Alain Faye , Frédéric Roupin CEDRIC - IIE - CNAM Journées Franciliennes de Recherche Opérationnelle (24 Juin 2005) Un algorithme de coupes pour le problème de l’affectation quadratique Alain Faye , Frédéric Roupin CEDRIC - IIE - CNAM

Plan Problèmes quadratiques en 0-1 Affectation quadratique Méthode polyédrique (PL) Programmation semi-définie (SDP) Affectation quadratique Inégalités valides Résultats numériques en PL et SDP

Programme quadratique en 0-1 Localisation, placement de tâches sur des processeurs, affectation quadratique, partition de graphe, recherche de sous-graphes denses de cardinal fixé, ... 3

Méthode polyédrique

Principe + Min f (x) s.c. xX  {0,1}n Linéariser f en posant xi xj = yi,j LX = {(x,y): x X, yi,j = xi xj 1i<jn} P = Conv(LX) Lf = min Direction du min de Lf optimum + Pb: expliciter les facettes de P 5

Programmation semi-définie

Relaxation semi-définie Problème en 0-1 xi2 - xi = 0 i{1,…,n} Relaxation semi-définie Y ≽ x xt (SDP) ≽ Problème en 0-1 yii - xi = 0 i{1,…,n} = min QY + ctx s.c. AiY + dit x = bi iI ait x = bi i{1,…,p} Y = x xt ≽ 7

Affectation quadratique Blanchard , Elloumi , Faye , Wicker. Un algorithme de coupes pour l’affectation quadratique. INFOR 41 n°1 (2003). Roupin. From linear to semidefinite programming: an algorithm to obtain semidefinite relaxations for bivalent quadratic problems. Journal of Combinatorial Optimization. Vol.8(4) (2004). Faye, Roupin. A cutting planes algorithm based upon a semidefinite relaxation for the Quadratic Assignment Problem. Conférence ESA 2005. A paraître dans Lectures notes in computer science.

Affectation quadratique x = n = 4 Polytope affectation quadratique Pn (Padberg, Rijal 96) 9

Enveloppe affine O(n3) contraintes On peut « économiser » O(n2) contraintes (description minimale) Blanchard , Elloumi , Faye , Wicker. Une famille de facettes pour le polytope de l’affectation quadratique. Rapport de recherche 330 CNAM (2002) 10

Famille d’inégalités valides Soit i, h, l 3 indices de lignes distincts et {j}, A, B une partition des indices de colonnes et C  B Exemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, A={2}, C={3,4} 11

Propriétés Inégalité induit une facette de Pn si C est un sous-ensemble propre de B Pb de séparation NP-difficile (Max-Cut se réduit à ce pb en temps polynomial) Résolution du pb de séparation par une heuristique 12

Recherche d’ inégalités violées Soit i, h, l 3 indices de lignes et {j}, C={c} indices de colonnes, trouver A, B,{j}, une partition des indices de colonnes et C  B Exemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, C={3} On a A={2}, on va compléter C ={3}  C={3,4} 13

PL initial PL de Resende, Ramakrishnan, Drezner 95 14

SDP initial ≽ 15

Propriété de SDP initial Spectral Bundle method (Helmberg) SB atteint solution quasi-optimale en assez peu d ’itérations Ex: Nug20. valeur optimale de SDP initial = 2503 (~15h) en 1h30 valeur atteinte = 2492 > borne de Rendl-Sotirov 16

Quelques résultats numériques PL SDP 17

Comparaison des approches au niveau temps de calcul 18

Synthèse des résultats numériques PL initial (Resende, Ramakrishnan, Drezner 95) SDP initial SB method pour SDP CPLEX9.0 pour PL sur Pentium IV 19

L ’ajout des coupes accélère la résolution du SDP meilleure convergence de SB 20

Conclusion Ajout des coupes Travaux futurs améliore les relaxations classiques PL et SDP au niveau de la borne améliore la relaxation classique SDP au niveau du temps de calcul Travaux futurs attaquer problèmes plus gros n>30 améliorer le démarrage à « chaud » en SDP 21

FIN

Linéarisation produit (Adams, Sherali 86) remplacer produit xixj par une variable wi,j (1) w i,j  0 (1i<jn) (2) xi - wi,j  0 (1i<jn) (3) xj - wi,j  0 (1i<jn) (4) 1 - xi - xj + wi,j  0 (1i<jn) multiplication des contraintes par xi (1in) 1j<in Aj wj,i + 1i<jn Ajwi,j  (b- Ai) xi multiplication des contraintes par 1 - xi (1in) 1j<in Aj (xj - wj,i ) + 1i<jn Aj(xj - wi,j )  b (1 - xi) 24

Relaxation semi-définie Problème en 0-1 xi2 - xi = 0 i{1,…,n} Relaxation semi-définie (SDP) min QX + ctx s.c. AiX + dit x = bi iI ait x = bi i{1,…,p} X ≽ x xt Relaxation lagrangienne de (Pb) = dual de (SDP) (Lemaréchal, Oustry 99) 25

Recherche d’ inégalités valides violées Soit i, h, l 3 indices de lignes et {j}, C={c} indices de colonnes, trouver A, B,{j}, une partition des indices de colonnes et C  B Exemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, C={3} On a A={2} maintenant on va compléter C ={3} Finalement C={3,4} 26

≽

L ’ajout des coupes accélère la résolution du SDP meilleure convergence de SB had14 31