prendre de la hauteur Astronomie et Navigation phm Obs Lyon 2010-11

Mesure de hauteur et navigation Bibliographie de l’exposé (entre autre) : Le Traité de Navigation. Manuscrit de la Bibliothèque Municipale De Rouen. Denoville, Jean-Baptiste. Ed. Point de Vues http://assprouen.free.fr/denoville/ Traité de la construction et des principaux usages des instrumens de mathématique (Service Commun de la Documentation de l'Université de Strasbourg) http://num-scd-ulp.u-strasbg.fr:8080/640/ Mémoire sur l'Observation des longitudes en mer, La Caille - MARS 1759, p63-99. Sur la recherche des longitudes en mer, HARS, 1722, p 96-120. Astronomie des marins, Pézenas E., 1766, 492 pages : sur Google books, mais planches scannées avec les planches repliées.  HARS et MARS : Histoire et Mémoires de l’Académie Royale des Sciences 2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Mesure de hauteur et navigation En mer difficulté de faire des mesures angulaires. Dans le référentiel local, azimut et hauteur, seule la hauteur est susceptible d’être obtenue avec une précision suffisante pour en déduire la latitude, l’heure locale... Les astronomes et les mathématiciens ont alors créé à partir de cette mesure un ensemble d’outils permettant de calculer le temps et la position. Avec les connaissances élémentaires d’Astronomie, établissement des formules pour relier hauteur d’un astre - valeurs de positions et de temps. Calculs possibles si le navigateur emporte dans ses bagages des éphémérides. Données des éphémérides rattachées à un méridien origine. Ce référentiel a changé au cours des siècles : méridien de l’île du Fer, méridien de Paris, de Greenwich actuellement.  2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Mesure de hauteur et navigation Les repères dans le ciel La sphère céleste ou sphère des fixes est rattachée au système de coordonnées équatoriales (ascension droite et déclinaison). L’observateur observe dans deux référentiels rattachés à sa position : référentiel local (azimut et hauteur) référentiel horaire (angle horaire et déclinaison). Ces deux référentiels sont propres au lieu. Animations interactives sur les coordonnées  2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Mesure de hauteur et navigation Les repères dans le ciel La sphère des fixes tourne pour un observateur autour de l’axe des pôles. Relation sphère des fixes - système horaire : temps sidéral TS Ou angle horaire du point g. Relation élémentaire H = TS - a Passage entre référentiel local référentiel horaire. simple changement de coordonnées  2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Les repères dans le ciel ● coordonnées horizontales ⇒ coordonnées horaires sin d = sin j . cos z - cos j . sin z . cos a cos d . sin H = sin z . sin a cos d . cos H = cos j . cos z + sin j . sin z . cos a j la latitude du lieu z la distance zénithale complément de la hauteur  2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Les repères dans le ciel ● coordonnées horaires ⇒ coordonnées horizontales cos z = sin j . sin d + cos j . cos d . cos H sin z . sin a = cos d . sin H sin z . cos a = - cos j . sin d + sin j . cos d . cos H j la latitude du lieu z la distance zénithale complément de la hauteur  2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Mesure de hauteur et navigation Même utilisation ? Prendre des hauteurs  2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Mesure de hauteur et navigation Le triangle des calculs Suivant les éléments connus : Latitude, déclinaison, heure… La mesure des hauteurs permet de calculer les autres éléments Tout se passe dans le triangle PZA angle APZ angle horaire H angle PZA supplément de l’azimut a arc PA ou angle PCA : complément de la déclinaison d arc ZA ou angle ZCA : complément de la hauteur h arc PZ ou angle PCZ : complément de la latitude j  2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Mesure de hauteur et navigation Faire le point Astre sur l’horizon lever à l’est, coucher à l’ouest. h = 0° Attention aux corrections réfraction atmosphérique (maximale à l’horizon) élévation au dessus du niveau de la mer parallaxe pour la Lune (maximale à l’horizon) Réfraction au niveau de la mer : environ 30’ Elévation : 10 mètres = 6’ d’arc Parallaxe maximale de la Lune au périgée : 1° 2’ Parallaxe minimale de la Lune à l’apogée : 54’ 2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Mesure de hauteur et navigation Réfraction La réfraction courbe, par effet de prisme, le rayon venant de l’astre. Il paraît plus élevé sur l’horizon et la mesure augmente la hauteur. Déviation est nulle au zénith Maximale à l’horizon Variable avec l’état de l’atmosphère Vaut un peu plus de 30' d’arc à l’horizon 2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Mesure de hauteur et navigation Elévation Sur un bateau ou à terre, on est au-dessus du niveau de la mer de e. On a un faux horizon. Il permet de voir un peu en dessous de l’horizon vrai. La hauteur d’un astre mesuré est augmentée de dh cos dh = RT / (RT+e) A 10 mètres de haut, dh = 6'. 2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Mesure de hauteur et navigation Parallaxe Par rapport à un observateur géocentrique, la parallaxe p fait voir l’objet plus bas (h’ au lieu de h). et diminue la hauteur sin p = cos h’ (RT / DL) La parallaxe est maximale avec la Lune sur l’horizon et vaut environ 1’ Pour le Soleil et la Lune il faut faire une correction pour se ramener au centre : Correction à ajouter ou retrancher si l’on a visé le bas ou le haut du disque. Correction variable avec les distances de la Lune et du Soleil à la Terre 2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Astre à l’horizon Détermination de l’heure locale La latitude est connue Par l’observation de la hauteur de la polaire. Si l’Astre observé est le Soleil, on a immédiatement l’heure locale : cos ZA = cos PA cos PZ + sin PA sin PZ cos H 0 = cos (90°-d) cos (90°-j) + sin (90°-d) sin (90°-j) cos H 0 = sin d sin j + cos d cos j cos H cos H = -tan d tan j La déclinaison de l’astre est donnée par les éphémérides. T = H + 12h A transformer en temps solaire moyen avec la correction de l’équation du temps. TM = T + E Avec une horloge réglée sur le méridien origine, TG, on a alors la longitude : Long. = TM - TG 2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Astre à l’horizon  L’azimut au moment du lever est calculable aussi. On prend la formule qui exprime le côté PA : cos PA = cos ZA cos PZ + sin ZA sin PZ cos (180° - a) cos (90°-d) = - sin (90°-j) cos a sin d = - cos j cos a  cos a = - sin d / cos j Cette mesure permet de corriger le compas si on a repéré l’azimut du Soleil ou de l’étoile, au moment de son lever ou coucher avec un compas de variation. On rectifie les variations de la boussole ou orientation de celle-ci suivant le lieux géographiques. 2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Mesure de hauteur et navigation Astre à l’horizon Si l’objet est une étoile, on obtient son angle horaire HA et pour calculer l’angle horaire du Soleil il faut la différence d’ascension droite Soleil – étoile : Da On a alors (figure du bas) : HS = HA +Da Qui donne le temps local. 2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Mesure de hauteur et navigation Astre au-dessus de l’horizon Cas général h ≠ 0 Toujours dans le triangle PZA cos ZA = cos PA cos PZ + sin PA sin PZ cos H donne sin h = sin d sin j + cos d cos j cos H Et pour l’azimut 2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Mesure de hauteur et navigation Changements de systèmes de coordonnées Dans les triangles sphériques, le changement de système se fait par des relations trigonométriques. A cause de l'incertitude sur la valeur d'un angle dont on connaît seulement une ligne trigonométrique (sin, cos...), il faut deux relations pour déterminer les angles variant de 0 à 2π. coordonnées horizontales ⇒ coordonnées horaires ⇒ coordonnées équatoriales sin δ = sin ϕ . cos z - cos ϕ . sin z . cos a cos δ . sin H = sin z . sin a cos δ . cos H = cos ϕ . cos z + sin ϕ . sin z . cos a α = T - H coordonnées équatoriales ⇒ coordonnées horaires ⇒ coordonnées horizontales H = T - α cos z = sin ϕ . sin δ + cos ϕ . cos δ . cos H sin z . sin a = cos δ . sin H sin z . cos a = - cos ϕ . sin δ + sin ϕ . cos δ . cos H Note : L’angle horaire et l’ascension droite habituellement exprimés en heures d’angle doivent être convertis en degrés pour être utilisés dans les formules trigonométriques (1 heure = 15°) 2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Mesure de hauteur et navigation Changements de systèmes de coordonnées coordonnées équatoriales ⇒ coordonnées écliptiques sin b = cos ε . sin δ - sin ε . cos δ . sin α cos b . cos l = cos δ . cos α cos b . sin l = sin ε . sin δ + cos ε . cos δ . sin α coordonnées écliptiques ⇒ coordonnées équatoriales sin δ = cos ε . sin b + sin ε . cos b sin l cos δ . cos α = cos b . cos l cos δ . sin α = -sin ε . sin b + cos ε . cos b . sin l Note : L’angle horaire et l’ascension droite habituellement exprimé en heures d’angle doit être converti en degrés pour être utilisé dans les formules trigonométriques (1 heure = 15°) 2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Mesure de hauteur et navigation Distance angulaire entre deux points Dans un système de coordonnées sphériques à deux variables a et b Distance angulaire d entre deux points E1 (a1, b1) et E2 (a2,b2) est : cos d = sin b1 sin b2 + cos b1 cos b2 cos (a2-a1) Coordonnées locales a et h : cos d = sin h1 sin h2 + cos h1 cos h2 cos (a2-a1) Coordonnées horaires H et d : cos d = sin d1 sin d2 + cos d1 cos d2 cos (H2-H1) Coordonnées équatoriales a et d : cos d = sin d1 sin d2 + cos d1 cos d2 cos (a2-a1) Coordonnées écliptiques l et b : cos d = sin b1 sin b2 + cos b1 cos b2 cos (l2-l1) 2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation

Mesure de hauteur et navigation . . . . . FIN 2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation