Éléments d’épistémologie des mathématiques et de leur enseignement

Épistémologie des mathématiques Qu’est-ce qu’on fait vraiment quand on fait des mathématiques? Qu’est-ce qu’un « objet mathématique » ? Qu’est-ce qu’un « énoncé vrai » ? Quelles formes de raisonnement sont légitimes ? Quel rapport entre la pratique des mathématiques et la pratique des autres sciences?

Qu’est-ce que les mathématiques ? un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts (nombres, figures, structures, transformations) un domaine de recherche visant à développer ces connaissances la discipline qui les enseigne

Mathématiques et le réel ? problèmes pratiques problèmes mathématiques Mathématiques applications Enracinement des mathématiques dans le réel (ex. histoire des nombres qui sont crées pour résoudre des questions pratiques). Mais c’est l’esprit humain qui les conçoit, puis les perfectionne pour améliorer l’utilisation (ex. évolution de l’écriture des nombres, développement de techniques de calcul…), mais aussi pour répondre à des préoccupations plus spéculatives, plus gratuites (ex. comment écrire tous les nombres si grands soient-ils même si on n’en a pas l’usage). Pour ses besoins quotidiens, l’homme n’a pas besoin d’un système qui permet d’écrire tout nombre, aussi grand soit-il. La recherche d’un tel système constitue un véritable problème mathématique en opposition aux problèmes pratiques. Suite de l’histoire : le mathématicien veut connaître ces nouveaux objets que l’esprit humain a créé => naissance de la théorie des nombres, donc théorie d’objets abstraits). Exemple : dans la théorie des nombres, étude de nombres premiers. Conjecture qu’il y existe une infinité de nombres premiers, mais comment en être sûr? Besoin d’élaborer des méthodes qui permettent de déterminer avec certitude que cette affirmation est vraie => démonstration, ce qui soulève d’autres questions et provoque de nouveaux développements. Ceci illustre la flèche « des maths vers l’esprit humain ». Esprit humain

Mathématiques et le réel ? enracinement dans le monde concret, réel de nature purement intellectuelle, basées sur des axiomes déclarés vrais ou sur des postulats provisoirement admis des méthodes particulières – démonstrations - pour déterminer qu’un énoncé mathématique (théorème, proposition, lemme, corollaire) est valide applications dans d’autres sciences et dans différents domaines techniques Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques désignent aussi le domaine de recherche visant à développer ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne. Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel. Elles sont de nature purement intellectuelles, basées sur des axiomes déclarés vrais (c'est-à-dire que les axiomes ne sont pas soumis à l'expérience mais ils en sont souvent inspirés notamment dans le cas des mathématiques classiques) ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique – dénommé généralement théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif. Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles, ils trouvent cependant des applications dans les autres sciences et dans différents domaines de la technique. C'est ainsi qu'Eugène Wigner parle de « la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature »

Qu’est-ce que faire des mathématiques ? poser et résoudre des problèmes, extra ou intra-mathématiques créer des objets, développer des théories, organiser les savoirs… Recherche en mathématiques phases heuristiques - intuition, bricolage, expérimentation, induction… formulation de conjectures, vérification… recherche de preuve, de démonstration

Expérimentation En sciences expérimentales : Expérimentation processus qui conduit à partir de l'émission de l'hypothèse à la réalisation d'une expérience et à l'analyse de ses résultats (Develay, 1989) observation provoquée Expérience produit de l'expérimentation, face visible du processus de l'expérimentation L'expérimentation ne constitue qu'une étape au cours de la méthode (ou de la démarche) expérimentale. Celle au cours de laquelle va être mise en train une expérience. Ainsi l'expérimentation est à la méthode expérimentale ce que le temps de la rédaction est au travail d'écriture. L'expérimentation constitue le processus qui conduit à partir de l'émission de l'hypothèse à la réalisation d'une expérience et à l'analyse de ses résultats. L'expérience est à l'expérimentation ce que le texte couché sur le papier est au travail d'écriture : la face visible d'une activité intellectuelle souterraine généralement beaucoup plus riche et dont elle ne conserve qu'une partie. Et comme le travail d'écriture peut entraîner une refonte de l'activité qui l'a généré, les résultats de l'expérience peuvent interagir sur la méthode. L'expérimentation correspond au processus, l'expérience au produit. La manipulation, parce qu'elle met l'accent sur le caractère manuel de l'activité, valorise la dimension psycho-motrice de l'expérimentation. Du reste lorsque dans les séances de travaux pratiques on parle de manipulation, on ramène bien l'activité de l'apprenant à une dimension d'exécution. Celle-ci est particulièrement évidente pour certaines "manips" au matériel contraignant (respiromètres, chromatographes au lycée). A l'Université les exemples seraient encore plus nombreux à citer.

Expérimentation En mathématiques ? Partie expérimentale Elle permet de Exploration de phénomènes mathématiques, par exemple en traitant des cas particuliers d’une question trop difficile pour être abordée directement Elle permet de Chercher des contre-exemples Comprendre en quoi des arguments utilisés dans un cas particulier se généralisent ou non Faire des conjectures sur des situations voisines Démontrer des théorèmes (ex. théorème des 4 couleurs) Chevallard (1992) Du point de vue des maths savantes, parler de l'expérimentation en maths est discutable et renvoie plutôt à l'utilisation de l'ordi à différents niveaux de l'activité mathématique au sens classique. Expérimentation interviendrait alors dans l'exploration de certains phénomènes maths, dans l'étude de certains types de problèmes, dans la formation de conjectures, voire dans la démonstration de théorèmes (ex. thm des 4 couleurs). Activité expérimentale suppose une réalité sur laquelle va porter l'expérimentation

Expérimentation En sciences expérimentales En mathématiques Observation Modèle Expérimentation En mathématiques Expérimentation Conjecture Preuve / démonstration

Mathématiques et physique ? Liens étroits : en physique, modélisation systématique, en utilisant des méthodes mathématiques, pour comprendre les résultats de ses expériences : cette modélisation peut faire appel à des outils mathématiques déjà développés elle encourage les mathématiciens à s'intéresser davantage à telle ou telle structure mathématique pour les besoins de la physique elle demande parfois au contraire des outils mathématiques non encore développés et ouvre des nouvelles perspectives mathématiques (ex. calcul différentiel) Physique mathématique développement des méthodes mathématiques à l'usage de la physique Les mathématiques sont nées d'une volonté de comprendre l'espace ambiant : la géométrie naît de la modélisation de formes idéalisées, l'arithmétique des besoins des gestions des quantités. Astronomie et géométrie se sont longtemps confondues, jusque dans les civilisations islamiques. Les maths et la physique, après s'être différenciées, ont gardé d'étroits liens. Dans l'histoire contemporaine de ces deux sciences, les maths et la physique se sont influencées mutuellement. La physique moderne use à outrance des maths, en faisant une modélisation systématique pour comprendre les résultats de ses expériences : Cette modélisation peut faire appel à des outils mathématiques déjà développés ('usage des métriques en géométrie différentielle est un outil essentiel sur lequel repose notamment la relativité générale, développée par le mathématicien Minkowski puis par le physicien Einstein). Cette modélisation encourage les mathématiciens à s'intéresser davantage à telle ou telle structure mathématique pour les besoins de la physique. Cette modélisation demande parfois au contraire des outils mathématiques non encore développés et ouvre des nouvelles perspectives mathématiques (ex. Newton a-t-il développé le calcul différentiel pour pouvoir écrire les lois (classiques) du mouvement ; s'intéressant à la diffusion de la chaleur dans les corps, Fourier découvre les séries qui portent son nom, porte ouverte sur la théorie de Fourier) Un domaine de recherche spécifique, la physique mathématique, tend précisément à développer les méthodes mathématiques mises à l'usage de la physique. Le lien étroit entre maths et physique se reflète dans l'enseignement supérieur des mathématiques. L'enseignement de la physique fait appel à des cours de maths pour physiciens ; et il n'est pas rare que les cursus de maths dans les universités incluent une initiation facultative à la physique.

Épistémologie scolaire Les problèmes dans les programmes depuis la contre réforme A compléter + ajouter l’analyse des programmes (Sylvie)

Mathématiques modernes BO 29 juillet 1968, appliqué en 69 en classe de 6ème Aucune indication sur les problèmes. Les commentaires précisent les notions mathématiques à enseigner.

Contre réforme : Programme de mars 77 appliqué en septembre 1978 en 6ème « La théorie n’est pas un but en soi, mais un outil pour répondre à des questions que pose la vie : technologie, physique, économie. De ce point de vue l’analyse de situations et la résolution de problèmes jouent un rôle majeur. En particulier l’enseignement de la géométrie est indissociable de la recherche de constructions géométriques. »

Programme de 81 appliqué en septembre 1982 en 2nde « A la base de tout bon apprentissage, il y a le contact avec une pratique sensorielle et concrète, la stimulation de l’activité personnelle de l’élève, l’élaboration de moyens d’investigation aussitôt applicables au monde qui l’entoure. » « La classe de mathématiques est, dans son rôle essentiel, un lieu de découverte, d’exploration de situations plus ou moins aisément maîtrisables, de réflexion sur des problèmes résolus. »

Activité mathématique « L’activité mathématique ne s’identifie pas au déroulement d’une suite bien ordonnée de théorèmes. Il importe que toute introduction d’une notion ou d’un théorème soit précédée de l’étude d’une situation assez riche pour en attester l’intérêt et qu’elle soit suivie immédiatement d’applications substantielles. » (BO sept 82)

Problèmes interviennent surtout en entraînement, réinvestissement doivent être nombreux importance du travail à la maison

1984 Modification du programme de 2nde appliqué en septembre 1985 Bilan du programme de 2nde (depuis 3 ans) Trop d’exposés théoriques, synthétiques Abus d’exercices mal définis, c’est -à-dire soit abordables mais coupés de tout contexte et trop techniques, soit trop difficiles Diversification des activités

Programmes de 1985 appliqués en 1986 en 6ème « Il convient de faire fonctionner, à propos de nouvelles situations et autrement qu’en reprise ayant un caractère de révision, les notions et outils mathématiques antérieurement étudiés. Il convient également de préciser à chaque étape de l’apprentissage quelles connaissances sont désormais en place. Il convient enfin de mettre en oeuvre des exercices de synthèse pour coordonner des acquisitions diverses. »

L’activité de chaque élève Il est essentiel que les connaissances prennent du sens pour l’élève à partir des questions qu’il se pose… L’activité de chaque élève doit être privilégiée, sans délaisser l’objectif d’acquisitions communes. Dès lors, seront choisies des situations créant un problème dont la solution fera intervenir des « outils », c’est-à-dire des techniques ou des notions déjà acquises, afin d’aboutir à la découverte ou à l’assimilation de notions nouvelles. Lorsque celles-ci auront été bien maîtrisées, elles fourniront à leur tour de nouveaux « outils », qui permettront un cheminement vers une connaissance meilleure ou différente.

Caractérisation des activités « Les activités choisies doivent : permettre un démarrage possible pour tous les élèves, donc ne donner que des consignes très simples et n’exiger que les connaissances solidement acquises par tous ; créer rapidement une situation assez riche pour provoquer des conjectures ; rendre possible la mise en jeu des outils prévus ; fournir aux élèves, aussi souvent que possible, des occasions de contrôle de leurs résultats, tout en favorisant un nouvel enrichissement ; on y parvient, par exemple, en prévoyant divers cheminements qui permettent de fructueuses comparaisons. »

Synthèse « Elles nécessitent une synthèse, brève, qui porte non seulement sur les quelques notions, résultats et outils de base que les élèves doivent connaître, mais aussi sur les méthodes de résolution de problèmes qui les mettent en jeu. »

Programmes de 1995 Reprise de l’introduction Développer la formation du citoyen Liens avec école primaire Liens avec les autres disciplines TICE La pratique d’une démarche scientifique

Activité mathématique « à travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelques situations et l’apprentissage progressif de la démonstration, les élèves peuvent prendre conscience petit à petit de ce qu’est une véritable activité mathématique : identifier un problème, conjecturer un résultat, expérimenter sur des exemples, bâtir une argumentation, mettre en forme une solution, contrôler les résultats obtenus et évaluer leur pertinence en fonction du problème étudié. »

Programmes 2005 4.1. Une place centrale pour la résolution de problèmes Thèmes de convergence Démarche d’investigation

Programmes 2007 et 2008 Démarche d’investigation Socle commun de compétences

Discours institutionnel stable 1978 Aspect outil des mathématiques, Rôle majeur pour la résolution de problèmes 1985 Outil pour découvrir Privilégier l’activité de l’élève Outil/objet/outil 1995 Activité mathématique 2005 Démarche d’investigation

Conclusions Discours stable depuis 30 ans, repris à chaque nouveau programme (différent de la situation de l’EP) Discours influencé par les théories de l’apprentissage, par les théories didactiques De l’activité des élèves aux « activités d’introduction » (dans les manuels) Difficultés de mise en oeuvre dans les classes : trouver des activités pertinentes lien entre activités / institutionnalisation

Démarche d’investigation Introduction commune à l’ensemble des disciplines scientifiques, collège, 2005 S’inscrit dans l’approche constructiviste Analogies entre son application aux sciences expérimentales et aux mathématiques Résolution de problèmes Formulation d’hypothèses explicatives et de conjectures Spécificités liées à leurs objets d’étude et à leurs méthodes de preuve Validation par l’expérimentation vs. par la démonstration

Démarche d’investigation Appui sur Questionnement des élèves sur le monde réel (sciences expérimentales) Observation, expérimentation, action directe par les élèves privilégiés Résolution de problèmes (mathématiques)

Démarche d’investigation Canevas en 7 moments essentiels – rôle de l’expérience et choix du problème pensés différemment selon la spécificité de chaque discipline Choix d’une situation-problème par le professeur à partir de l’analyse des savoirs visés, des objectifs à atteindre, des acquis initiaux, des conceptions des élèves Appropriation du problème par l’élève reformulation, émergence d’éléments de solution suscitant le questionnement Formulation de conjectures, d’hypothèses explicatives, de protocoles possibles élaboration d’expériences pour tester ces hypothèses et conjectures, communication de conjectures, hypothèses et protocoles expérimentaux La spécificité de chaque discipline conduit à penser différemment, dans une démarche d'investigation, le rôle de l'expérience et le choix du problème à résoudre. Le canevas proposé doit donc être aménagé pour chaque discipline.

Démarche d’investigation Investigation ou résolution du problème conduite par les élèves débats en groupe, description/réalisation de l’expérience, exploitation de méthodes et résultats, recherche d’éléments de justification et de preuve Échange argumenté autour des propositions élaborées confrontation des propositions, débat sur leur validité Acquisition et structuration des connaissances mise en évidence, avec l’enseignant, de nouveaux éléments de savoir Opérationnalisation des connaissances exercices pour automatiser certaines procédures, nouveaux problèmes de réinvestissement, évaluation