ADAPTATION d’une distribution expérimentale Professeur Pascale FRIANT-MICHEL > Faculté de Pharmacie Pascale.Friant@univ-lorraine.fr

ADAPTATION d’une DISTRIBUTION EXPERIMENTALE I - DEFINITION Lorsqu’une distribution expérimentale évoque une distribution théorique, en raison, par exemple : - de l’aspect de son diagramme des fréquences ou - des conditions dans lesquelles on l’a observée Exemple : - distribution normale - distribution binomiale on substitue à la distribution expérimentale observée la distribution théorique correspondante, cela s’appelle "adapter" La distribution théorique n’a, de toute façon, valeur que de simple hypothèse dont il conviendra de tester la validité Chapitre – Adaptation P. FRIANT-MICHEL

II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE  Calculer les termes respectifs de la distribution binomiale théorique correspondante (ayant le même effectif N que la distribution expérimentale observée) . Calculer les probabilités Pk telles que : Pk = C pk qn-k avec  Pk = 1 . Calculer les fréquences absolues nk correspondantes telles que : nk = N . Pk avec  nk = N Exemple : Distribution du nombre de filles dans 160 familles de 4 enfants tirées au hasard dans une population Chapitre – Adaptation P. FRIANT-MICHEL

II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (2) Exemple : Distribution du nombre de filles dans 160 familles de 4 enfants tirées au hasard dans une population - Calcul des paramètres caractéristiques de la distribution Famille de xi filles Nombre de familles ni 1 2 3 4 16 48 62 30 = 160 nixi nixi2 48 124 90 16 248 270 64 = 278 = 630 m = = = 1,74 fille V = - m2 = - (1,74)2 = 3,94 - 3,02 = 0,92 (fille)2 σ = = 0,96 fille Chapitre – Adaptation P. FRIANT-MICHEL

II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (3) Exemple : Distribution du nombre de filles dans 160 familles de 4 enfants tirées au hasard dans une population - Hypothèse : loi binomiale de moyenne : m = n . p mth = mexp = 1,74 n = 4 => p = = = 0,435 (proportion de filles) => q = 1 – p = 0,565 (proportion de garçons) Probabilités théoriques de k filles dans des familles de 4 enfants : Pk = C (0,435)k (0,565)4-k avec 0 ≤ k ≤ 4 Effectifs théoriques : nk = 160 . Pk avec = = 160 Chapitre – Adaptation P. FRIANT-MICHEL

II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (4) Exemple : Distribution du nombre de filles dans 160 familles de 4 enfants tirées au hasard dans une population Famille de xi filles Nombre de familles ni 1 2 3 4 16 48 62 30 = 160 Pk nk 0,1019 0,3138 0,3624 0,1860 0,0358 16,30 50,21 57,99 29,76 5,73 = 1 = 160 Chapitre – Adaptation P. FRIANT-MICHEL

III - ADAPTATION à la LOI de POISSON  Calculer les termes correspondants de la distribution de POISSON ayant le même effectif N et la même moyenne que la distribution expérimentale observée . Calculer les probabilités Pk telles que : Pk = e-m avec  Pk = 1 . Calculer les fréquences absolues nk correspondantes telles que : nk = N . Pk avec  nk = N Exemple : Distribution du nombre d’accidents hebdomadaires à un carrefour dangereux Chapitre – Adaptation P. FRIANT-MICHEL

III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (2) Exemple : Distribution du nombre de d’accidents hebdomadaires à un carrefour dangereux - Calcul des paramètres caractéristiques de la distribution Nombre d’accidents xi Nombre de semaines ni 1 2 3 4 5 10 7 = 30 nixi nixi2 10 14 12 5 28 36 48 25 = 53 = 147 m = = ≈ 1,77 accident V = - m2 = - (1,77)2 ≈ 1,83 (accident)2 σ = = 1,35 accident Chapitre – Adaptation P. FRIANT-MICHEL

III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (3) Exemple : Distribution du nombre de d’accidents hebdomadaires à un carrefour dangereux - Hypothèse : loi de POISSON de moyenne : m mth = mexp = 1,77 Probabilités théoriques de k accidents : Pk = e-1,77 avec 0 ≤ k ≤ 5 Effectifs théoriques : nk = 30 . Pk avec = = 30 Attention aux classes supplémentaires Chapitre – Adaptation P. FRIANT-MICHEL

III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (4) Exemple : Distribution du nombre de d’accidents hebdomadaires à un carrefour dangereux Nombre d’accidents xi Nombre de semaines ni 1 2 3 4 5 10 7 = 30 Pk nk 0,1703 0,3015 0,2668 0,1574 0,0697 0,0247 5,11 9,05 8,00 4,72 2,09 0,74 ≥ 6 0,0096 0,29  Pk = 1 ? = 1  nk = 30 ? = 30 Chapitre – Adaptation P. FRIANT-MICHEL

IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE  Calculer les termes correspondants de la distribution gaussienne ayant le même effectif N, la même moyenne m et le même écart-type σ que la distribution expérimentale observée => - Déterminer les probabilités Pth associées aux diverses classes de la distribution telles que :  Pth = 1 au moyen des tables de GAUSS établies pour la courbe réduite => . Calculer les écarts réduits par la relation : t = . Lire les tables des fréquences cumulées p (t) ou des valeurs de f (t) . Calculer les probabilités théoriques Pth Chapitre – Adaptation P. FRIANT-MICHEL

IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (2) - Calculer les fréquences absolues nth correspondantes telles que : nth = N . Pth avec  nth = N Exemple : Poids de 406 nouveau-nés relevé dans une maternité Classes (kg) Effectif ni [ 2,20 ; 2,40 [ 3 [ 2,40 ; 2,60 [ 8 [ 2,60 ; 2,80 [ 26 [ 2,80 ; 3,00 [ 50 [ 3,00 ; 3,20 [ 69 [ 3,20 ; 3,40 [ 85 [ 3,40 ; 3,60 [ 62 Classes (kg) Effectif ni [ 3,60 ; 3,80 [ 44 [ 3,80 ; 4,00 [ 35 [ 4,00 ; 4,20 [ 17 [ 4,20 ; 4,40 [ 3 [ 4,40 ; 4,60 [ 2 [ 4,60 ; 4,80 [ Chapitre – Adaptation P. FRIANT-MICHEL

IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (3) Exemple : Poids de 406 nouveau-nés relevé dans une maternité Paramètres caractéristiques de la distribution : (calculés aux centres de classes) m = 3,33 kg σ = 0,45 kg Hypothèse : loi normale de moyenne : m = 3,33 kg d’écart-type : s = 0,45 kg . Calcul des différents ti (aux limites de classes) . Recherche par lecture des différents pi ou fi (aux limites de classes) Chapitre – Adaptation P. FRIANT-MICHEL

IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (4) Exemple : Poids de 406 nouveau-nés relevé dans une maternité - Calcul des différentes Pth (aux centres de classes) : Lorsque t2 > t1 : Pth = p (t2) – p (t1) ou Pth = f (t1) – f (t2) lorsque t1 et t2 sont de même signe (t1 et t2 < 0) Pth = f (t2) – f (t1) lorsque t1 et t2 sont de même signe (t1 et t2 > 0) Pth = f (t1) + f (t2) lorsque t1 et t2 sont de signes contraires - Calcul des différentes nth (aux centres de classes) : nth = 406 . Pth avec  nth = 406 Attention aux classes supplémentaires Chapitre – Adaptation P. FRIANT-MICHEL

IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (5) Exemple : Poids de 406 nouveau-nés relevé dans une maternité Limites (kg) Effectif ni 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00 3,20 3,40 3 8 26 50 69 85 ti = p (ti) (ti) 2,51 2,07 1,62 - 1,18 - 0,73 0,29 0,15 0,0060 0,0192 0,0526 0,1190 0,2327 0,3869 0,5596 0,4940 0,4808 0,4474 0,3810 0,2673 0,1141 0,0596 Pth nth 0,0132 0,0334 0,0664 0,1137 0,1532 0,1737 5,36 13,56 26,96 46,16 62,20 70,52 ou Chapitre – Adaptation P. FRIANT-MICHEL

IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (6) Exemple : Poids de 406 nouveau-nés relevé dans une maternité ou Limites ni 3,60 3,80 4,00 4,20 4,40 4,60 4,80 62 44 35 17 3 2  ni = 406 ti p (ti) f (ti) 0,60 1,04 1,49 1,93 2,38 2,82 3,27 0,7257 0,8508 0,9319 0,9732 0,9913 0,9976 0,9995 0,2257 0,3508 0,4319 0,4732 0,4913 0,4976 0,4995 Pth nth 0,1661 0,1251 0,0811 0,0413 0,0181 0,0063 0,0019 67,44 50,79 32,93 16,77 7,35 2,56 0,77  Pth ≠ 1  nth ≠ 406 Chapitre – Adaptation P. FRIANT-MICHEL

IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (7) Exemple : Poids de 406 nouveau-nés relevé dans une maternité Classes (kg) Effectif ni 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00 3,20 3,40 3 8 26 50 69 85 ti = p (t) (t) 2,51 2,07 1,62 - 1,18 - 0,73 0,29 0,15 0,0060 0,0192 0,0526 0,1190 0,2327 0,3869 0,5596 0,4940 0,4808 0,4474 0,3810 0,2673 0,1141 0,0596 Pth nth 0,0132 0,0334 0,0664 0,1137 0,1532 0,1737 5,36 13,56 26,96 46,16 62,20 70,52 ou < 2,20 0,0060 2,43 Chapitre – Adaptation P. FRIANT-MICHEL

IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (8) Exemple : Poids de 406 nouveau-nés relevé dans une maternité ou Limites ni 3,60 3,80 4,00 4,20 4,40 4,60 4,80 62 44 35 17 3 2  ni = 406 ti p (ti) f (ti) 0,60 1,04 1,49 1,93 2,38 2,82 3,27 0,7257 0,8508 0,9319 0,9732 0,9913 0,9976 0,9995 0,2257 0,3508 0,4319 0,4732 0,4913 0,4976 0,4995 Pth nth 0,1661 0,1251 0,0811 0,0413 0,0181 0,0063 0,0019 67,44 50,79 32,93 16,77 7,35 2,56 0,77 0,0005 0,20 ≥ 4,80  nth = 406  Pth = 1 Chapitre – Adaptation P. FRIANT-MICHEL