La résolution de problèmes au cycle 3 Châtellerault le 16 décembre 2009

Les finalités de la formation en mathématiques Introduction Les finalités de la formation en mathématiques

Maîtriser les compétences du socle commun pour: Ecole: Offrir une intégration réussie dans la société Faire acquérir connaissances et compétences fondamentales nécessaires pour la scolarité au collège Collège: Accomplir avec succès sa scolarité, Poursuivre sa formation, Construire son avenir personnel et professionnel, Réussir sa vie en société.

Le socle et le programme Permettre aux élèves d’acquérir les mathématiques nécessaires à une poursuite d’études (autrement dit, le programme), objectif qui doit rester l’ambition pour tous. Donner à tous la culture mathématique nécessaire au citoyen (autrement dit, permettre aux élèves d’acquérir les connaissances et compétences du socle commun), objectif que l’on peut qualifier de nécessaire pour tous.

Les priorités en termes de formation Incontestablement, la maîtrise du calcul réfléchi inséparable du sens des nombres et des opérations. L’acquisition d’automatismes qui favorisent l’autonomie et l’initiative des élèves dans la résolution de problèmes et les mettent en confiance. La mise en place permanente de l’activité de raisonnement qui est l’essence même des mathématiques.

I les points clés de l’enseignement des mathématiques au collège

1 La résolution de problème Capacités : lire, interpréter et organiser l’information ; s’engager dans une démarche de recherche et d’investigation ; mettre en relation les connaissances acquises, les techniques et les outils adéquats pour produire une preuve ; communiquer par des moyens variés et adaptés – aptes à convaincre – la solution du problème Attestation de maîtrise du socle commun 2 grands types de raisonnement : Induction et présomption déduction

3 Le raisonnement Raisonner en mathématiques, ce n’est pas seulement pratiquer le raisonnement déductif Un raisonnement déductif peut être considéré comme complet même s’il n’a pas une mise en forme canonique La mise en forme écrite d’une preuve ne fait pas partie des exigibles du socle Le travail sur l’oral à l’occasion de « débats mathématiques » constitue un pas essentiel dans l’apprentissage de l’argumentation

4 Ouvrir les problèmes Favoriser l’engagement des élèves dans la résolution et permettre la mise en activité de chacun Laisser vivre différentes stratégies de résolution Développer la prise d’initiative Ne pas s’abstenir de confronter les élèves à des tâches complexes

5 La démarche d’investigation chaque fois qu’une question est posée et que la réponse ne peut être donnée immédiatement à partir de connaissances disponibles Déroulement: Réflexion sur le problème posé  appropriation du problème, vocabulaire, contexte confrontation avec les savoirs disponibles (il est donc nécessaire de « connaître son cours »), recherche éventuelle d’informations sur le thème. Élaboration d’une conjecture recherche, avec mise en place éventuelle d’une première expérimentation, émission de la conjecture, confirmation, avec mise en place éventuelle d’une seconde expérimentation. Mise en place d’une preuve argumentée.

II Et dans les écoles ? 1 Résolvons un problème

PROBLÈME Une table circulaire de 1,20 m de diamètre s’ouvre le long d’un diamètre. Entre les deux demi-cercles ainsi écartés on intercale deux allonges rectangulaires ayant chacune 1,20 m de longueur et 0,50 m de largeur. Faire un croquis à l’échelle 1/20 de la table avec les deux allonges. Quel est le plus grand nombre de personnes qui peuvent prendre place autour de cette table d’abord sans allonge, puis avec les deux allonges, sachant qu’il faut 0,70 m du pourtour par personne ? (Prendre π = 3,14) On veut que l’aire de la table avec les allonges soit le double de l’aire de la table sans allonges. Dans ce cas quelle doit être la largeur de chaque allonge ? 12

IL Y A EXACTEMENT UN DEMI-SIÈCLE… Entrée en sixième- Hautes-Alpes 18/6/59 CALCUL Opérations Effectuer 1425 m + 74 dam + 7,5 hm ; 6h29 mn – 2h45mn ; 3891 x 60,75 ; 54 646,25 : 6,75 Problème Une table circulaire de 1,20 m de diamètre s’ouvre le long d’un diamètre. Entre les deux demi-cercles ainsi écartés on intercale deux allonges rectangulaires ayant chacune 1,20 m de longueur et 0,50 m de largeur. Faire un croquis à l’échelle 1/20 de la table avec les deux allonges. Quel est le plus grand nombre de personnes qui peuvent prendre place autour de cette table d’abord sans allonge, puis avec les deux allonges, sachant qu’il faut 0,70 m du pourtour par personne ? (Prendre π = 3,14) On veut que l’aire de la table avec les allonges soit le double de l’aire de la table sans allonges. Dans ce cas quelle doit être la largeur de chaque allonge ? 13

UN ÉLÈVE DE CM2 EN 2009 RÉUSSIRAIT-IL ? Connaissances nécessaires - Connaître et utiliser les mesures de durée (CM1) - Multiplication d’un décimal par un entier (CM1) - Division d’un nombre décimal par un nombre entier (CM2) - Division d’un nombre décimal par un nombre décimal - Connaître les unités du système métrique pour les longueurs (CM1) -Formule du périmètre du rectangle (CM1) - Formule de la longueur d’un cercle (CM2) - Aire d’un rectangle (CM2) Aire du disque - Résoudre des problèmes de proportionnalité ( échelles) (CM2) - Tracer une figure à partir de consignes (CM1) 14

2 Des problèmes rien que pour chercher ?

LES PROBLÈMES POUR CHERCHER ? Dans ma tirelire, j’ai 32 pièces et billets. Je n’ai que des pièces de 2 € et des billets de 5 €. Avec ces 32 pièces et billets, j’ai 97 €. Combien y-a-t-il de pièces de 2 € et de billets de 5 € dans ma tirelire ? Groupe ERMEL (CM2) in Documents d’accompagnement des programmes (2002) – Les problèmes pour chercher Quelles connaissances sont nécessaires ? Visées ? Structure : système de deux équations du premier degré à deux inconnues a+ b = 32 ; 2a + 5b = 97 16 16

QUELLE INTENTION DIDACTIQUE ? Pierre et Jean ont à se partager 45 billes. Pierre doit avoir 9 billes de plus que Jean. Combien chaque enfant recevra-t-il de billes ? p + j = 45 et p = j+ 9  2j = 36  j = 18 et p = 27 17

LE CALCUL QUOTIDIEN, Nathan Cours moyen et fin d’études, classes de transition 1959 18

III Ce que disent les programmes 2008

QUATRE AXES DE RÉFLEXION ONT CONDUIT AUX PROGRAMMES 2008 Les problèmes : il faut apprendre à les résoudre. Catégories, classes, structures… Le calcul : réhabiliter les diverses formes de calcul : mental, posé, instrumenté. Il y a une intelligence dans le calcul La mémoire : outil indispensable pour « faire des mathématiques » ; mémoire des faits mathématiques, mémoire des méthodes. La notion de « vie courante » 20

2 Automatismes / Résolution de problèmes Des automatismes à l’école ? Des techniques et des raisonnements élémentaires disponibles immédiatement pour des tâches simples indispensables pour l’élaboration de raisonnements complexes qui s’acquièrent dans la durée en « automatisant » certaines procédures ou raisonnements courants, utiles, ayant valeur de méthode L’accès au sens et l’acquisition des automatismes ne sont pas antinomiques Des automatismes au collège ? Des réflexes intellectuels libérant l’esprit des soucis de mise en œuvre technique En mémorisant et en automatisant certaines procédures et raisonnements fréquemment rencontrés et qui ont valeur de méthode Ils doivent être entretenus et régulièrement sollicités dans des situations où ils font sens

3 Mise en fonctionnement des notions pour des acquisitions sûres A l’école: (progression cycle 3) La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. Au collège: Une place centrale pour la résolution de problèmes Mettre tout élève en activité à tout moment et en particulier: En donnant toute sa place à la résolution de problème (ouvrir les questions…), En privilégiant le raisonnement et en dissociant la recherche de la rédaction, En ne s’abstenant pas de confronter tous les élèves à des tâches complexes

4 Progressivité des apprentissages et démarche spiralaire (suite) Approche, préparation La division par 3 en début de CE1 se traduit par une recherche et la mise en œuvre d’une procédure personnelle. Construction, structuration Elaboration d’une procédure experte 21:3 = 7 Consolidation, utilisation Mobilisation dans des contextes variés

2 A propos des problèmes

FAIRE DES MATHÉMATIQUES EN CLASSE, POUR EN APPRENDRE? La question qu'il faut poser à propos d'un problème pour l'enseignement est donc double : 1) Quels sont les problèmes voisins de ce problème ? Quel est son genre ? 2) Qu'est-ce que sa résolution permet d'apprendre ? Quel est son avenir ? Alain Mercier, PNP, 13 nov 2007 25 25

Les 5 éléments constitutifs d’un problème L’énoncé Les questions La représentation Le traitement technique La communication de la réponse. Ex 1 Ex 2

3 Le calcul

INTELLIGENCE DU CALCUL « Dénué d’intelligence, le calcul est aussi souvent perçu comme quelque chose qui peut et doit s’apprendre mécaniquement : mémorisation, répétition, devenant les mots emblématiques de cet apprentissage. (…) Faire aimer les mathématiques, c’est aussi faire aimer ce calcul sans lequel elles n’existeraient pas, sans lequel elles seraient impuissantes. Pour cela un équilibre doit être trouvé dans l’enseignement et l’apprentissage du calcul entre automatisation et raison, ses deux facettes indissociables. » Michèle Artigue, 2005 28 28

AUTOMATISME ET MÉMOIRE Un automatisme est, selon le Petit Larousse, un « acte, un geste accompli sans réfléchir, par habitude ou après apprentissage ». Notre comportement est marqué par le recours constant aux automatismes : marcher, nager, la manière de se saluer, … mais aussi utiliser de nombreux actes cognitifs : chercher dans un dictionnaire, faire des calculs, écrire…   L’acquisition d’un automatisme a toujours un coût pour l’individu, mais celui est rentabilisé dès lors que son usage est fréquent, ce qui d’ailleurs ne fait que renforcer sa qualité. Savoir tracer deux droites parallèles exige un apprentissage et une compréhension de la méthode. Tracer une première droite, prendre l’équerre, tracer une perpendiculaire à cette droite, puis tracer une perpendiculaire à la deuxième droite tracée. 29

« Ce qui fait la supériorité de certains élèves sur d’autres, c’est la possibilité qu’ils ont d’économiser leur mémoire de travail, parce qu’ils disposent de nombreux traitements automatisés, immédiatement disponibles en mémoire à long terme ». Delannoy Cécile, Une mémoire pour chercher, Hachette éducation/ CNDP, 2007 Il est facile de constater que la puissance de calcul mental dépend directement de la disponibilité de répertoires en mémoire et d’automatismes.   30

OBJECTIFS DE LA FORMATION MATHÉMATIQUE acquérir des connaissances acquérir des outils acquérir des automatismes apprendre à résoudre des problèmes pour « agir dans sa vie quotidienne et se préparer à la poursuite d’études au collège » Exemples de connaissance : le rectangle ; d’outil : les techniques opératoire ; d’automatisme : voir ci après. 31 31

CYCLES 2 ET 3 La pratique des mathématiques développe : l’imagination la rigueur et la précision le goût de la recherche et du raisonnement les capacités d’abstraction (cycle 3). On est loin d’une vision purement « mécaniste » de l’activité mathématique 32 32

IV CONCLUSION

Les mathématiques sont une discipline qui appelle quasi-simultanément une réflexion profonde sur une situation et une recherche en mémoire de solutions types. Résoudre un problème, c’est bien souvent être capable d’identifier une forme et d’adapter la forme à la situation donnée. A l’école primaire, l’élève doit donc mettre en mémoire des classes de problèmes : additif, soustractif, multiplicatif, partages, proportionnalité, mais aussi calcul de périmètres, d’aires, etc. Les mathématiques nécessitent donc des mises en mémoire nombreuses, des consolidations de la mémoire par des utilisations variées et répétées. Elles appellent simultanément le développement de compétences de recherche qui ne se limitent pas à des traitements de données et de lecture d’énoncés. C’est cet équilibre entre ces deux pôles qui fait à la fois la difficulté et la richesse intellectuelle des mathématiques. 34

En termes pédagogiques, trois points également: En termes didactiques, trois points méritent votre attention particulière les problèmes les automatismes les progressions. En termes pédagogiques, trois points également: des démarches construites et rigoureuses qui font place à l’activité de l’élève La stimulation de l’intérêt de l’élève L’attention aux erreurs et aux progrès 35 35