MODULE - METHODES POTENTIELLES VII. Quelques méthodes d'interprétation et de transformations rapides des anomalies VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel dans le domaine de Fourier VII.4 Opérateurs de prolongement et de dérivation VII.5 Réduction au pôle et à l’équateur, et signaux analytiques VII.6 Transformation en couche équivalente

Expressions via domaine de Fourier VII.4 Expressions de l’opérateur de prolongement vers le haut Expressions via domaine de Fourier (passant d’un plan à l’altitude a vers un plan à l’altitude a+h) : Interprétation 2D (données sur un profil, TF à 1D) avec NB : le prolongement du profil fa pour obtenir le profil fa+h s’obtient par un produit de convolution Interprétation 3D (données sur une carte, TF à 2D) avec Idem : le prolongement de la carte fa pour obtenir la carte fa+h s’obtient par un produit de convolution

VII.4 Expressions de l’opérateur de prolongement vers le haut Application : Source = Marche inclinée Une ligne d’iso-potentiel est droite Partie inférieure des iso-potentiel est droite Intersection = point singulier des sources (coin, et segment supérieur d’un bord) Ref.: Paul et al. 1966, Geophysics 31, 940

VII.4 Expressions de l’opérateur de prolongement vertical Application : Uncorrected aeromagnetic data from the Edge Hills survey. The northern portion of the survey was drape flown whereas the southern portion was flown at a constant barometric altitude. Histogram equalized shaded image (Inc=30°, Az=30°, N up, cell-size 250m) Fig.: Thomas Ridsdill-Smith, PhD Sept. 2000, Univ. Western Australia, pp. 179

VII.5 Réduction au pôle et Signaux analytiques La réduction au pôle ramène le sommet de l’anomalie au-dessus du centre de la structure. Le signal analytique aussi, et permet en plus de localiser les sommets de la structure (pour des sources de grande largeur devant leur profondeur).

VII.5 Opératieurs de réduction au pôle et signaux analytiques Rappel/Définition : Inclinaison I du champ magnétique terrestre He Ze

VII.5 Opératieurs de réduction au pôle et signaux analytiques Inclinaisons I et Inclinaisons Apparentes I’ pour des profils magnétiques He’=Hecosa He Ze Ze’=Ze

VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux analytiques Rappel du principe via l’anomalie d’une source ponctuelle TF où Réduction au pôle = Passage de quelconque à Expression de la réduction au pôle Dérivée seconde en z Intégrations en m0 et en f0

VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux analytiques -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° Anomalie au pôle (I=90°) Anomalie à l’équateur (I=0°) où

VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux analytiques   Enveloppe du signal analytique déterminé à partir de dérivations dans le domaine de Fourier ou dans le domaine spatial :    Le long d’un profil (source à 2D = ligne ou cylindre de dipôles d’aimantation linéique ) Sur une carte (source à 3D = point ou sphère, de dipôles d’aimantation , en A/m ) :         TF Signal Analytique Signal analytique = Dérivation et ajout d’une partie imaginaire utilisant la transformée de Hilbert

VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux analytiques Enveloppe du Signal analytique avec dérivation -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Enveloppe du Signal analytique sans dérivation

Cas d’étude : Calculs du profil d’une ligne de dipôles (sources 2D) z x X=0 y ici Fonction paire Fonction impaire Fonction paire Fonction impaire Cf. I’=90° (pôle) et I’=0° (équateur) Cf. I’=45°

Cas d’étude : Calculs du profil d’une ligne de dipôles (sources 2D) z x X=0 y Signaux analytique de profils magnétiques Fonction paire Fonction impaire   (…) Le module du signal analytique d’une ligne de dipôles est paire

Cas d’étude : profil de l’anomalie d’autres sources 2D Signaux analytiques de profils magnétiques z x X=0 +  z x X=0  X=0 z1 x z2=z1+h  (…) Réduction au pôle via signaux analytiques   Le module du signal analytique d’une ligne de dipôles est paire

VII.7 Transformation en couche équivalente (introduction) On part de l’expression de la TF de l’anomalie mag d’une source ponctuelle en z : On l’intègre en z pour avoir celle d’une source étendue sur un segment vertical de z1 à z2 (t=z2-z1) : 1. En déduire l’opérateur de transformation en couche équivalente TCEz1,z2 : 2. En prenant le cas particulier d’une couche fine (t<<z<<1/|k|), discuter de la stabilité de TCEz1,z2 :

VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux analytiques Compléments - Au cas où... VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux analytiques   Potentiel Newtonien et anomalie gravimétrique dans le domaine de Fourier et dans le domaine spatial :    Le long d’un profil (source à 2D = ligne ou cylindre, de masse linéique l) : Sur une carte (source à 3D = point ou sphère, de masse m, en kg) :         TF où

VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux analytiques   Potentiel magnétique et anomalie magnétique du champ total dans le domaine de Fourier et dans le domaine spatial :    Le long d’un profil (source à 2D = ligne ou cylindre de dipôles d’aimantation linéique ) Sur une carte (source à 3D = point ou sphère, de dipôles d’aimantation , en A/m ) :         TF où Réduction au pôle = Passage de quelconque à