MODULE - METHODES POTENTIELLES Contenu du cours (par J.B. Edel & P. Sailhac) : I. Propriétés physiques des roches : densités, aimantations induites et aimantations rémanentes. II. Champs de potentiel (gravimétrique, magnétique, …) III. Etablissement de profils et cartes d'anomalies gravimétriques et magnétiques : les mesures, les corrections des données,... IV. Calculs de leffet de structures simples : sphère, cylindre, filon, faille et prisme quelconque à deux dimensions. V. Quelques méthodes d'interprétation et de transformations rapides des anomalies (prolongement, dérivation, réduction au pôle), qui permettent d'affiner la localisation des structures et d'en délimiter les contours. VI. Levé magnétique du bassin de Paris : Interprétations géologiques.

~2km 500m ~40° Structures en Profondeur (Objectif) Certaines transformation des données facilitent leur interprétation en mettant en évidence : labscisse des sources la profondeur des sources le type de source (filon ou contact par exemple) la taille des sources linclinaison de laimantation (en magnétisme) lorientation des structures sources … Profil aéromagnetique de lanomalie du champ total Signature de FilonsSignature dune faille Profil de lanomalie Aéromagnetique (Données) V.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel : Objectifs

Horizontal Phase Gradient Horizontal Anomalie du Champ Total Géologie en Surface V.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel : Exemple en Aéromagnétisme km

V.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel Equation de Poisson : Masses à z=z 0 Prolongement vers le haut z 2 =z 0+ h z0z0 Fonction de Green en gravi définit lopérateur de prolongement vers le haut : DéfinitionPropriété Solution où : Objectifs Principaux = Corriger les artéfacts liés à des altitudes irrégulières, à la topographie et au bruit des données Moyen = Utilisation dun filtre passe-bas transformant les donnée dune altitude vers une altitude plus élevée

V.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel Relation entre les anomalies gravimétriques et magnétiques : Dérivation oblique Relation entre une anomalies magnétique quelconque et celle quon aurait mesurée au pôle pour une même source : Intégration oblique puis dérivation verticale Masses à z=z 0 Dérivation z 2 =z 0 +h z0z0 Dipôles à z=z 0 Objectifs Principaux = Mettre en évidence le bord des anomalies, et placer le maximum des anomalies à laplomb des sources Moyen = Utilisation de combinaison de filtres de dérivation

V. Quelques méthodes d'interprétation et de transformations rapides des anomalies V.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel V.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables V.3 Opérateurs de prolongement et de dérivation V.4 Réduction au pôle et à léquateur, et signaux analytiques V.5 Transformation en couche équivalente

V.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables -> Cours de Traitement du Signal de Dominique Gibert (Géosciences Rennes) A) Origine = Résolution dun problème physique Problème étudié par Jean Batiste Fourier Définitions possibles Base physique = résolution déquations physiques Cas général de léquation de Sturm-Liouville Cas particulier du prolongement vers le haut (dun profil) B) Propriétés et applications Linéarité, symétrie, Similitude, Translation, Dérivation Produit de convolution et causalité sources/potentiel Transformée de Hilbert et signal analytique C) Processus Stochastiques Corrélation Spectre dénergie de différents types de bruit Spectre dénergie dune source en bruit blanc à une profondeur fixée D) Echantillonnage et numérisation Troncature du spectre et effet de Gibbs (filtrage passe bas) Troncature du signal et résolution spectrale Echantillonnage et fréquence de Nyquist Erreur de discrétisation : repliement du spectre

V.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables A) Origine = Résolution dun problème physique Problème étudié par Jean Batiste Fourier Définitions possibles 1D 2D

V.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables A) Origine = Résolution dun problème physique Base physique = résolution déquations physiques Equa. Poisson Equa. Laplace Equa. Propagation (des ondes) Equa. Diffusion

V.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables A) Origine = Résolution dun problème physique Cas général de léquation de Sturm-Liouville / Séparation des variables Solution générales Equation du type Sturm-Liouville pour chaque fonction à une variable (où u est la constante de séparation et les fonctions l(t), m(t) et n(t)>0 dépendent du système de coordonnées retenu) La TF correspond au cas où n(t)=1 avec des fonctions propres cos et sin pour P(t,u) :

V.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables A) Origine = Résolution dun problème physique Cas particulier du prolongement vers le haut dun profil (équation de Laplace 2D / champ de potentiel hors des sources) Solution générales 2 équations du type Sturm-Liouville

V.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables A) Exercice permettant de déterminer lopérateur de prolongement vers le haut On considère la fonction homogène f(x,y,z) dans le demi-plan supérieur ne contenant aucune source (z croissant vers le bas). Cette fonction f est soit lanomamie magnétique du champ total T soit lanomalie gravimétrique g. Ainsi lanomalie vérifie léquation de Laplace : (1) 1/ Définir la transformée de Fourier 2D F(u,v,z) de f(x,y,z) suivant les variables x et y. 2/ Montrer que léquation (1) dans le domaine de Fourier 2D sécrit : (2) 3/ Pour résoudre léquation différentielle (1 ou 2), on a besoin de fixer les conditions aux limites. Une première condition est fournie par largument physique : lanomalie est nulle très loin des sources, i.e. f(x,y,z)0 pour z-. La deuxième condition est fournie par des données sur le plan z=0 : f 0 (x,y)=f(x,y,z=0). En notant F 0 (u,v)=F(u,v,z=0), déterminer les solutions F de léquation (2) en fonction de F 0, puis les solutions f de léquation (1) en fonction de f 0. 4/ Déduire de la question 3/ lexpression de lopérateur de prolongement vers le haut depuis un plan horizontal.