Les phénomènes d’induction électromagnétiques I) Mises en évidence expérimentales 1) Circuit fixe dans un champ magnétique variable

Aimant mobile devant une spire fixe VA – VB  0 A B pôle sud pôle nord mouvement de va et vient

Les phénomènes d’induction électromagnétiques I) Mises en évidence expérimentales 1) Circuit fixe dans un champ magnétique variable 2) Circuit mobile dans un champ magnétique permanent

Aimant fixe devant une spire mobile VA – VB  0 A B pôle sud pôle nord mouvement de va et vient

Rail de Faraday B A C R

Les phénomènes d’induction électromagnétiques I) Mises en évidence expérimentales 1) Circuit fixe dans un champ magnétique variable 2) Circuit mobile dans un champ magnétique permanent 3) Récapitulatif

Récapitulatif Le phénomène d’induction électromagnétique se manifeste dans R galiléen : Dans un circuit ou un conducteur fixe placé dans un champ magnétique variable ;

Récapitulatif Le phénomène d’induction électromagnétique se manifeste dans R galiléen : Dans un circuit ou un conducteur mobile ou déformable placé dans un champ magnétique permanent ;

Récapitulatif Le phénomène d’induction électromagnétique se manifeste dans R galiléen : Dans un circuit ou un conducteur mobile ou déformable placé dans un champ variable.

Récapitulatif Ce phénomène se traduit : Si le circuit est ouvert par l’apparition d’une différence de potentiel induite à ses bornes ; Si le circuit est fermé par l’apparition d’une force électromotrice induite dans le circuit et des courants induits qui traversent le circuit.

Les phénomènes d’induction électromagnétiques II) Les lois de l’induction 1) Loi de Faraday

  dS M B(M,t) q P d + Em(P,t)

e1 = – e2  B  n1 + () dl  B  n2 + () dl f.e.m. induite e1 f.e.m. induite e2

Les phénomènes d’induction électromagnétiques II) Les lois de l’induction 1) Loi de Faraday 2) Loi de Lenz

Loi de Lenz Énoncé : La f.e.m. e induite tend par ses conséquences à s’opposer à la cause qui lui a donné naissance. Les effets magnétiques, électrocinétiques et mécaniques de l’induction sont orientés de façon à s’opposer à leurs causes.

Rail de Faraday A C Fop B 

Fop : Force exercée par l’opérateur  : Variation de la surface S  : Variation de flux magnétique  : Phénomène d’induction. Loi de Faraday e : f.e.m. induite  : Circuit fermé i : courant induit  : Présence d’un champ magnétique FL : Force de Laplace qui agit suivant la loi de Lenz

Rail de Faraday A C S  + B  y  x z FL Fop i Schéma mécanique

Rail de Faraday A C S  + B  y  x z i eAC Schéma électrique

Les phénomènes d’induction électromagnétiques III) Circuits fixes dans un champ variable : Cas de Neumann 1) Le champ de Neumann a) Le circuit filiforme

  dS M B(M,t) q P d + Em(P,t)

IAC j +   A C VA – VC

A C Schéma mécanique : Schéma électrique sans induction : A C R Schéma électrique avec induction : A C R eAC

 d Schéma mécanique :  d R Schéma électrique sans induction : e  d R i Schéma électrique avec induction :

Les phénomènes d’induction électromagnétiques III) Circuits fixes dans un champ variable : Cas de Neumann 1) Le champ de Neumann a) Le circuit filiforme b) Généralisation

Les phénomènes d’induction électromagnétiques III) Circuits fixes dans un champ variable : Cas de Neumann 1) Le champ de Neumann 2) Applications a) L’alternateur

L’alternateur ux uy S B t + 0 spire

Les phénomènes d’induction électromagnétiques III) Circuits fixes dans un champ variable : Cas de Neumann 1) Le champ de Neumann a) L’alternateur 2) Applications b) Le transformateur

Le transformateur N1 r1 N2 r2 Circuit primaire u1 i1 Circuit secondaire u2 i2 e1 e2 + +

Les phénomènes d’induction électromagnétiques IV) Circuit mobile dans un champ permanent : Cas de Lorentz 1) Le champ électromoteur a) Le circuit filiforme

Charge ponctuelle O’ x’ y’ z’ (R’) O x y z (R) M q

En tout point M de l’espace, à tout instant t : E’ = E + ve x B B’ = B

Circuit filiforme O’ x’ y’ z’ (R’) O x y z (R)  d q

A C Schéma mécanique : Schéma électrique sans induction : A C R Schéma électrique avec induction : A C R eAC

Les phénomènes d’induction électromagnétiques IV) Circuit mobile dans un champ permanent : Cas de Lorenz 1) Le champ électromoteur a) Le circuit filiforme b) Généralisation

Les phénomènes d’induction électromagnétiques IV) Circuit mobile dans un champ permanent : Cas de Lorentz 1) Le champ électromoteur 2) Exemples a) Le rail de Faraday

Rail de Faraday C A S  + B  y  x z FL Fop i Schéma mécanique

Rail de Faraday B  i y  x z S  + C A eAC R Schéma électrique

Rappel sur les conventions des puissances mécaniques Force subie par X  Puissance reçue par X Force exercée par Y  Puissance fournie par Y

Bilan de puissance mécanique

Pop = Fop.v : La puissance mécanique instantanée algébrique reçue par le rail de la part de l’opérateur. PLaplace = FL.v : La puissance mécanique instantanée algébrique reçue par le rail de la part du phénomène d’induction par l’intermédiaire de la force de Laplace. PLaplace = Pind/méca

Rappel sur les conventions des puissances électriques Convention générateur P = e.i est la puissance instantanée algébriquement fournie par le générateur de f.e.m. e au reste du circuit.

Rappel sur les conventions des puissances électriques Convention récepteur P’ = u.i est la puissance instantanée algébriquement reçue par le dipôle de la part du reste du circuit.

[eL = r.i]i eL.i = r.i2 Pélec = r.i2 : La puissance électrique instantanée reçue par le rail de la part du reste du circuit. Pind/élec = eL.i : La puissance électrique instantanée algébrique fournie par le générateur de f.e.m. eL, i.e. la puissance algébrique électrique reçue par le rail de la part du phénomène d’induction.

[eL = r.i]i eL.i = r.i2 PJ = – r.i2 : La puissance électrique instantanée reçue par le rail de la part de l’effet Joule. Elle est négative.

Les phénomènes d’induction électromagnétiques IV) Circuit mobile dans un champ permanent : Cas de Lorentz 1) Le champ électromoteur a) Le rail de Faraday 2) Exemples b) Le ralentisseur

Les phénomènes d’induction électromagnétiques V) Induction dans un ensemble de deux circuits filiformes 1) Les coefficients d’induction

Les coefficients d’induction 2 d2 i2 + 1 d1 i1 +

Les coefficients d’induction 1 : le flux de l’ensemble des deux champs magnétiques B1 et B2 à travers le circuit (1). 2 : le flux de l’ensemble des deux champs magnétiques B1 et B2 à travers le circuit (2).

Les coefficients d’induction 1 = 11 + 21 11 = L1.i1 représente le flux propre de B1 à travers (1). 21 = M21.i2 représente le flux de B2 à travers (1), le flux magnétique envoyé par le circuit (2) à travers le circuit (1).

Les coefficients d’induction 2 = 22 + 12 22 = L2.i2 représente le flux propre de B2 à travers (2). 12 = M12.i1 représente le flux de B1 à travers (2), le flux magnétique envoyé par le circuit (1) à travers le circuit (2).

Les coefficients d’induction L1 est l’inductance propre du circuit (1) ou le coefficient d’auto-induction du circuit (1). L2 est l’inductance propre du circuit (2) ou le coefficient d’auto-induction du circuit (2). M12 = M21 = M est le coefficient d’inductance mutuelle du système .

L’inductance propre  i négatif i positif L est toujours positif

Le coefficient d’induction mutuelle M est positif M est négatif

Les phénomènes d’induction électromagnétiques V) Induction dans un ensemble de deux circuits filiformes 1) Les coefficients d’induction 2) Application aux circuits électriques

Application aux circuits électriques + e1 R2 L2 E2 i2 + e2 M

Les phénomènes d’induction électromagnétiques V) Induction dans un ensemble de deux circuits filiformes 3) Aspect énergétique a) Bilan énergétique

Rappel sur les conventions des travaux électriques Convention générateur W = e.i.dt est le travail instantané algébriquement fourni par le générateur de f.e.m. e au reste du circuit pendant dt.

Rappel sur les conventions des travaux électriques Convention récepteur W’ = u.i.dt est le travail instantané algébriquement reçu par le dipôle de la part du reste du circuit pendant dt.

Bilan d’énergie

Bilan d’énergie

WG = WR + dEmag WG = E1.i1.dt + E2.i2.dt représente l’énergie élémentaire algébriquement fournie par les générateurs au reste du circuit pendant dt. représente l’énergie électrique élémentaire reçue par les résistances de la part du reste du circuit pendant dt qui sera ultérieurement dissipée par effet Joule.

représente l’énergie magnétique emmagasinée dans les deux bobines

représente l’énergie magnétique propre du circuit (1) parcouru par l’intensité i1. M.i1.i2 représente l’énergie magnétique mutuelle des deux circuits.

Les phénomènes d’induction électromagnétiques V) Induction dans un ensemble de deux circuits filiformes 3) Aspect énergétique a) Bilan énergétique b) Vérification de la localisation de l’énergie

uz i a h B  S  i uz 

Les phénomènes d’induction électromagnétiques VI) Exemples 1) L’effet de peau

Les phénomènes d’induction électromagnétiques VI) Exemples 1) L’effet de peau a) Position du problème

L’équation locale de Maxwell – Gauss : L’équation locale du flux magnétique : divB = 0 L’équation locale de Maxwell – Faraday : L’équation locale de Maxwell – Ampère :

||jD|| << ||j|| et  = 0. Dans un conducteur ohmique fixe en équilibre dans un référentiel galiléen, en M à la date t : ||jD|| << ||j|| et  = 0. Un conducteur ohmique est localement neutre à tout instant.

Les phénomènes d’induction électromagnétiques VI) Exemples 1) L’effet de peau a) Position du problème b) Équation de propagation

Équation de propagation rot(rotE) = – E + grad(divE) = – E

Les phénomènes d’induction électromagnétiques VI) Exemples 1) L’effet de peau a) Position du problème b) Équation de propagation c) Solution

Effet de peau E(0-,t) = E0.cost.ux vide conducteur z

pour t = et T x =

Les phénomènes d’induction électromagnétiques VI) Exemples 1) L’effet de peau a) Position du problème b) Équation de propagation c) Solution d) Interprétation

Tableau récapitulatif Fréquences (Hz) 50 104 106 108 1010  (m) 104 = 1 cm 650 = 0,65 mm 65 6,5 0,65

Les phénomènes d’induction électromagnétiques VI) Exemples 1) L’effet de peau e) Modèle du conducteur parfait

Conducteur parfait :  << distances caractéristiques du matériau Modèle du conducteur parfait Définition physique : On appelle modèle du conducteur parfait la limite obtenue lorsque l’épaisseur de peau est négligeable devant toutes les grandeurs macroscopiques caractéristiques du problème : Conducteur parfait :  << distances caractéristiques du matériau

Modèle du conducteur parfait Définition mathématique : Un conducteur parfait est un conducteur idéal de conductivité électrique infinie. L’épaisseur de peau est donc nulle. C’est un modèle limite.

Modèle du conducteur parfait Dans un conducteur parfait : E = 0, j = 0 et B est stationnaire. A la surface d’un conducteur parfait : js  0.

Les phénomènes d’induction électromagnétiques VI) Exemples 2) Le haut – parleur électrodynamique a) Principe de fonctionnement

Le haut – parleur électrodynamique Un haut – parleur est un transducteur qui produit un signal sonore image d’un signal électrique.

B

Les phénomènes d’induction électromagnétiques VI) Exemples 2) Le haut-parleur électrodynamique a) Principe de fonctionnement b) Mise en équation

Système : l’équipage mobile en A.R.Q.S. Référentiel : Terrestre supposé galiléen Forces : le poids P, la réaction R, la force de Laplace FL, la force de rappel Fr = – k(OM – O0M0), la force de frottement fluide f = – .v,  > 0.

M O M0 O0 ressort à vide k, 0 ressort à un instant quelconque k, 

Equation mécanique RFD : m.a = P + R + FL + Fr + f

Schéma électrique équivalent E(t) Équipage mobile i  L R eL e' E(t) i 

Equation électrique E(t) + e’ + eL – R.i = 0

Equation électromécanique

Equations couplées

Les phénomènes d’induction électromagnétiques VI) Exemples 2) Le haut-parleur électrodynamique a) Principe de fonctionnement b) Mise en équation c) Bilan énergétique

Bilan d’énergie électrique WG = WR + dEmag – Wind/élec

WG = WR + dEmag – Wind/élec WG = E.i.dt représente l’énergie élémentaire algébriquement fournie par le générateur au reste du circuit pendant dt. représente l’énergie électrique élémentaire reçue par la résistance de la part du reste du circuit pendant dt.

WG = – WJ + dEmag – Wind/élec représente l’énergie « thermo – électrique » élémentaire reçue par la résistance de la part de l’effet Joule pendant dt. représente la variation élémentaire d’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine pendant dt.

WG = – WJ + dEmag – Wind/élec Wind/élec = eL.i.dt représente l’énergie électrique élémentaire algébrique fournie par le générateur de f.e.m. eL au reste du circuit pendant dt ; représente l’énergie électrique élémentaire algébrique reçue par le reste du circuit de la part du phénomène d’induction pendant dt.

Bilan d’énergie mécanique WLaplace = Wind/méca = d(Ec + Ep) + Wacoustique

Wind/méca = d(Ec + Ep) + Wacoustique Wind/méca = FL.v.dt représente l’énergie mécanique élémentaire algébrique reçue par l’équipage mobile de la part du phénomène d’induction par l’intermédiaire de la force de Laplace pendant dt.

Wind/méca = d(Ec + Ep) + Wacoustique représente la variation élémentaire d’énergie mécanique de l’équipage mobile pendant dt.

Wind/méca = d(Ec + Ep) + Wacoustique Wacoustique = .v2.dt = – f.v.dt représente l’énergie élémentaire fournie par la membrane à l’air ambiant pendant dt.

Wind/élec = eL.i.dt = v.B..i.dt = – FL.v.dt = – Wind/méca Wind/élec + Wind/méca = 0

WG = – WJ + d(Emag + Ec + Ep) + Wacoustique Entre les dates t et t + dt, l’énergie fournie par le générateur est intégralement convertie en énergie thermique par l’intermédiaire de la résistance, en énergie magnétique propre, en énergie mécanique de l’équipage mobile et en énergie acoustique par l’intermédiaire du phénomène d’induction.

Les phénomènes d’induction électromagnétiques VI) Exemples 2) Le haut-parleur électrodynamique a) Principe de fonctionnement b) Mise en équation c) Bilan énergétique d) Cas particulier du régime sinusoïdal

Notation complexe E(t) = Re(E) avec E = E0.expjt i(t) = Re(I) avec I = I0.expj(t – ) = I0.expjt et I0 = I0.exp(– j) v(t) = Re(V) avec V = V0.expj(t – ) = V0.expjt et V0 = V0.exp(– j) z(t) = Re(Z) avec V = j.Z

Equations couplées

Equations couplées E0 = (R + jL)I0 – B..V0

Impédance électrique

Admittance motionnelle électrique