III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…) II. Nombres entiers, rationnels, réels et complexes ; suites de réels I. Bases de logique, théorie des ensembles LE PLAN DU COURS : TROIS CHAPITRES

III. Fonctions numériques et modélisation Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Continuité dune fonction en un point et sur un ensemble Continuité dune fonction en un point et sur un ensemble Opérations sur les fonctions continues Opérations sur les fonctions continues Fonctions strictement monotones sur un intervalle Fonctions strictement monotones sur un intervalle Dérivabilité dune fonction sur un intervalle Dérivabilité dune fonction sur un intervalle Quelques fonctions classiques et leurs inverses Quelques fonctions classiques et leurs inverses Aires, intégration, primitives Aires, intégration, primitives Équations différentielles Équations différentielles

Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée D l R R f D _ a e D f admet une limite finie l e R au point a si et seulement si, pour toute suite (x n ) n de points de D : lim (x n ) n = a lim (f(x n )) n = l Cas 1

Pour tout e >0, il existe h >0, tel que : (x appartient à D et |x-a| < h ) |f(x) – l | < e f admet une limite finie l e R au point a

Le cas particulier où le point a est un point de D f : D ----> R f : D ----> R a point de D a point de D lim a f existe dans R (et vaut nécessairement f(a)) lim a f existe dans R (et vaut nécessairement f(a)) f est continue en a

Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée D l R R f D _ a e D \ D f tend vers + linfini au point a si et seulement si, pour toute suite (x n ) n de points de D : lim (x n ) n = a lim (f(x n )) n =+ linfini Cas 2

Pour tout A >0, il existe h >0, tel que : (x appartient à D et |x-a| < h ) f(x) > A f tend vers + linfini au point a

Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée D l R R f D _ a e D \ D f tend vers - linfini au point a si et seulement si, pour toute suite (x n ) n de points de D : lim (x n ) n = a lim (f(x n )) n =- linfini Cas 3

Pour tout A >0, il existe h >0, tel que : (x appartient à D et |x-a| < h ) f(x) < - A f tend vers - linfini au point a

Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée D l R R f D _ +infini e D \ D +infini e D \ D f tend vers l lorsque x tend vers + infini si et seulement si, pour toute suite (x n ) n de points de D lim (x n ) n = +infini lim (f(x n )) n = l Cas 4

Pour tout e >0, il existe B >0, tel que : (x appartient à D et x > B ) |f(x) – l | < e f admet une limite finie l e R en + linfini

Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Limite dune fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée D l R R f D _ +infini e D \ D +infini e D \ D f tend vers + infini lorsque x tend vers + infini si et seulement si, pour toute suite (x n ) n de points de D lim (x n ) n = +infini lim (f(x n )) n =+ infini Cas 5

Pour tout A >0, il existe B >0, tel que : (x appartient à D et x > B) f(x) > A f tend vers + linfini lorsque x tend vers + linfini

Pour tout A >0, il existe B >0, tel que : (x appartient à D et x > B) f(x) < - A f tend vers - linfini lorsque x tend vers + linfini

Composition des limites (1) D R E R f g f(D) l E _ a e D _ lim a f= l e E _ lim l g=L e R lim a (g o f) = L

Composition des limites (2) D R E R f g f(D) l E _ a e D _ lim a f=+infini e E _ lim +infini g=L e R lim a (g o f) = L

Composition des limites (3) D R E R f g f(D) l E _ + infini e D \ D _ lim + linfini f=+infini e E _ lim + infini g=L e R Lim +linfini (g o f) = L

Attention aux formes indéterminées ! Lim (a 0 x p + a 1 x p-1 + … + a p ) = + linfini si a 0 > 0 - linfini si a 0 < 0 x 2 – x (log x) /x = (1/x) x log x ? ? quand x tend vers + linfini

Attention aux formes indéterminées ! (a 0 x p + a 1 x p-1 + … + a p ) 1/k = a 0 1/k x p/k ( 1 + (a 1 /a 0 ) x -1 + … ) 1/k P(x)/Q(x) (P(x)) 1/k – Q(x), k dans N*, en + linfini ? ? b 0 x q + b 1 x q-1 + … + b q = b 0 x q (1+ (b 1 /b 0 )x -1 + …)

Rappel de règles concernant les limites de suites

Limite à droite en un point a a est adhérent à V a + := {x dans D ; x >a} a est adhérent à V a + := {x dans D ; x >a} La restriction de f à V a + admet pour limite l au point a La restriction de f à V a + admet pour limite l au point a

Limite à gauche en un point a a est adhérent à V a - :={x dans D ; x <a} a est adhérent à V a - :={x dans D ; x <a} La restriction de f à V a - admet pour limite l au point a La restriction de f à V a - admet pour limite l au point a

« Une fonction monotone (cest-à-dire croissante ou décroissante) sur un intervalle ouvert ]a,b[ (borné ou non) admet une limite à gauche et à droite en tout point de ]a,b[»

Fonction continue en un point (rappel) f : D ----> R f : D ----> R x 0 point de D x 0 point de D lim x0 f existe dans R (et vaut nécessairement f(x 0 )) lim x0 f existe dans R (et vaut nécessairement f(x 0 )) Continuité à droite (si existence de la limite à droite, égale nécessairement à f(x 0 )) Continuité à gauche (si existence de la limite à gauche, égale nécessairement à f(x 0 ))

Fonctions continues sur un segment [a,b] I. Une fonction f continue sur un segment [a,b] (cest-à-dire en tout point de ce segment) et à valeurs réelles est à la fois minorée et majorée sur [a,b]. II. Les deux bornes inf [a,b] f et sup [a,b] f sont atteintes par f en des points de [a,b]

Théorème des valeurs intermédiaires Une fonction f continue sur un segment [a,b] (cest-à-dire en tout point de ce segment) prend (sur ce segment) au moins une fois toute valeur intermédiaire y du segment [inf [a,b] f, sup [a,b] f]. Preuve par labsurde !

Fonctions strictement monotones et continues sur un intervalle (1) I intervalle de R m=inf {f(x), x dans I} M = sup {f(x), x dans I} f(I) intervalle de R (du même type) (du même type) I f(I) f : I f(I) bijective f admet une application inverse f -1 : f(I) I

Fonctions strictement monotones sur un intervalle (2) I f(I) y f -1 (y - ) c f -1 (y) c f -1 (y + ) == f continue f continue f -1 continue f -1 strictement monotone (même type que f)

Fonction réciproque dune fonction strictement monotone f : I J=f(I) [ (x e I) et (y=f(x)) ] [ (y e J) et (x=f -1 (y)) ] Graphe (f) = { (x,y) e I x J ; y =f(x) } Graphe (f -1 ) = { (y,x) e J x I ; y=f(x) }

(x 0,y 0 ) (y 0,x 0 ) Droite miroir y=x

Dérivabilité en un point et sur un intervalle f définie dans un intervalle ouvert contenant un point donné x 0 f définie dans un intervalle ouvert contenant un point donné x 0 f(x 0 +h) = f(x 0 ) + a(x 0 ) h + h e (h) pour tout h de valeur absolue assez petite f(x 0 +h) = f(x 0 ) + a(x 0 ) h + h e (h) pour tout h de valeur absolue assez petite e défini dans un intervalle ]- h, h [ (privé de 0) et lim 0 e = 0 e défini dans un intervalle ]- h, h [ (privé de 0) et lim 0 e = 0

Interprétation géométrique (x 0 +h, f(x 0 +h)) (x 0, f(x 0 )) y=a(x 0 )(x-x 0 )+ f(x 0 )

Dérivabilité en un point Continuité en ce point Isaac Newton ( )

Opérations sur les fonctions dérivables f et g dérivables en x 0 f+ g dérivable en x 0, (f+g)(x 0 )= f(x 0 )+g(x 0 ) f+ g dérivable en x 0, (f+g)(x 0 )= f(x 0 )+g(x 0 ) fg dérivable en x 0, (fg)(x 0 )= f(x 0 ) g(x 0 )+g(x 0 ) f(x 0 ) fg dérivable en x 0, (fg)(x 0 )= f(x 0 ) g(x 0 )+g(x 0 ) f(x 0 )

Dérivabilité de x x n n > 0 (x 0 +h) n = x 0 n + n x 0 n-1 h + o(h) n > 0 et x 0 non nul (x 0 +h) -n = x 0 -n - n x 0 n-1 h + o(h)

Règle de Leibniz f définie au voisinage de x 0 et dérivable en x 0 g définie au voisinage de f(x 0 ) et dérivable en f(x 0 ) g o f dérivable en x 0 car : (g o f) (x 0 +h) = g (f(x 0 +h)) = g ( f(x 0 ) + h f(x 0 ) + o(h) ) = g ( f(x 0 ) + h f(x 0 ) + o(h) ) = g(f(x 0 )) + h g(f(x 0 )) x f(x 0 ) + o(h) = g(f(x 0 )) + h g(f(x 0 )) x f(x 0 ) + o(h) (gof)(x 0 ) G.W. von Leibniz ( ) ( )

Opérations sur les fonctions dérivables f et g dérivables en x 0 et g(x 0 ) non nul f/g dérivable en x 0 et f/g dérivable en x 0 et f(x 0 ) g(x 0 ) - g(x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 ) g(x 0 ) - g(x 0 ) f(x 0 ) (f/g)(x 0 ) = ______________________ (g(x 0 )) 2 (g(x 0 )) 2

Dérivabilité de la fonction inverse Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle ouvert I de R, dérivable sur I On suppose f R 0 sur I (f>0 ou f 0 ou f<0) f -1 : f(I) I est dérivable sur f(I) 1 (f -1 )(y 0 ) = f ( f -1 (y 0 )) f ( f -1 (y 0 ))

y= y 0 + f(x 0 ) (x-x 0 ) (x 0,y 0 ) (y 0,x 0 ) x= y 0 + f(x 0 ) (y-x 0 )

Remarque : un énoncé admis Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, de dérivée identiquement nulle sur I, est constante sur I. Attention cependant Aux escaliers du diable !

La fonction exponentielle x k k ! S k=0 k=n ---> exp (x) exp (x 1 +x 2 ) = exp (x 1 ) x exp (x 2 ) lim (e x /x n ) = + linfini en +linfini lim (e x x n ) = 0 en - linfini

La méthode dEuler exp = exp u 0 = 1 u n+1 -u n u n+1 -u n = u n = u n 1/N 1/N Étape 0 : Choix dun « pas » : 1/N (entre 0 et x) Dérivée « discrète » (1+ x/N) N ---> exp (x) lorsque N tend vers + linfini

La fonction logarithme (1) x e R et y = exp (x) x e R et y = exp (x) y > 0 et x = log (y) y > 0 et x = log (y) log (y 1 y 2 ) = log (y 1 ) + log (y 2 ) lim 0 (|y| log |y|) =0 lim +infini (log y /y) =0

La fonction logarithme (2) log = [ y ---> 1/y] sur { y ; y > 0 } log = [ y ---> 1/y] sur { y ; y > 0 } (log |y-a|) = [y ---> 1/(y-a)] sur R \ {a} (log |y-a|) = [y ---> 1/(y-a)] sur R \ {a} Remarque : pour tout entier n de Z différent de -1, on a sur R \{a} : (y-a) n+1 (y-a) n+1 [ ] =[ y ---> (y-a) n ] [ ] =[ y ---> (y-a) n ] n+1 n+1

Les fonctions puissance (a x 1 ) x 2 = a x 1 x 2 (a x 1 ) x 2 = a x 1 x 2 a x 1 +x 2 =a x 1 x a x 2 a x 1 +x 2 =a x 1 x a x 2 (ab) x = a x x b x (ab) x = a x x b x a -x = (1/a) x a -x = (1/a) x x e R a x := exp (x log a) x e R a x := exp (x log a) a > 0 [ x a x ] = [x log(a) x a x ]

La fonction cosinus x 2k x 2k (2k) ! S k=0 k=n ---> cos (x) (-1) k (suites adjacentes) x e R cos 0 = 1 cos 2 <-1/3 p := 2 inf{x>0, cos x=0} cos sannule en au cos sannule en au moins un point de [0,2]

La fonction sinus x 2k+1 x 2k+1 (2k+1) ! S k=0 k=n ---> sin (x) (-1) k (suites adjacentes) x e R

Relations entre fonctions trigonométriques cos (x 1 + x 2 ) = cos (x 1 ) cos (x 2 ) – sin (x 1 ) sin (x 2 ) cos (x 1 + x 2 ) = cos (x 1 ) cos (x 2 ) – sin (x 1 ) sin (x 2 ) sin (x 1 + x 2 ) = cos (x 1 ) sin (x 2 ) + sin (x 1 ) cos (x 2 ) sin (x 1 + x 2 ) = cos (x 1 ) sin (x 2 ) + sin (x 1 ) cos (x 2 ) cos = - sin cos = - sin sin = cos sin = cos cos 2 x + sin 2 x =1 cos 2 x + sin 2 x =1 cos (x+ 2 p )=cos x cos (x+ 2 p )=cos x sin (x+2 p ) = sin x sin (x+2 p ) = sin x 1 (0,0) (cos (x), sin (x)) ( pour x e [0, 2 p [) ( pour x e [0, 2 p [) paramétrage bijectif du cercle de centre (0,0) et de rayon 1

Fonctions trigonométriques inverses Arcos : [-1,1] --- > [0, p ] Arcos : [-1,1] --- > [0, p ] Arcsin : [-1,1] --- > [- p /2, p /2] Arcsin : [-1,1] --- > [- p /2, p /2] sur ]-1,1[ Arcsin = 1/(cos(Arcsin)) = [y (1-y 2 ) -1/2 ] sur ]-1,1[ Arcsin = 1/(cos(Arcsin)) = [y (1-y 2 ) -1/2 ] sur ]-1,1[ Arcos = -1/(sin(Arcos)) = [y - (1-y 2 ) -1/2 ] sur ]-1,1[ Arcos = -1/(sin(Arcos)) = [y - (1-y 2 ) -1/2 ] Arcsin (y) + Arcos (y) = p /2 pour y e [-1,1]

La fonction tangente -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 tan x := sin (x) / cos (x) tan = 1 + tan 2

La fonction Arctan (Arc-tangente) x e ]- p /2, p /2[ et y =tan (x) y e R et x= Arctan (y) Arctan(y) = = tan 2 (Arctan y) 1 + y tan 2 (Arctan y) 1 + y 2

Quelques relations importantes cos (t) = 2 cos 2 (t/2) -1 = (1-u 2 )/(1+u 2 ) cos (t) = 2 cos 2 (t/2) -1 = (1-u 2 )/(1+u 2 ) sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u 2 ) sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u 2 ) t e ]- p, p [ t e ]- p, p [ u= tan (t/2), t = 2 Arctan u

1-u 2 2u , u 2 1+u 2 (-1,0) 1 (0,0) Un paramétrage rationnel du cercle unité privé dun point

Les fonctions hyperboliques cosh x : = (e x +e -x )/2, x e R cosh x : = (e x +e -x )/2, x e R sinh x : = (e x – e -x )/2, x e R sinh x : = (e x – e -x )/2, x e R cosh 2 x – sinh 2 x = 1 cosh = sinh sinh = cosh

Intersection dun plan et dun cône : hyperbole, ellipse ou parabole ellipse hyperbole (2 branches) les Coniques

x 2 – y 2 =1, x>0 x = cosh t, t e R y = sinh t, t e R Le paramétrage de la demi-hyperbole

La fonction argsinh : R R x e R et y = sinh x y e R et x=argsinh y argsinh (y) = 1/cosh(argsinh(y)) = (1+y 2 ) -1/2 sinh x = y { X = e x X = e x X 2 – 2y X - 1 =0 x = argsinh y = log [y + (1+y 2 ) 1/2 ] variable auxiliaire

La fonction argcosh : {y ; y r 1} {x ; x r 0} x r 0 et y = cosh x y r 1 et x=argcosh y argcosh (y) = 1/sinh(argcosh(y)) = (y 2 -1) -1/2, y > 1 cosh x = y { X = e x X = e x x r 0 (donc X r 1) x r 0 (donc X r 1) X 2 – 2y X +1 =0 X 2 – 2y X +1 =0 x = argcosh y = log [y + (y 2 -1) 1/2 ] variable auxiliaire

La fonction tangente hyperbolique tanh : x e R tanh x := sinh x / cosh x tanh : x e R tanh x := sinh x / cosh x tanh : x e R 1 – tanh 2 x = (cosh x) -2 tanh : x e R 1 – tanh 2 x = (cosh x) -2 x e R et y = tanh x y e ]-1,1[ et x= argtanh y argtanh y = 1/(1-y 2 ) = (1/2) x 1/(y+1) - (1/2) x 1/(y-1), y e ]-1,1[ = (1/2) x 1/(y+1) - (1/2) x 1/(y-1), y e ]-1,1[ argtanh y = log (|y+1|/|y-1|) 1/2, y e ]-1,1[

Notion dintégrale : Comment calculer laire dun sous-ensemble borné A du plan ? -Les méthodes « probabilistes » (Monte Carlo) -Les méthodes numériques -Les formules exactes

Le cas des unions de rectangles

Nombre de points tombant dans D/ Nombre de points « jetés » Méthode de Monte Carlo

Un exemple densemble fractal (de la difficulté de mesurer tout et nimporte quoi !)

Mesure « extérieure » dun ensemble borné du plan m *(A) = inf ( mesure des unions de pavés recouvrant A)

On peut « mesurer » A si et seulement si : Pour tout e >0, il existe une union de pavés R e telle que : m * (A D R e ) < e aire (A) = inf ( m *(unions de pavés contenant A))

a b (b-a)/N (sup Ik f – inf Ik f) 0 Le cas des fonctions continues positives sur un segment [a,b] (b-a)/N (f(x N,1 )+ f(x N,2 )+…+ f(x N,N )) aire de {(x,y) ; 0 b y b f(x)} x N,2 x N,1 IkIkIkIk SkSkSkSk

Définition de lintégrale dune fonction continue sur [a,b] f = sup (f,0) – sup (-f,0) = f + - f - ! [a,b] [a,b] f(t) dt := aire {(x,y); 0 b y b f + (x)} – aire {(x,y) ; 0 b y b f - (x)} f(t) dt := aire {(x,y); 0 b y b f + (x)} – aire {(x,y) ; 0 b y b f - (x)} ! a b f(t) dt

+ - +

Le cas des fonctions à valeurs complexes f = Re (f) + i Im (f) f = Re (f) + i Im (f) ! a b f(t) dt = ! a b Re (f(t)) dt +i ! a b Im (f(t)) dt

Propriétés de lintégrale ! ! ! a a a b bb ( l f(t)+ m g(t)) dt = l f(t) dt + m g(t) dt f b g sur [a,b] f(t) dt b g(t) dt ! a b ! a b linéarité monotonie | ! a b f(t) dt | b ! a b | f(t) | dt

Relation de Chasles Relation de Chasles ! ! ! a a c b cb f(t) dt = f(t) dt + g(t) dt f(t) dt = f(t) dt + g(t) dt ! x y ! y x avec la convention : f(t) dt = - f(t) dt lorsque y < x (f continue sur I, a, b, c étant trois points de I)

Le théorème « fondamental » de lanalyse Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I de R et a un point de I. La fonction : x e I F(x) := f(t) dt ! a x est dérivable sur I, de dérivée F=f sur I F primitive de f sur I

! a b f(t) dt = f(b) – f(a) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, de dérivée continue sur I Soit [a,b] un segment inclus dans I ; alors :

Application 1 : la formule dintégration « par parties » Soit I un intervalle ouvert de R, f et g deux fonctions dérivables sur I, avec f et g aussi continues sur I ; si [a,b] est un segment de I : ! a b f(t) g(t) dt = f(b) g(b) – f(a) g(a) - ! a b f(t) g(t) dt

Application 2 : la formule de changement de variables Soit I et J deux intervalles ouverts de R Soit u : I J, strictement monotone, dérivable et de dérivée continue sur [a,b] c I avec c := u(a), d:= u(b) ; alors: ! c=u(a) d=u(b) f(s) ds = ! a b f( u(t)) u(t) dt pour toute fonction continue f : J R

Quelques exemples dapplication de ces méthodes Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques hyperboliques Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques hyperboliques Fonctions dont une dérivée à un certain ordre est une fraction rationnelle Fonctions dont une dérivée à un certain ordre est une fraction rationnelle Fonctions du type t t n exp ( l t) Fonctions du type t t n exp ( l t) Fonctions du type t t n cos ( l t) ou t t n sin ( l t) Fonctions du type t t n cos ( l t) ou t t n sin ( l t) Fonctions du type x F(x, (ax 2 +bx+c) 1/2 ) Fonctions du type x F(x, (ax 2 +bx+c) 1/2 )

Expressions rationnelles en les lignes trigonométriques cos (t) = 2 cos 2 (t/2) -1 = (1-u 2 )/(1+u 2 ) cos (t) = 2 cos 2 (t/2) -1 = (1-u 2 )/(1+u 2 ) sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u 2 ) sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u 2 ) t e ]- p, p [ t e ]- p, p [ u= tan (t/2), t = 2 Arctan u

! a b P(cos t, sin t) Q(cos t, sin t) dt 1- u u 2 1- u u 2 2u 2u u 2 2u 2u u 2 2du 2du u 2 tan (a/2) tan (b/2) [a,b] c ]- p, p [ [a,b] c ]- p, p [ u = tan (t/2) t = 2 Arctan u t = 2 Arctan u

P (cos q, sin q ) = a 0 + (a j cos (k j q ) + b j sin (k j q )) S j=1 j=N Linéarisation des polynômes trigonométriques ! dqdqdqdq a0 qa0 qa0 qa0 q a j sin (k j q ) – b j cos (k j q ) k j k j

! a b P( cosh t, sinh t ) Q(cosh t, sinh t ) dt u +(1/u) u+(1/u) u+(1/u) u-(1/u) u-(1/u) du du u exp (a) exp(b) [a,b] c R [a,b] c R u = exp (t) t = log u t = log u Expressions rationnelles en les lignes trigonométriques hyperboliques

Intégrales abéliennes a > 0, D=-d 2 0, D=-d 2 < 0 a > 0, D = d 2 >0 a > 0, D = d 2 >0 a 0 a 0 F ( x, ax 2 + bx + c ) a [ (x+b/2a) 2 - D /4a 2 ] V ! dx x = -b/2a + ( d /2a) sinh u x = -b/2a + ( d /2a) cosh u ou ou x = -b/2a - ( d /2a) cosh u x = -b/2a + ( d /2a) cos u ou ou x = -b/2a - ( d /2a) sin u b ac

Primitives de fractions rationnelles P(x) R(x) ---- = a k x k Q(x) Q(x) S k=0 k=N deg R < deg (Q) ! dx a k x k+1 a k x k k+1 k+1 ! dx Cas particuliers : deg (Q) = 1 et deg (Q) =2 ?

a x + b a x + b a x 2 + bx + c a x 2 + bx + c a (x –x 1 ) (x-x 2 ) a (x –x 1 ) (x-x 2 ) Premier cas : b 2 -4ac >0 || || u 1 u 2 u 1 u x-x 1 x- x 2 x-x 1 x- x 2 ! dx u 1 log |x-x 1 | u 2 log |x-x 2 |

a x + b a x + b a x 2 + bx + c a x 2 + bx + c a (x –x 0 ) 2 a (x –x 0 ) 2 Second cas : b 2 -4ac = 0 || || a a x 0 + b a a x 0 + b a(x-x 0 ) a (x- x 0 ) 2 a(x-x 0 ) a (x- x 0 ) 2 ! dx a log |x-x 0 | a log |x-x 0 | a - ( a x 0 + b ) - ( a x 0 + b ) a (x-x 0 ) a (x-x 0 )

a x + b a x + b a x 2 + bx + c a x 2 + bx + c a [ ( x +(b/2a) ) 2 + ( d 2 /4a 2 ) ] a [ ( x +(b/2a) ) 2 + ( d 2 /4a 2 ) ] Troisième cas : b 2 -4ac = - d 2 < 0 || || x + (b/2a) v x + (b/2a) v u u (x +(b/2a)) 2 + ( d 2 /4a 2 ) (x+(b/2a)) 2 + ( d 2 /4a 2 ) (x +(b/2a)) 2 + ( d 2 /4a 2 ) (x+(b/2a)) 2 + ( d 2 /4a 2 ) ! dx u log [ (x+(b/2a)) 2 + ( d 2 /4a 2 ) ] u log [ (x+(b/2a)) 2 + ( d 2 /4a 2 ) ] av x + (b/2a) ---- Arctan 2a d d d d

Equations différentielles F ( t, y(t), y(t)) = 0, t e I F ( t, y(t), y(t), y (t)) = 0, t e I Temps position vitesse accélération ordre 1 ordre 2

Equations linéaires dordre 1 y (t) = a(t) y(t) + b(t), t e I (a et b fonctions continues de I dans R ou C) Condition « initiale » : y(t 0 ) = y 0 (t 0 e I, y 0 e R ou C) +

Lapproche numérique : méthode dEuler Se fixer des conditions initiales t 0, y 0 Se fixer des conditions initiales t 0, y 0 Choisir un pas de temps t Choisir un pas de temps t Choisir T = « durée de vie » tel que [t 0, T] soit inclus dans I Choisir T = « durée de vie » tel que [t 0, T] soit inclus dans I u t,0 = y 0 u t,n+1 = u t,n + t ( a(t 0 + n t ) u t,n + b(t 0 +n t ) ) (tant que t 0 + n t b T) (tant que t 0 + n t b T) approximation de y(t 0 + n t )

Le théorème de Cauchy Hypothèses : - I intervalle ouvert de R - a et b fonctions continues de I dans R (ou C) - t 0 e I y 0 e R ou C (données initiales) Conclusion : Il existe une unique fonction y : I R (ou C) telle que : y (t)= a(t) y(t) + b(t) pour t dans I y (t)= a(t) y(t) + b(t) pour t dans I y(t 0 ) = y 0 (condition initiale) y(t 0 ) = y 0 (condition initiale) Il existe une unique courbe intégrale de léquation différentielle y(t)= a(t) y(t) + b(t) passant par le point (t 0,y 0 )

Lattaque du problème : étape 1 : résolution de léquation homogène y (t) = a(t) y(t) + b (t) A (t) = a(t) dt ! t0t0t0t0 t fonction auxiliaire : Y (t) = y(t) exp (-A (t)) Y = 0 Y = constante y (t) = C exp (A (t)) 1 degré de liberté

Lattaque du problème : étape 2 : recherche dune solution particulière de léquation complète y (t) = a(t) y(t) + b (t) y (t) = C(t) exp (A (t)) variation de la constante ( C(t) + a(t) C(t) ) exp(A(t)) = a(t) C(t) exp (A(t)) + b(t) C (t) = b(t) exp (-A (t)) C(t) = C + ! b(u) exp (-A(u)) du t t0t0t0t0 y part (t) = exp(A(t))

Le bilan final Solutions de léquation y(t)=a(t) y(t)+ b(t) : y(t) = exp(A(t)) ( C + ! b(u) exp(-A(u)) du ) t0t0t0t0 t Condition initiale : y(t 0 ) = y 0 z0z0z0z0 avec condition initiale : y(t 0 ) = y 0 z 0 =y 0 exp(-A(t 0 ))=y 0

Les équations de J. Bernouilli y(t) = a(t) y(t) + b(t) [y(t)] a ( a e R \ {0,1}) ( a e R \ {0,1}) Condition initiale : y(t 0 ) = y 0 > 0 Fonction auxiliaire : z(t) = [y(t)] 1- a z(t) = (1- a ) a(t) z(t) + (1- a ) b(t) z(t 0 ) = y 0 1- a

Equations linéaires dordre 2 y (t) = a(t) y(t) + b(t) y(t) + c(t), t e I (a,b,c fonctions continues de I dans R ou C) Conditions « initiales » : y(t 0 ) = y 0 y(t 0 )=v 0 y(t 0 )=v 0 (t 0 e I, y 0, v 0 e R ou C) +

Un exemple de motivation : une cellule electronique dordre 2 f(t) = U A –U B (t) y(t) = U c –U D (t) Lc y (t) + R c y(t) + y(t) = f(t) i i (U A – U C ) (t) = R i(t) + L di/dt c (U C -U D ) (t) = i (t)

Lapproche numérique : méthode dEuler Se fixer des conditions initiales t 0, y 0, v 0 Se fixer des conditions initiales t 0, y 0, v 0 Choisir un pas de temps t Choisir un pas de temps t Choisir T = « durée de vie » tel que [t 0, T] soit inclus dans I Choisir T = « durée de vie » tel que [t 0, T] soit inclus dans I u t,0 = y 0, u t,1 =y 0 + t v 0 u t,n+2 = u t,n ( t 2 b(t 0 +n t ) – t a(t 0 +n t )-1 ) + u t,n+1 ( t a(t 0 + n t ) + 2 ) + t 2 c(t 0 +n t ) + u t,n+1 ( t a(t 0 + n t ) + 2 ) + t 2 c(t 0 +n t ) (tant que t 0 + n t b T) (tant que t 0 + n t b T) approximation de y(t 0 + n t )

Le théorème de Cauchy Hypothèses : - I intervalle ouvert de R - a, b, c fonctions continues de I dans R (ou C) - t 0 e I y 0, v 0 e R ou C (données initiales) Conclusion : Il existe une unique fonction y : I R (ou C) telle que : y (t)= a(t) y(t) + b(t) y(t) + c(t) pour t dans I y(t 0 ) = y 0, y(t 0 )=v 0 (conditions initiales) y(t 0 ) = y 0, y(t 0 )=v 0 (conditions initiales) Il existe une unique courbe intégrale de léquation différentielle y(t)= a(t) y(t) + b(t) y(t) + c(t) passant par le point (t 0,y 0 ) et ayant au point (t 0,y 0 ) une tangente de pente v 0

Le cas « à coefficients constants » Hypothèses : - I intervalle ouvert de R - a, b e R ou C, c fonction continue de I dans R (ou C) - t 0 e I y 0, v 0 e R ou C (données initiales) Conclusion : Il existe une unique fonction y : I R (ou C) telle que : y (t)= a y(t) + b y(t) + c(t) pour t dans I y(t 0 ) = y 0, y(t 0 )=v 0 (conditions initiales) y(t 0 ) = y 0, y(t 0 )=v 0 (conditions initiales) Il existe une unique courbe intégrale de léquation différentielle y(t)= a y(t) + b y(t) + c(t) passant par le point (t 0,y 0 ) et ayant au point (t 0,y 0 ) une tangente de pente v 0

Lattaque du problème : étape 1 : résolution de léquation homogène y(t) – a y (t) – b y(t) = 0, t e R a, b e C X 2 – a X – b = 0 (équation caractéristique) y(t) = exp ( w t) solution ? ? w 2 – a w – b = 0 cas 1 : a b non nul cas 1 : a b non nul w 1 et w 2 distinctes y = C 1 exp(w 1 t) + C 2 exp (w 2 t) OK cas 2 : a b = 0 cas 2 : a b = 0 w 1 = w 2 =w y = C 1 exp(w t) + C 2 t exp (w t) OK = (X- w 1 ) (X-w 2 ) = (X- w 1 ) (X-w 2 )

Lattaque du problème : résolution de léquation homogène (cas complexe (2)) a, b complexes + conditions initiales (y 0, v 0 e C) cas 1 : a b non nul cas 1 : a b non nul w 1 et w 2 distinctes y = C 1 exp(w 1 t) + C 2 exp (w 2 t) OK cas 2 : a b = 0 cas 2 : a b = 0 w 1 = w 2 =w y = C 1 exp(w t) + C 2 t exp (w t) OK y 1 (t) y 1 (t) y 2 (t) y 2 (t) C 1 y 1 (t 0 ) + C 2 y 2 (t 0 ) = y 0 C 1 y 1 (t 0 ) + C 2 y 2 (t 0 ) = v 0 système de Cramer ! solution (C 1,C 2 ) unique !!

Lattaque du problème : léquation homogène dans le cas réel (1) y(t) – a y (t) – b y(t) = 0, t e R a, b e R X 2 – a X – b = 0 (équation caractéristique) cas 1 : a b > 0 cas 1 : a b > 0 l 1 et l 2 réels distincts y = C 1 exp( l 1 t) + C 2 exp ( l 2 t) OK cas 2 : a b = 0 cas 2 : a b = 0 l racine réelle double y = C 1 exp( l t) + C 2 t exp ( l t) OK = (X- l 1 ) (X- l 2 ) = (X- l 1 ) (X- l 2 ) cas 3 : a b < 0 cas 3 : a b < 0 y = exp( l t) (C 1 cos( w t) + C 2 sin ( w t)) OK racines l +/- i w l = a/2 >0 : oscillations amplifiées l = a/2 <0 : oscillations amorties inf( l j )>0 : « explosion » sup( l j )<0 : « extinction » l >0 : « explosion » l <0 : « extinction »

Lattaque du problème : résolution de léquation homogène (cas réel (2)) a, b réels + conditions initiales (y 0, v 0 e R) cas 1 : a b > 0 cas 1 : a b > 0 y = C 1 exp( l 1 t) + C 2 exp ( l 2 t) OK cas 2 : a b = 0 cas 2 : a b = 0 y = C 1 exp( l t) + C 2 t exp ( l t) OK y 1 (t) y 1 (t) y 2 (t) y 2 (t) C 1 y 1 (t 0 ) + C 2 y 2 (t 0 ) = y 0 C 1 y 1 (t 0 ) + C 2 y 2 (t 0 ) = v 0 système de Cramer ! solution (C 1,C 2 ) unique !! y 2 (t) y 2 (t) cas 3 : a b < 0 cas 3 : a b < 0 y = C 1 exp( l t) cos ( w t) + C 2 exp ( l t) sin ( w t) OK y 1 (t) y 2 (t)

Recherche dune solution particulière de léquation « avec second membre » I. Méthode de « variation des constantes y(t)=a y(t) + b y(t) + c(t) y(t) = C 1 y 1 (t) + C 2 y 2 (t) C 1 (t) C 2 (t) + c(t) OK dès que : { C 1 y 1 + C 2 y 2 = 0 C 1 y 1 + C 2 y 2 = c système de Cramer ! Solution unique (C 1,C 2 ) y 2 (u) c(u) y 2 (u) c(u) C 1 (u) = (y 1 y 2 – y 2 y 1 )(u) (y 1 y 2 – y 2 y 1 )(u) y 1 (u) c (u) y 1 (u) c (u) C 2 (u) = (y 1 y 2 – y 2 y 1 )(u) (y 1 y 2 – y 2 y 1 )(u) C 1 (t) ! t0t0t0t0 t du ! t0t0t0t0 t C 2 (t) du y part (t)

Bilan : la solution du problème de Cauchy (cond. initiales : y 0,v 0 ) y (t) = C 1 y 1 (t) + C 2 y 2 (t) + ! t0t0t0t0 t c(t) ( y 1 (u) y 2 (t) – y 2 (u) y 1 (t) ) du y 1 (u) y 2 (u) – y 2 (u)y 1 (u) y 1 (u) y 2 (u) – y 2 (u)y 1 (u) C 1 y 1 (t 0 ) + C 2 y 2 (t 0 ) = y 0 C 1 y 1 (t 0 ) + C 2 y 2 (t 0 ) = v 0 solution générale de léquation y(t) – a y(t) – by(t)=0 solution particulière de léquation y (t) – a y(t) – b y(t) = c(t)

Remarque II. Une autre méthode pour la recherche dune solution particulière de y(t) – a y(t) – by(t) = c(t) Si le second membre c est de la forme : P(t) exp( w t), w e C P(t) cos ( w t), w e R P(t) sin ( w t), w e R On cherche une solution particulière de la forme : y part (t) = Q (t) exp ( w t), deg (Q) b deg (P) +2 (par exemple par identification)

Fin du Chapitre 3