suite géométrique. Admet-elle une limite ?   Y a-t-il un lien avec les altitudes auxquelles remonte la balle ?

Sommet d’une parabole   f ’(t) = 2at+ b S a pour coordonnées :

Suites géométriques f(t) = 0 pour t = Alors : f ’(t) =  

Si l’on observe que : , cela signifie que : , d’où : , en appelant y1, l’ordonnée du sommet S1de la première « parabole » et y2 celle du sommet S2 de la deuxième « parabole ».

Conclusion La suite des valeurs absolues des vitesses Vy est une suite géométrique de rapport 0,86 dans les calculs présents. La suite des ordonnées des sommets des trois paraboles est une suite géométrique de rapport (0,86)², ce que l’on doit vérifier sur les courbes du modèle.

Vérification Hauteur initiale : y1 1,15m Premier rebond : y2  0,81m Deuxième rebond : y3  0,58m y2/ y1  O,70 ; y3/y2  0,72 et 0,86²  0,74

Activités de l’élève en physique Analyser le tableau (vy;t) et faire des choix : les valeurs de la date et de la vitesse vy juste avant et juste après le rebond sont délicates à déterminer.

Premier rebond La date « juste avant »  le premier rebond est environ égale à 0,44s (ou 0,45s) ( d’après la courbe) La relation v=-9,39t-0,51 donne la vitesse approximative juste avant le premier rebond : Vav(0,44) = - 4,6 m/s. La date « juste après » le premier rebond est estimée aussi égale à 0,44s. La relation v=-9,27t+7,9 donne la vitesse approximative juste après le premier rebond :  Vap(0,44) = 3,8 m/s. La valeur absolue du rapport VAp / VAv est environ égale à 0,82. 

Second rebond La date « juste avant »  le second rebond est environ égale à 1,25s. La relation v = - 9,27t+7,9 donne la vitesse approximative juste avant le second rebond : Vav(1,25) = - 3,7 m/s. On retrouve sensiblement la valeur de la vitesse juste après le premier rebond. La date « juste après » le second rebond est estimée aussi égale à 1,25s. La relation v = - 10,2t + 16,1 donne la vitesse approximative juste après le second rebond :  Vap(1,25) = 3,3 m/s La valeur absolue du rapport VAp / VAv est environ égale à 0,88. 

Conclusion Les mesures des rapports VAp / VAv sont approximatives car l’enregistrement a été effectué à 30 images par seconde : en effet, l’intervalle de temps entre 2 images est trop long pour obtenir précisément les dates de contact avec le sol .

Activités de l’élève en physique On peut demander à l’élève d’appliquer le théorème de l’énergie cinétique pour montrer que : V²AP/V²AV h2/h1 , où h1et h2 sont respectivement les altitudes auxquelles remonte la balle avant et après un rebond.

Résultats YAV étant l’altitude maxi avant le rebond et yAP étant l’altitude maxi après le rebond, on devrait vérifier : Les calculs donnent pour le premier rebond : =0,67 et pour le second rebond : = 0,77 et 0,72

Questions Le rapport des vitesses dépend-il de la hauteur initiale de chute? Ne dépend-il que de la balle et de la nature du sol ? On peut suggérer à l’élève d’utiliser un logiciel de simulation pour avoir une idée de la réponse .

Utilisation d’un logiciel de simulation Utiliser un logiciel de simulation : Interactive physique pour comprendre que le mouvement est déterminé si l’on connaît la vitesse initiale, la position initiale et l’accélération du centre de gravité. IP

Méthode d’intégration d’Euler

Calcul de la fonction vitesse y’’ est une fonction constante de t : en effet, le mouvement se fait sous l’action de la pesanteur seule, et les frottements sont supposés négligeables . Or on peut approcher y’’par le quotient : Δy’/Δt. La fonction y’ est donc une fonction affine de t, puisque la variation de cette fonction est proportionnelle à la variation de la variable t

Approximation de la loi horaire : y’= v(t) = -gt puisque la vitesse initiale est nulle Posons y = f(t) Dans le cours de première, on apprend que : pour tout h tel que ti + h soit dans l’ensemble de définition de f, on a : f(ti+h)  f(ti) + h.f ’(ti), lorsque h est  »petit » On prend : h = ti+1-ti

Méthode d’Euler ( suite) On a alors : f(ti+1) f(ti) – 0,059,81 ti et f(t0) = 1,2 D’où les calculs faits dans un tableur :

Méthode d’Euler ( suite) On obtient ensuite une ligne polygonale approchant la courbe représentant la fonction f en choisissant l’option graphique du tableur : « nuage de points », puis en lui faisant relier les points de coordonnées (ti,yi) par des segments de droite.

Graphique obtenu avec la méthode d’Euler

Analyse de l’erreur de méthode :