Le nombre total des élèves est : 160

Prendre comme amplitude de base A = 1

1-5-2-h : Graphique en radar. Montre l’évolution ou la fréquence des séries de données entre elles et par rapport à un point central. Chaque catégorie possède son propre axe des valeurs (Y) qui rayonne à partir du point central. Des courbes relient toutes les marques de données appartenant à la même série. Ce type de graphique est couramment utilisé dans les pays d’Extrême-Orient.

Effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés décroissants 1-5-3 : Polygone statistique. Polygones cumulatifs : variable continue Considérons la distribution statistique portant sur l’âge des ouvriers d’une entreprise, et dont lequel les classes d’âge ont toutes la même amplitude. Age en années Effectifs ni Effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés décroissants [20, 25[ [25, 30[ [30, 35[ [35, 40[ [40, 45[ [45, 50[ [50, 55[ [55, 60[ Total 9 27 36 45 18 3 150 72 117 135 144 147 141 114 78 33 15 6

Effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés décroissants Les rectangles construits ont tous même base ; leurs hauteurs sont proportionnelles aux effectifs qu’elles veulent représenter ; nous pouvons en conclure que l’effectif correspondant à une classe est traduit par la surface du rectangle construit en prenant cette classe comme base. Supposons que le tableau qui a servi à construire l’histogramme ait été tel que les effectifs des deux dernières classes aient été regroupés et que, par exemple, la fin du tableau se soit présentée de la façon suivante. Age en années Effectifs ni Effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés décroissants . [45, 50[ [50, 60[ Total 9 6 150 144 15

Effectifs qui ne sont pas ceux qu’il fallait représenter. Il serait inexact, les classes données n’ayant pas toutes même amplitude (la dernière classe a une amplitude double de celle des autres), de représenter l’histogramme comme il a été dit plus haut. On obtiendrait en effet l’histogramme suivant. Cet histogramme est faux, car il représente une série statistique qui correspondrait aux effectifs suivants (pour les dernières classes) : Age en années Effectifs ni [45, 50[ [50, 55[ [55, 60[ 9 6 Effectifs qui ne sont pas ceux qu’il fallait représenter. Il est facile de voir que l’amplitude de la classe [50, 60[ étant double de l’amplitude de chacune des autres classes, il fallait représenter, sur le segment 50-60, un rectangle de hauteur moitié de l’effectif donné, c’est-à-dire un rectangle de hauteur 6/2 = 3. On aurait ainsi obtenu l’histogramme exact, obtenu précédemment.

D’une façon générale, si une classe est d’amplitude k fois plus grande (ou plus petite) que l’amplitude prise pour unité, il sera bon, avant la présentation de l’histogramme correspondant, de diviser (ou de multiplier) par k l’effectif correspondant à la classe en question, l’effectif corrigé obtenu donnant la hauteur du rectangle à présenter. Cette remarque met l’accent sur le fait que, en matière de représentation à l’aide d’un histogramme, c’est l’aire des rectangles, et non leur hauteur, qui est proportionnelle à l’effectif. Polygone statistique. En joignant par des segments de droite les points milieux des côtés supérieurs des rectangles constituant l’histogramme (ces points ont pour abscisses les valeurs centrales des classes) on obtient le polygone statistique qui donne l’allure générale de la distribution du caractère étudié. On complète ce polygone en le faisant commencer au point de coordonnées (x=17.5 ; y =0) et finir au point (x=62.5 ; y =0). L’aire du polygone est égale à l’aire de l’histogramme (vrai uniquement si toutes les classes sont de même amplitude).

Effectifs cumulés croissants Polygones cumulatifs. Age en années Effectifs ni Effectifs cumulés croissants [20, 25[ [25, 30[ [30, 35[ [35, 40[ [40, 45[ [45, 50[ [50, 55[ [55, 60[ Total 9 27 36 45 18 3 150 72 117 135 144 147 A partir du même exemple construisons dans un repère cartésien orthogonal les points dont les abscisses sont égales aux bornes supérieures des classes, (sauf pour le premier point) et dont les ordonnées sont les effectifs cumulés croissants correspondants. En joignant ces points par des segments de droites nous obtenons le polygone cumulatif croissant ou polygone des effectifs cumulés croissants de la série donné. Sur la représentation graphique, on peut lire aisément que, par exemple, 72 ouvriers (ou 48% de l’effectif total de la population étudié) ont moins de 35 ans.

Construisons également dans un repère cartésien orthogonal les points dont les abscisses sont égales aux bornes inférieures des classes, (sauf pour le dernier point) et dont les ordonnées sont les effectifs cumulés décroissants correspondants. En joignant ces points par des segments de droites nous obtenons le polygone cumulatif décroissant de la série donnée. Sur cette représentation on lit aisément, par exemple, que 114 ouvriers (ou 76 % de l’effectif total de la population) ont un âge supérieur à 30 ans. On construirait de la même façon les polygones cumulatifs des fréquences. Il serait facile de voir que les deux polygones cumulatifs, représentés sur un même système d’axes, sont symétriques par rapport à l’axe parallèle à l’axe des abscisses et d’ordonnée 150/2 = 75 (en effectif cumulés) ou 100/2 = 50 (en fréquence cumulés).

Remarque : Dans le cas d’une variable statistique discrète, on ne peut pas tracer de polygone cumulatif puisque la variable passe de l’une de ses valeurs à la suivante de façon discontinue, et on non progressivement comme dans le cas d’une variable continue. Utilisant l’exemple suivant : statistique du personnel d’une entreprise d’après le nombre d’enfants à charge. Nb d’enfants à charge Effectifs ni Effectifs cumulés croissants 1 2 3 4 5 6 Total 17 31 20 11 89 22 53 73 84 88 La représentation graphique obtenue est celle d’une ‘’fonction en escalier’’, appelée fonction de répartition des effectifs, c’est la fonction E : x ---- E(x), E(x) étant la somme des effectifs des xi tels que xi < x. Sur la représentation on lit, par exemple, que E(2) = 22, ce qui signifie que 22 ouvriers ont moins de 2 enfants à charge.

1-5-3- : Représentation des séries chronologiques. Nous nous proposons maintenant de représenter graphiquement non plus la structure d’une population, mais l’évolution dans le temps d’une variable statistique. Celle-ci pourra être le chiffre d’affaire, le montant des frais fixes etc. Il faudra pour cela choisir un type de coordonnées et une échelle adéquate. 1-5-3- a: Les coordonnées cartésiennes et logarithmiques. C’est le type le plus courant de coordonnées que l’on utilise dans la plus part des cas. Le temps est représenté sur l’axe des abscisses, la variable étudié sur l’axe des ordonnées. Deux types d’échelle sont utilisées couramment : l’échelle arithmétique et l’échelle logarithmique. Dans le cas de l’échelle arithmétique, les graduations sont établies suivant la succession logique des nombres entiers.

L’importance du rapport entre l’échelle des temps et l’échelle du chiffre d’affaires dans notre exemple, détermine l’interprétation plus ou moins objectif qui peut être faite du phénomène correspondant. Les mêmes chiffres peuvent être représentés comme suit : Les conclusions peuvent parfois être fortement affectées par le choix de l’échelle…

Dans le cas de l’échelle de type arithmétique, on représente par une longueur égale (unité sur les axes) une variation absolue identique. La différence entre 150 et 300 sera représentée par la même longueur que celle entre 4200 et 4350, puisque sa valeur est toujours de 150. Dans bien des cas, il est plus intéressant de s’attacher à la variation relative : par exemple, on cherchera à connaître le taux de sa variation du chiffre d’affaires plutôt que de se fixer à sa variation en valeur absolue. On représentera la variable à l’aide de coordonnées logarithmique. Le graphique semi-logarithmique est un excellent moyen de mettre en évidence une idée ou un résultat grâce aux propriétés des logarithmes décimaux. Rappels sur le logarithme décimal : Le logarithme décimal d'un nombre est la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir ce nombre. Appliquons cette définition à quelques nombres. Quel est, par exemple, le logarithme décimal de  1 ? C'est la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir 1 : 100 = 1 On écrira donc : log 1 = 0 Quel est le logarithme décimal de 100 ? C'est la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir 100 : 102 = 100, parce qu'il faut élever 10 à la puissance 2 pour obtenir 100. Donc 2 est le logarithme décimal de 100. On écrira par conséquent : log 100 = 2

log 1000 = 3 ; Autrement dit, 3 est le logarithme décimal de 1000. Inversement, si l'on demande "De quel chiffre 3 est-il le logarithme décimal ?", on fera le raisonnement inverse. Sachant que 103 = 1000, la réponse est donc : log 1000 = 3 ; Autrement dit, 3 est le logarithme décimal de 1000. Exemple 1 :  L'échelle logarithmique permet de mieux voir les différences de progression On décide de comparer le nombre de contrats conclus par deux vendeurs en 2004 et 2005 :   2004 2005 Progression Vendeur 1 300 log(300)=2,48 600 log(600)=2,78 multiplié par 2 Vendeur 2 100 log(100)=2 400 log(400)=2,6 multiplié par 4 Le tableau montre que le nombre de contrats conclus par le vendeur 1 a été multiplié par deux et que le nombre de contrats conclus par le vendeur 2 a été multiplié par 4. Sur un graphique ordinaire (à gauche ci-dessous), les deux progressions sont parallèles. En revanche, sur un graphique avec une ordonnée logarithmique, on voit clairement que la progression du vendeur 2 est plus rapide que celle du vendeur 1.

Exemple 2 : L'échelle semi-logarithmique convient mieux à la mise en évidence des variations relatives en particulier les graphiques montrant des évolutions à taux constant. Lorsqu’on veut représenter des valeurs très éloignées dans le temps, l’échelle arithmétique n’est pas appropriée car on s’intéresse souvent au taux de variation et non pas à la valeur absolue. Prenant l’évolution de l’indice des actions américaines Dow-Jones depuis 1850. l’indice a passé de 17.48 en 1850 à 11497 en 1999. le fameux crash boursier de 1929 et des débuts des années 30 n’apparaît sur ce graphique que par une ‘’petite’’ baisse de l’indice. Or la baisse a été très forte (environ 80 %). Il faut prendre des valeurs relatives et non pas des valeurs absolues. Dans le cas où on prend en ordonnée le logarithme décimal de l’indice on obtient le graphique suivant :

Dans ce graphique le crash de 1929 est bien visible et la baisse de ces dernières années peut être comparée à celle des années trente. L’échelle arithmétique et l’échelle logarithmique sont les suivantes : Echelle arithmétique Echelle logarithmique 1 3 2 4 10 1000 100 10000 Dans une échelle arithmétique, des longueurs égales représentent des variations égales tandis que dans une échelle logarithmique des longueurs égales représentent des rapports égaux.