FONCTIONS ET USAGES DU CALCUL MENTAL CALCUL MENTAL EN C3/C2 FONCTIONS ET USAGES DU CALCUL MENTAL

Avant de commencer,quelques rappels sur la séance précédente Les questions que peut comporter une analyse a priori : Objectif Connaissances nécessaires ( pré requis nécessaires pour lancer l’activité) Conformité au BO (légitimité) Nature de la situation ( individu ou groupe, phase d’intervention du professeur) Nature de l’activité Introduction d’une notion ( activité de découverte) Structuration d’une notion ( exos d’application, travailler sur plusieurs représentations ou registres d’un même objet ) Réinvestissement ( faire travailler ensemble des connaissances anciennes et nouvelles) évaluation Tâches possibles des élèves Mode de validation Alternatives

Calcul mental oui,mais lequel? Présentation de 7 situations différentes. 1) loto multiplicatif 2) l’ardoise et les cartes à points 3) la suite numérique 4) l’ardoise et la boîte 5) ardoise et multiplication 6) ardoise et calcul approché 7) ardoise et écriture des nombres

Le loto multiplicatif Présentation de la situation : On distribue aux élèves des jetons(haricots, petit cube) et des cartes. L’enseignant montre des cartons sur lesquels sont écrits des nombres ou des multiplications. On joue au loto. Tâche pour les PE2 : Faire l’activité Faire l’analyse a priori

Les cartes en question

Ce qu’on peut retenir du loto Le calcul a été mémorisé, il est automatisé. La tâche de l’élève consiste à chercher dans sa mémoire le résultat. Sous cet angle, la tâche est assez voisine que celle qu’il effectue lorsqu’il répond à la question « Quel est ton prénom? » . On utilise également la décomposition en un produit de facteurs. Cela justifie que l’on se pose la question : « S’agit-il encore de calcul mental? » Remarquons que pour certains élèves il peut encore s’agir de calcul réfléchi (en effet, si pour effectuer 3 x 5 il réalise mentalement la tâche 5+5+5 ou 2x5+5)

Ardoise et cartes à points Présentation de la situation On pioche une carte. L’élève écrit sur l’ardoise le nombre que représente ces points Tâche pour les PE2: Faire l’activité Faire l’analyse a priori Répondre à la question : comment avez fait pour trouver la réponse? .

Analyse a posteriori: Ardoise et cartes à points Une variable pour la présentation des cartes : verticalement ou horizontalement 1ère carte : verticalement on « voit des 3 » et il y a 4 colonnes de 3 (4 x 3 = 12 et 12 + 2 =’) variable : rajouter 1  pour faire apparaître une autre colonne de 3 (on pourra alors travailler sur la table de multiplication de 3 : 3 x 5 = 3+3+3+3+3 (5fois). Proposition aux PE2 : réaliser des cartes pour faire travailler la table de 3 2ème carte : verticalement on voit 2 colonnes de 5 auxquels on rajoute 4 variable : rajouter 1  au centre de la configuration pour faire apparaître une autre colonne de 5 (on pourra alors travailler sur la table de multiplication de 5 : 5 x 3 = 5+5+5 (3fois). proposition aux PE2 : réaliser des cartes pour faire travailler la table de 5 3ème carte : 2 constellations de 5 et une incomplète 5 x 3 – 1 ou 5 + 5 +4 (4 vu par subitizing) variable : rajouter 1  pour faire apparaître une autre constellation de 5 (on pourra alors travailler sur la table de multiplication de 5 : 5 x 3 = 5+5+5 (3fois). proposition aux PE2 : réaliser des cartes pour faire travailler la table de 3 4ème carte : 2 constellations de 5 mais un  est utilisé dans les deux constallations 5 +5-1 (GS ; reconnaissance par subitizing de cette constellation ; si jeux de cartes ou dominos utilisés en classe) 5ème carte : constellation de 5 (GS ; reconnaissance par subitizing de cette constellation ; si jeux de cartes ou dominos utilisés en classe) ou bien ( 2 + 2 +1 ou 3 + 1 + 1 _3 en diagonale) 6ème carte : verticalement 4 + 4 + 3 + 1 + 1 ou bien carré du sudoku (3 sur 3) qui est rattaché à du repérage spatial donc 9 (ou 3 x 3) auquel on rajoute 4 (1  au 4 commet du carré) 7ème carte : table de x de 4 : 4 x 4 ou table de x de 2 ( 2 + 2 + 2 + 2 ou  2 + 2 + 2 + 2 ) ou (2 fois cette configuration) 4 + 4 (2 fois cette configuration) 4 + 4 . 8ème carte : table de x de 3 : 3 x 3 On peut espacer un peu plus les groupements. 9ème carte : verticalement 3 + 3 + 1 + 1 ou 4 + 4 10ème carte : 4 + 5 (addition ; perception des quantités globalement puis soit surcomptage soit table d’addition) 11ème carte :  4 3 21 : 4+3+2+1 =10 12ème carte : 4 au centre + 4 (aux 4 coins) OU 3  3 1 1 (ou 2 globalement) 13ème carte : 3 x 4 = 3 + 3 + 3 + 3 ou bien (3+3)gris clair + (3+3) noir = 12 14ème carte : idem 11ème carte 15ème carte : 5 x 2

En général à propos de cette situation. C’est un calcul mental réfléchi, qui travaille sur les tables d’addition et permet d’aborder les résultats des tables de multiplication. Pour aboutir, il fait appel implicitement à des propriétés de l’ensemble des nombres entiers naturels. Par exemple : 8 x 99 = 8x(100 -1) = 8x100 – 8x1 Bien évidemment ces propriétés ne sont pas explicitement formulées. Remarque : cette activité peut être une bonne activité d’introduction à la factorisation en classe 6ème, où cette fois la formulation serait explicite.

La suite numérique Présentation de la situation: Tous les élèves sont debout. On compte de 0,1 en 0,1 à partir de 8,5. L’élève qui produit une mauvaise réponse s’assied. Celui qui reste debout gagne Tâche pour les PE2: Répondre à la question est-ce du calcul automatisé, réfléchi ou autre chose? Proposer des alternatives pour que cela devienne du calcul réfléchi . .

à propos d’une suite numérique Il intervient La connaissance de la numération décimale La connaissance de la comptine numérique Ce peut être selon les connaissances de l’élève Du calcul réfléchi Du calcul automatisé

à propos d’une suite numérique Une représentation mentale des nombres est indispensable Des alternatives à la situation proposée: Compter de 0,2 en 0,2 à partir de 8,7 ou 8,6 (est-ce la même chose ?) De façon croissante ou décroissante Commencer avec un autre nombre Donner une cible (15,4 en commençant à 8,6 ou 8,7, est-ce la même chose ?).

La boîte et l’ardoise Présentation de la situation: Le professeur dit : « Sur l’ardoise, écrire le résultat du problème suivant : je mets 15 jetons bleus dans la boîte et j’y remets 28 jetons rouges. Combien ai-je mis de jetons rouges de plus que de jetons bleus? » Tâche pour les PE2: Faire l’activité Faire l’analyse a priori de l’activité

Analyse a posteriori Le problème de literacy ( comprehensive literacy rapport OCDE, test PISA) est ici prédominant. En remplaçant le groupe de mot « jetons rouges» par le mot « pommes » et le groupe « jetons bleus » par le mot « poires », on voit bien que la tâche est différente (Ou encore calculer 28 -15). La tâche mathématique qui est de faire mentalement la soustraction 28 – 15 n’est pas dans cette situation l’unique tâche que réalise l’élève, puisqu’il doit comprendre que le problème se ramène à soustraire 15 à 28 puis peut-être faire 28-15= 30 -15 - 2 ou autre chose. Conformité au BO version 2007 « trouver mentalement le résultat le résultat numérique d’un problème à données simples »

Ardoise et multiplication Présentation de la situation: Le professeur dit: Sans poser l’opération calculer 451 x 12 Tâche pour les PE2: Faire l’activité Ecrire les tâches possibles des élèves.

à propos de cette situation On aimerait que ce soit un calcul réfléchi Les tâches possibles des élèves: Décomposition :451x12 = 451x10 + 2x450 +2 ou autre chose. Mémorisation temporaire des résultats intermédiaires des additions (surcharge cognitive) Variable didactique possible: le professeur peut autoriser la prise de note des résultats intermédiaires (sans que cela devienne du calcul posé).

Ardoise et ordre de grandeur Présentation de la situation: Le professeur dit: « sur l’ardoise, écris la centaine la plus proche de 2547 puis de 992 » Tâche pour les PE2 Faire l’activité Faire l’analyse a priori

A propos de cette situation C’est une bonne approche de la notion d’ordre grandeur La formulation de la question est très discutable? (Donner une valeur approchée de 2547 à la centaine la plus proche eut été plus correct) Tâches possibles des élèves : dénombrer les centaines et comparer les centaines

Ecriture des nombres Présentation de la situation: Le professeur dit: « écrire les nombres suivants : 4000; 80013;501204 » Tâche pour les PE2 : Faire l’analyse a priori

A propos de cette situation Tâches possibles de l’élève: Il peut écrire le nombre en toute lettre (sauf si le contrat didactique l’évite.) Il travaille sur l’association entre le son du nombre et sa représentation avec des chiffres ( il peut être représenté par des lettres). Ce lien ne peut se faire que si ces nombres ont du sens pour l’élève . En conséquence, il réinvestit son travail sur la numération.*

QUESTION: A quoi sert le calcul mental?

FONCTIONS DU CALCUL MENTAL Fonction pédagogique: développement de l’attention et de la mémoire (on peut faire une certaine analogie avec le PC: disque dur - mémoire vive). IL permet l’installation de rituels simples favorisant les apprentissages ( PELTIER, en début de journée plutôt une séance de calcul mental qu’un long rappel des sanctions aux incivilités surtout dans les classes « difficiles ») fonction sociale : le calcul mental est d’abord un calcul d’usage (utile dans la vie courante), il permet la production de résultats immédiatement disponibles. fonction didactique: le calcul mental joue un rôle important pour la compréhension et la maîtrise des notions enseignées en primaire comme dans le secondaire. Il s’appuie, implicitement, sur les propriétés des opérations dans l’ensemble des entiers naturels, donc il facilite l’introduction de notions relatives aux propriétés de lN. «Il allège la tâche de l’élève » dans la résolution de problèmes plus complexes

Question: Pourquoi le calcul mental est-il si fondamental ?

USAGE DU CALCUL MENTAL utile dans la vie ordinaire soit pour un résultat exact soit pour un résultat approché. INDISPENSABLE pour le calcul posé. Moyen privilégié de validation. Calcul réfléchi : lien entre raisonnement et calcul (choix et mise en œuvre d'une procédure adaptée), utilisation de connaissances sur les nombres et les opérations sur les nombres. Indispensable à l'acquisition de nouvelles connaissances (allégement de la charge de travail) Aide apportée par la manipulation mentale à la conceptualisation Aide à la résolution de problèmes : se ramener à un cas qui peut être traité mentalement.

QUESTION : Quand faire du calcul mental ?

Réponses possibles Le calcul mental doit être intégré aux autres activités de la classe (activités fonctionnelles) des moments spécifiques tous les jours : Séances plus longues (voire une séance de mathématiques) : découverte de procédures Séances brèves : entretien et contrôle de la mémorisation de résultats. Ces séances peuvent précédées la séance de mathématiques ou bien être un des rituels de l’arrivée en classe (matin et/ou après midi) .

Construction d’une séance longue de calcul mental Tâches pour les PE2: Construire une séquence de calcul mental dont l’objectif est de faire travailler les tables de d’addition (il s’agit de construire plusieurs séances) On fera la fiche de préparation d’une séance