Equations de Kuramoto-Sivashinski RUGOSITE DE SURFACE Equations de Kuramoto-Sivashinski DEPOT GRAVURE Pascal Brault, Jean-Marc Bauchire GREMI

Objectifs caractériser la rugosité d’une surface: Dimensions caractéristiques (  ou //) en déduire les mécanismes d’apparition: Diffusion, redépôt, ....

Qu’est ce qui caractérise la rugosité ? Une surface peut être décrite par une fonction h(x,y,t) L’amplitude de la rugosité : - écart-type  rugosité  - Longueur de corrélation  rugosité // moyenne sur toutes les origines r0 et toutes les orientations. ( =1 site occupé, 0 sinon)

Evolution de la rugosité Il existe des lois d’échelles qui décrivent l’évolution de la rugosité Un exemple simple: croissance de grain sphérique: r t1/3 car dépôt =volume donc V  t et V  r3 croissance «d’ilôts plats »: r t1/2 car dépôt =surface donc S  t et V  r2

Equations de Langevin non linéaires (stochastiques) R= taux de gravure, Ω angle d’ouverture (ombrage), Ds = diffusion de surface, Dv = diffusion dans le volume, l = croissance oblique, n = évaporation-redépôt, h = bruit aléatoire non-linéarité Eqn KPZ Ombrage 

Equations de Langevin non linéaires (stochastiques) L’Equation de Kuramoto-Shivashinsky il suffit donc de trouver les paramètres !! Balance entre terme érosion instable -||2h et diffusion de surface -K 4h  formation de structures de taille  B. Khang, APL78, 805 (2001)

Résolution - Les paramètres utilisés (actuellement sans connexion avec la réalité) K = 2.0, =-0.6769, =-1,  bruit uniforme [-1/2, +1/2] décorrélé x,y,t (>0 croissance, <0 érosion). CL périodiques tq avec D = 0.1 On calcule h(x,y,t), W2(t) et <h(t)> exemple  = 1

maximum d’organisation au changement de régime W2(t) rugosité cinétique W  tβ  = -1 rugosité  et apparition structures <h(t)> <h(x,y,t=120)> maximum d’organisation au changement de régime (pour la clarté des interfaces, h(x,y,0)= (x,y) puis =0 pour t>0) ne change rien aux résultats: h(x,y,t) est plus « bruitée »

le film de film h(x,y,t)

Influence de la taille du domaine h(xmax,ymax,t) w2 32 x 32 512 x 512 temps 64 x 64 1024 x 1024 Un domaine de 256 x 256 est un bon compromis précision résultats – temps calcul

Influence du schéma de discrétisation de 4h(x,y,t) ∆ Schéma : 2-2 (5 pts) Schéma : 2-4 (9 pts) Schéma : 2-4' (13 pts) Schéma : 2-6 (7 pts) Schéma : 2-8 (9 pts) Schéma : 2-12 (13 pts)

Temps calcul normalisé Influence du schéma de discrétisation de 4h(x,y,t) ∆ Schéma Temps calcul normalisé 2-2 (5pts) 1 2-4 (9 pts) 1.2611 2-4' (13 pts) 1.5185 2-6 (7 pts) 1.1471 2-8 (9 pts) 1.2728 2-12 (13 pts) 1.5180 temps w2 Le schéma "2-6" est un bon compromis précision résultats – temps calcul

Influence du schéma de discrétisation de 4h(x,y,t) ∆ W2(t) avec schéma 7 pt 256x256 W2(t) avec schéma 5 pt 256x256 W2(t) avec schéma 7 pt 1024x1024

<h(t)> avec schéma 5 pt 256x256 <h(t)> avec schéma 7 pt 256x256 <h(t)> avec schéma 7 pt 1024x1024

Influence de l'amplitude du terme stochastique

Conclusions/Perspectives Ca marche ! choix taille de matrice, schéma de discrétisation : Ok Utiliser des valeurs de paramètres adapté à un problème physique  gravure plasma de Si. Conditions aux limites Dirichlet. (En fait h(x,0,t) = h(0,y,t) = 0) :  Pb de divergence du schéma numérique ? mais Ok si K = 0 K=2 K=0