Démonstrations Bloc 6

Sommaire 1. Résolution de léquation de dispersion complexe (§4) 2. Résolution de léquation différentielle : modèle de Drude (§5) 3. Dispersion : champ électrique pour un paquet dondes (§7) 4. Relation de Rayleigh (§7) 5. Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques : vecteurs D et H (§1)

k = k + jk La solution est de la forme : k = k + jk égalité des parties réelles égalité des parties imaginaires égalité des parties réelles expression du module de k au carré réelle ; = o 1 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur : résolution de léquation de dispersion complexe (1) (2) Résolution dun équation complexe à 2 inconnues : k et k Il faut se ramener à 2 équations réelles. 2 méthodes proposées Méthode A Méthode B

Méthode A Equation du 2 nd ordre en k² Seule solution possible : pourquoi ?

Méthode A

Méthode B

Expression de k et k ?

Tan² Simplifications possibles si tan >>1 ou <<1 (on retrouve les cas 1 et 2 étudiés dans le bloc 5 : Il est plus intéressant alors de simplifier avant de faire les calculs !!!...) Retour au sommaire

1 er cas simple : on fait lhypothèse que E est un champ constant et uniforme (indépendant de r et t) 2-a) Comportement de avec la fréquence : résolution de léquation différentielle pour les électrons libres La solution v est la somme de 2 termes : Une solution particulière de léquation ( en général on choisit une constante : dv/dt = 0 ) La solution générale de léquation sans second membre : Constante dintégration : à déterminer avec les conditions initiales (t = 0), à partir de la solution globale

s µ : Mobilité des électrons libres La vitesse de déplacement sous champ E des électrons libres est constante si E est uniforme

2 ème cas : On fait lhypothèse dun champ E sinusoïdal progressif doscillations forcées On suppose la mise en place dun régime doscillations forcées des e- libres sous le champ E (ils oscillent à la même fréquence) Lutilisation des nombres complexes permet de linéariser léquation différentielle Que traduit physiquement cette expression complexe liant la vitesse à E ?

2-b) Comportement de avec la fréquence : résolution de léquation différentielle pour les électrons liés On fait lhypothèse dun champ E sinusoïdal progressif, et doscillations forcées des e- élastiquement liés à la même fréquence que le champ Lutilisation des nombres complexes permet de linéariser léquation différentielle Retour au sommaire

v ( ) Milieux dispersifs v ( ) Emetteurs réels non monochromatiques largeur de raie Onde plane progressive monochromatique : ni début, ni fin…(amplitude constante) Onde réelle : paquet dondes = combinaison linéaire dOPPM (analyse de Fourier) Se propageant dans la même direction Damplitude donnée par une fonction f(k) De vecteurs donde k différents, donc de pulsations différentes, centrées sur o 3- Dispersion et vitesse de groupe pour un paquet dondes

Soit o la pulsation centrale associée à k o Pour le paquet donde

6 - Dispersion

Enveloppe de lamplitude Enveloppe de lamplitude se propage v g = d /dk à la vitesse v g = d /dk Vitesse de groupe : v g 6 - Dispersion v = o /k o Terme sinusoïdal se propageant à la vitesse de phase v = o /k o

6 - Dispersion animation Retour au sommaire Vitesse de groupe : repérer sur lanimation le maximum et regarder à quelle vitesse il se déplace Vitesse de phase : repérer une oscillation et la suivre dans sa propagation

Relation de Rayleigh 6 - Dispersion 4- Relations de Rayleigh vide o : mesurée dans le vide et pas dans le milieu

Relation de Rayleigh Retour au sommaire : mesurée dans le milieu

5 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques (µ r = 1) : vecteurs D et H On introduit deux vecteurs qui tiennent compte des propriétés des milieux E et B sont liés à londe : champs électrique et magnétique H et D traduisent le champ total dans le milieu (réponse du milieu à lOEM) Induction électrique (C/m²) Excitation magnétique (A/m) et permittivité et perméabilité du milieu

Expression des équations de Maxwell constituantes du milieu en fonction de D et H ? On supposera et constantes. Retour au sommaire