La cinématique des fluides I) Description de l’écoulement d’un fluide 1) Introduction

Deux méthodes : Soit comme avec les ballons – sonde météorologiques, on suit une particule de fluide dans son déplacement et on étudie sa propre trajectoire. C’est la vision lagrangienne de la mécanique du point

Deux méthodes : Soit comme les stations météo fixes, on étudie les caractéristiques du fluide en un point précis au cours du temps. C’est la vision eulérienne des spectres électromagnétiques

La cinématique des fluides I) Description de l’écoulement d’un fluide 1) Introduction 2) Description lagrangienne a) Définition

Description lagrangienne x y z (R) P(t0) R(t0) R(t) P(t)

La cinématique des fluides I) Description de l’écoulement d’un fluide 1) Introduction 2) Description lagrangienne a) Définition b) Trajectoire d’une particule

Trajectoire d’une particule La trajectoire d’une particule de fluide P est l’ensemble des positions successives prises par la particule fluide supposée ponctuelle au cours du temps.

O x y z (R) P(t1) VP(t1) P(t2) P(t3) VP(t2) VP(t3) Positions de P aux instants t1, t2 et t3 Trajectoire

La cinématique des fluides I) Description de l’écoulement d’un fluide 1) Introduction 2) Description lagrangienne 3) Description eulérienne a) Définition

Description eulérienne x y z (R) Photo à l’instant t : v(M,t) = VP(t) ; T(M,t) = TP(t) ; (M,t) = P(t) ; rM M A l’instant t, les points M et P coïncident

Description eulérienne Photo à l’instant t’ : v(M,t’) = VP’(t’)  VP(t’) O x y z (R) P’ rM M P A l’instant t’, les points M et P’ coïncident et les points M et P ne coïncident plus.

La cinématique des fluides I) Description de l’écoulement d’un fluide 1) Introduction 2) Description lagrangienne a) Définition 3) Description eulérienne b) Lignes de courant

Ligne de courant Les lignes de courant d’un fluide sont les lignes de champ du champ eulérien des vitesses.

Ligne de courant O x y z (R) M1 v(M1,t0) M2 v(M2,t0) M3 v(M3,t0) Photo à l’instant t0

La cinématique des fluides I) Description de l’écoulement d’un fluide 1) Introduction 2) Description lagrangienne 3) Description eulérienne 4) Écoulements particuliers a) Ecoulement stationnaire

Ecoulement stationnaire Un écoulement est stationnaire si l’ensemble de ses champs eulériens, v(M,t), T(M,t), P(M,t) et (M,t), est indépendant du temps, v(M), T(M), P(M) et (M). Ces champs n’ont aucune raison d’être uniformes.

La cinématique des fluides I) Description de l’écoulement d’un fluide 1) Introduction 2) Description lagrangienne 3) Description eulérienne 4) Écoulements particuliers a) Ecoulement stationnaire b) Ecoulement incompressible

Ecoulement incompressible On dit qu’un écoulement est incompressible si le volume de toutes les particules de fluide P est conservé au cours du mouvement. Comme leurs masses se conservent aussi, les particules de fluide conservent également leurs masses volumiques au cours du déplacement.

La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire

La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 1) Définitions

Photo à l’instant t : g(M,t) = gP(t) G(M,t) = GP(t) Dérivée particulaire O x y z (R) P r = R(t) M Photo à l’instant t : g(M,t) = gP(t) G(M,t) = GP(t) A l’instant t, les points M et P coïncident

Dérivée particulaire z M (R) M’ P y O x y z (R) Dérivée particulaire r = R(t) M M’ r + dr = R(t + dt) P Photo à l’instant t + dt : G(M’,t + dt) = GP(t + dt) g(M’,t + dt) = gP(t + dt)

L’observateur qui suit la particule P, associe à la variation de g deux origines : Si l’écoulement est stationnaire mais non uniforme, l’observateur notera une variation de g. En effet, entre les instants t et t + dt, P bouge donc il voit, à la date t, g(M) puis, à la date t + dt, g(M’) g(M’)  g(M). Cette variation est liée au caractère non uniforme du champ eulérien g(M).

L’observateur qui suit la particule P, associe à la variation de g deux origines : Si l’écoulement n’est pas stationnaire et si la particule P reste en M, il notera une variation de g. En effet, en M, à la date t, P voit g(M,t) puis, à la date t + dt, P voit g(M,t + dt). g(M,t + dt)  g(M,t). Cette variation est liée au caractère non stationnaire du champ eulérien g.

Dérivée particulaire La dérivée particulaire caractérise les variations du champ eulérien scalaire g ou vectoriel G mesurées en suivant la particule de fluide P au cours du temps. La dérivée particulaire est la dérivée lagrangienne appliquée à un champ scalaire ou vectoriel eulérien.

La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 1) Définitions 2) Expression de la dérivée particulaire d’une grandeur scalaire intensive

La dérivée particulaire se décompose en deux termes : (v.grad)g, la dérivée convective de g qui indique un caractère non uniforme de g ; , la dérivée locale de g qui indique un caractère non stationnaire de g.

Villes Nancy Dijon Lyon Marseille Distances 210 400 720 Nancy Dijon Lyon Marseille 15 h 24°C 25°C 30°C 34°C 17 h 23°C 27°C 32°C 19 h 22°C 22 h 19°C 20°C

La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 1) Définitions 2) Expression de la dérivée particulaire d’une grandeur scalaire intensive 3) Expression de la dérivée particulaire d’une grandeur vectorielle intensive

La dérivée particulaire se décompose en deux termes : (v.grad)G, la dérivée convective de G qui indique un caractère non uniforme de G ; , la dérivée locale de G qui indique un caractère non stationnaire de G.

La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 1) Définitions 2) Expression de la dérivée particulaire d’une grandeur scalaire intensive 3) Expression de la dérivée particulaire d’une grandeur vectorielle intensive 4) Application à la vitesse : l’accélération

En M, à la date t : (v.grad)v, l’accélération convective qui indique un caractère non uniforme de la vitesse v ; , l’accélération locale qui indique un caractère non stationnaire de la vitesse v.

Autoroute Radar 2 : 130 km.h–1 Voie d’accès Radar 1 : 90 km.h–1

Conclusion : Définition : La dérivée particulaire est la dérivée lagrangienne appliquée à un champ scalaire ou vectoriel eulérien.

Conclusion : Interprétation 1 : La dérivée particulaire caractérise les variations du champ eulérien scalaire g ou vectoriel G mesurées en suivant la particule de fluide P au cours du temps.

Conclusion : Interprétation 2 : La dérivée particulaire fait le lien entre les grandeurs eulériennes qui servent à décrire l’écoulement du fluide et les théorèmes mécaniques et thermodynamiques qui ont une écriture lagrangienne

Conclusion : Expressions :

La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvement

Cube mésoscopique à l’instant t x y A B D

La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvement a) Champ de vitesse v1 = – a(y.ux – x.uy)

Le point A quitte l’axe des abscisses. Champ de vitesse : v1 = – a(y.ux – x.uy) AA’ = v1(A).dt = a..dt.uy OA’ = (ux + a.dt.uy). Le point A quitte l’axe des abscisses.

Le point B quitte l’axe des ordonnées. Champ de vitesse : v1 = – a(y.ux – x.uy) BB’ = v1(B).dt = – a..dt.ux OB’ = (– a.dt.ux + uy). Le point B quitte l’axe des ordonnées.

Champ de vitesse : v1 = – a(y.ux – x.uy) B’ D’ a positif O x y A B D d

Champ de vitesse : v1 = – a(y.ux – x.uy)

Définition : On dit qu’un écoulement est non tourbillonnaire ou irrotationnel si le vecteur tourbillon est partout nul, autrement dit si le champ des vitesses du fluide est à rotationnel partout nul.

Définition : Par opposition, dans un écoulement tourbillonnaire, ou rotationnel, il existe au moins un point du fluide où  est non nul :  = rotv

Champ de vitesse : v1 = – a(y.ux – x.uy)

La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvement a) Champ de vitesse v1 = – a(y.ux – x.uy) b) Champ de vitesse v2 = a.x.ux + b.y.uy

Le point A reste sur l’axe des abscisses. Champ de vitesse : v2 = a.x.ux + b.y.uy AA’ = v2(A).dt = a..dt.ux OA’ = (1 + a.dt)ux. Le point A reste sur l’axe des abscisses.

Le point B reste sur l’axe des ordonnées. Champ de vitesse : v2 = a.x.ux + b.y.uy BB’ = v2(B).dt = b..dt.uy OB’ = (1 + b.dt)uy. Le point B reste sur l’axe des ordonnées.

a positif ; b négatif ; a  – b Champ de vitesse : v2 = a.x.ux + b.y.uy a positif ; b négatif ; a  – b O x y A B D A’ B’ D’

Champ de vitesse : v2 = a.x.ux + b.y.uy

Champ de vitesse : v2 = a.x.ux + b.y.uy

La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvement a) Champ de vitesse v1 = – a(y.ux – x.uy) b) Champ de vitesse v2 = a.x.ux + b.y.uy c) Champ de vitesse v3 = a(y.ux + x.uy)

Le point A quitte l’axe des abscisses. Champ de vitesse : v3 = a(y.ux + x.uy) AA’ = v3(A).dt = a..dt.uy OA’ = (ux + a.dt.uy). Le point A quitte l’axe des abscisses.

Le point B quitte l’axe des ordonnées. Champ de vitesse : v3 = a(y.ux + x.uy) BB’ = v3(B).dt = a..dt.ux OB’ = (a.dt.ux + uy). Le point B quitte l’axe des ordonnées.

Les points O, D et D’ sont alignés. Champ de vitesse : v3 = a(y.ux + x.uy) DD’ = v3(D).dt = a.(ux + uy)dt OD’ = (1 + a.dt)(ux + uy). Les points O, D et D’ sont alignés.

Champ de vitesse : v3 = a(y.ux + x.uy) a positif O x y A’ B’ D’ A B D

Champ de vitesse : v3 = a(y.ux + x.uy)

Champ de vitesse : v3 = a(y.ux + x.uy)

La cinématique des fluides II) Dérivée particulaire 5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvement a) Champ de vitesse v1 = – a(y.ux – x.uy) b) Champ de vitesse v2 = a.x.ux + b.y.uy c) Champ de vitesse v3 = a(y.ux + x.uy) d) Décomposition du mouvement local d’un fluide

v(M) = v(O) + v1(M) + v2(M)+ v3(M) Décomposition du mouvement local d’un fluide v(M) = v(O) + v1(M) + v2(M)+ v3(M)

Décomposition du mouvement local d’un fluide Le champ v(O) décrit une translation uniforme en bloc du fluide ; Le champ v1(M) décrit une rotation sans variation de volume du fluide ; Le champ v2(M) décrit une déformation avec variation de volume mais sans rotation locale du fluide ; Le champ v3(M) décrit une déformation sans variation de volume et sans rotation locale du fluide.

Décomposition du mouvement local d’un fluide Le champ vd(M) = v2(M) + v3(M) décrit une déformation du fluide sans rotation locale.

La cinématique des fluides III) Conservation de la masse 1) Rappels et définitions

  dS M P d +

La cinématique des fluides III) Conservation de la masse 1) Rappels et définitions a) Débit massique

Définition : On appelle débit massique Dm d’un fluide à travers une surface () orientée, la masse algébrique de fluide qui traverse (), par unité de temps, dans le sens d’orientation de la surface.

d = v.dS.dt 2m = .d = .v.dS.dt dS v dr = v.dt

La cinématique des fluides III) Conservation de la masse 1) Rappels et définitions a) Débit massique b) Débit volumique

Définition : On appelle débit volumique DV d’un fluide à travers une surface () orientée, le volume algébrique de fluide qui traverse (), par unité de temps, dans le sens d’orientation de la surface.

La cinématique des fluides III) Conservation de la masse 1) Rappels et définitions 2) Conservation de la masse

Définition : Une surface de contrôle (0) est une surface matérielle ou non, fermée, indéformable et fixe dans le référentiel d’étude R.

Définition : On appelle sources et puits respectivement des zones d’un écoulement de fluide où on note des apparitions de masse ou des disparitions de masse

La cinématique des fluides III) Conservation de la masse 1) Rappels et définitions 2) Conservation de la masse a) Expression intégrale globale

M m = .d j(M,t) 0 V dS P j(P,t)

La cinématique des fluides III) Conservation de la masse 1) Rappels et définitions a) Expression intégrale globale 2) Conservation de la masse b) Expression locale

M m = .d j(M,t) 0 V dS P j(P,t)

La cinématique des fluides IV) Applications à quelques écoulements particuliers 1) Écoulement stationnaire

Écoulement stationnaire dS 2  1 dS1 dS2

La cinématique des fluides IV) Applications à quelques écoulements particuliers 1) Écoulement stationnaire 2) Écoulement incompressible

Ecoulement incompressible Un écoulement est incompressible si la dérivée particulaire de la masse volumique est nulle en tout point M et à tout instant :

Écoulement incompressible Dv1 = Dv2 2 1 dS2 dS1

Écoulement incompressible Dv1 = Dv2 S2 > S1 v2 < v1 S1 v1

La cinématique des fluides IV) Applications à quelques écoulements particuliers 1) Écoulement stationnaire 2) Écoulement incompressible 3) Écoulement incompressible et irrotationnel

La cinématique des fluides IV) Applications à quelques écoulements particuliers 1) Écoulement stationnaire 2) Écoulement incompressible 3) Écoulement incompressible et irrotationnel 4) Écoulement radial avec une source

Écoulement radial avec une source fil Dm, 

Écoulement radial avec une source dS1 M fil dS dS2

La cinématique des fluides IV) Applications à quelques écoulements particuliers 1) Écoulement stationnaire 2) Écoulement incompressible 3) Écoulement incompressible et irrotationnel 4) Écoulement radial avec une source 5) Écoulement potentiel avec circulation : vortex a) Définition

La cinématique des fluides IV) Applications à quelques écoulements particuliers 5) Écoulement potentiel avec circulation : vortex a) Définition b) Modèle de la tornade

Modèle de la tornade Une tornade est un phénomène météorologique défini comme « un coup de vent violent et tourbillonnaire ».