Les ondes sonores dans un fluide I) Équation de propagation des ondes sonores 1) Position du problème

Position du problème Au repos, en M à la date t, les champs de masse volumique 0 et de pression P0 sont uniformes et constants, le champ des vitesses est nul : v(M,t) = 0 P(M,t) = P0 (M,t) = 0

L’onde sonore est décrite comme une perturbation de cet état de repos avec des champs de vitesse, de pression et de masse volumique de la forme : v(M,t) = 0 + v(M,t) P(M,t) = P0 + p(M,t) (M,t) = 0 + (M,t) ordre 0 ordre 1

Les ondes sonores dans un fluide I) Équation de propagation des ondes sonores 1) Position du problème 2) Équations fondamentales des ondes sonores a) L’approximation acoustique

Définition : L’approximation acoustique consiste à étudier des perturbations de faibles amplitudes.

|p| << P0, || << 0 et |v| << c Hypothèses : |p| << P0, || << 0 et |v| << c c étant la célérité des ondes sonores dans le fluide

Hypothèses : Les champs v(M,t), p(M,t) et (M,t) sont des infiniment petits du 1er ordre, ainsi que leurs dérivées spatiales et temporelles

Ces trois champs ont en tout point du fluide une valeur moyenne nulle Hypothèses : Ces trois champs ont en tout point du fluide une valeur moyenne nulle <v(M,t)>t = 0, <p(M,t)>t = 0, <(M,t)>t = 0

Les ondes sonores dans un fluide I) Équation de propagation des ondes sonores 1) Position du problème 2) Équations fondamentales des ondes sonores a) L’approximation acoustique b) Équations fondamentales

Équations fondamentales Équation d’Euler : Équation d’Euler linéarisée :

Équations fondamentales Équation de conservation de la masse : Équation de conservation de la masse simplifiée :

Équations fondamentales Équation des mouvements isentropiques : Équation des mouvements isentropiques simplifiée :  = 0.S.p

Les ondes sonores dans un fluide I) Équation de propagation des ondes sonores 1) Position du problème 2) Équations fondamentales des ondes sonores 3) Équation de propagation des ondes sonores

Récapitulatif : Équation des mouvements isentropiques :  = 0.S.p Équation de conservation de la masse : Équation d’Euler linéarisée :

Équations différentielles Finalement, pour la surpression p : Finalement, pour la vitesse v :

Les ondes sonores dans un fluide I) Équation de propagation des ondes sonores 1) Position du problème 2) Équations fondamentales des ondes sonores 3) Équation de propagation des ondes sonores 4) Célérité des ondes sonores

Gaz parfaits : La vitesse du son vaut : Ordres de grandeur : air : c  340 m.s–1 H2 : c  1,3 km.s–1

Les ondes sonores dans un fluide II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives

v = vx.ux + vy.uy + vz.uz En coordonnées cartésiennes : v = vx.ux + vy.uy + vz.uz f = p, vx, vy ou vz

O x’ y’ z’ (R) O x y z (R)   Onde se propageant le long de l’axe Ox : f(M,t) = f(x,t) Même onde se propageant le long de l’axe  = Ox  Ox’ : f’(M,t) = f’(x’,y’,z’,t)

Conclusion : Nous admettrons qu’en vertu de la linéarité de l’équation scalaire de D’Alembert à trois dimensions, toute solution est une superposition d’ondes planes progressives, dont les directions de propagation u quelconques couvrent tout l’espace :

Les ondes sonores dans un fluide II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les ondes planes progressives harmoniques a) Définition

() est un plan d’onde  t, (P) = (M) u () P M k

Résumé : Toute solution de l’équation de D’Alembert à trois dimensions peut se décomposer en O.P.P. de direction de propagation u quelconque et à leur tour, toute O.P.P. de direction  peut se décomposer en O.P.P.H. de même direction . Les O.P.P.H. sont les éléments de base de l’ensemble des solutions de l’équation de d’Alembert à trois dimensions

Les ondes sonores dans un fluide II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les ondes planes progressives harmoniques a) Définition b) Notation complexe

Notation complexe f(M,t) = A0.cos(t – k.r + 0) f(M,t) = A0.exp[j(t – k.r)] avec A0 = A0.exp(j0)

Notation complexe f(M,t) = A0.exp[j(t – k.r)] avec A0 = A0.exp(j0) k = kx.ux + ky.uy + kz.uz k.r = kx.x + ky.y + kz.z

f(M,t) = A0.exp[j(t – k.r)] avec A0 = A0.exp(j0) Notation complexe f(M,t) = A0.exp[j(t – k.r)] avec A0 = A0.exp(j0) gradp = (p) = – jk.p ; divv = .v = – jk.v ; p = 2(p) = (– jk)2.p = – k2.p ; rotv =  x v = – jk x v

Les ondes sonores dans un fluide II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les ondes planes progressives harmoniques a) Définition b) Notation complexe c) Relation de dispersion

Les ondes sonores dans un fluide II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les ondes planes progressives harmoniques a) Définition b) Notation complexe c) Relation de dispersion d) Structure des ondes planes progressives

Structure des ondes planes progressives Par superposition, d’O.P.P.H. de même direction de propagation u et de pulsations  quelconques, grâce à l’analyse de Fourier, ce résultat s’étend aux OPP : Les ondes sonores planes progressives sont longitudinales.

Les ondes sonores dans un fluide II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les ondes planes progressives harmoniques 3) L’impédance acoustique

Impédance acoustique Définition : On définit l’impédance acoustique du milieu, notée Za, comme le rapport de la surpression sur la vitesse :

Impédance acoustique Cette relation de couplage, p(M,t) =  0.c.v(M,t), ne fait pas intervenir la pulsation donc par superposition d’O.P.P.H. de même direction de propagation u et de pulsations  quelconques, grâce à l’analyse de Fourier, ce résultat s’étend aux O.P.P. :

Impédance acoustique pour une O.P.P. Ordres de grandeur : air : Za  500 kg.m–2.s–1 eau : Za  106 kg.m–2.s–1

Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique

Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique 1) Énergie volumique d’une onde sonore

Définitions : densité volumique d’énergie cinétique : densité volumique d’énergie potentielle élastique :

Définitions : densité volumique d’énergie sonore : Energie acoustique apportée au fluide par l’onde sonore :

Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique 1) Énergie volumique d’une onde sonore 2) Bilans énergétiques a) Bilan local

Bilan local Équation d’Euler linéarisée : Équation de conservation de la masse :

Bilan local

Bilan local  = p.v Cette relation constitue l’équation locale de la conservation de l’énergie acoustique en M, à la date t

(M,t)  d + P dS M 

Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique 1) Énergie volumique d’une onde sonore 2) Bilans énergétiques a) Bilan local b) Bilan global

 V dS P (P,t) es(M) M (M,t)

Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique 1) Énergie volumique d’une onde sonore 2) Bilans énergétiques 3) Application aux ondes planes progressives

Application aux O.P.P. es = 2ec = 2ep

Analogie  est la densité volumique de masse es est la densité volumique d’énergie sonore jm = .v  = es.v

Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique 1) Énergie volumique d’une onde sonore 2) Bilans énergétiques 3) Application aux ondes planes progressives 4) Cas des ondes planes progressives harmoniques

Application aux O.P.P.H. p(M,t) = p0.cos(t – k.r + 0) v(M,t) = v0.cos(t – k.r + 0).u p(M,t) = Za.v(M,t) = 0.c.v(M,t) p0 = Za.v0 = 0.c.v0 es = 2ec = 2ep = 0.v2 = s.p2

Application aux O.P.P.H. L’énergie acoustique volumique moyenne est une constante, l’énergie acoustique moyenne de tout l‘espace est donc infinie ; Nous retrouvons le caractère non physique des O.P.P.H..

Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique 5) Intensité sonore et décibels acoustiques a) Intensité sonore

On appelle intensité sonore d’une O. P. P. H On appelle intensité sonore d’une O.P.P.H., notée I, la valeur de la puissance moyenne transférée par l’onde sonore par unité de surface à travers une surface perpendiculaire à sa direction de propagation u  u k

Intensité sonore

Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique 5) Intensité sonore et décibels acoustiques a) Intensité sonore b) Décibels acoustiques

I (W.m–2) IdB p0 (Pa) v0 (m.s–1) seuil absolu à 3 kHz 10–13 – 10 10–5 2.10–8 seuil à 1kHz 10–12 3.10–5 7.10–8 chuchotement 10–11 10 10–4 2.10–7 voix basse 10–10 20 3.10–4 7.10–7 campagne 10–9 30 10–3 2.10–6 avenue 80 0,3 7.10–4 marteau piqueur 10–2 100 3 7.10–3 seuil douloureux 1 120 7.10–2

Les ondes sonores dans un fluide IV) Réflexion et transmission des ondes sonores 1) Position du problème

Dioptre acoustique O S ki kt P0, 1, c1 P0, 2, c2 1 2 x ux kr = – ki

Les ondes sonores dans un fluide IV) Réflexion et transmission des ondes sonores 1) Position du problème 2) Coefficients de réflexion et de transmission a) Les conditions aux limites

Les conditions aux limites Continuité de la vitesse : la vitesse d’une particule fluide est continue au niveau de l’interface, dans le plan x = 0,  t. v1(0,t) = v2(0,t) vi(0,t) + vr(0,t) = vt(0,t)

0 = [p1(0,t) + P0]S – [p2(0,t) + P0]S Les conditions aux limites RFD sur un élément de surface : L’interface est considérée comme une membrane fictive de masse nulle, on obtient : 0 = [p1(0,t) + P0]S – [p2(0,t) + P0]S

Les conditions aux limites RFD sur un élément de surface : la surpression est continue au niveau de l’interface de masse nulle, dans le plan x = 0,  t. p1(0,t) = p2(0,t) pi(0,t) + pr(0,t) = pt(0,t)

Les ondes sonores dans un fluide IV) Réflexion et transmission des ondes sonores 1) Position du problème 2) Coefficients de réflexion et de transmission a) Les conditions aux limites b) Coefficients en amplitude

Les coefficients en amplitude Coefficient de réflexion pour la vitesse : Coefficient de transmission pour la vitesse :

Coefficient de réflexion pour la vitesse : Coefficient de transmission pour la vitesse :

Les coefficients en amplitude Coefficient de réflexion pour la surpression : Coefficient de transmission pour la surpression :

Coefficient de réflexion pour la surpression : Coefficient de transmission pour la surpression :

Les ondes sonores dans un fluide IV) Réflexion et transmission des ondes sonores 1) Position de problème 2) Coefficients de réflexion et de transmission a) Les conditions aux limites b) Coefficients en amplitude c) Coefficients en puissance sonore

Les coefficients en puissance Coefficient de réflexion : Coefficient de transmission :

Les coefficients en puissance Coefficient de réflexion : Coefficient de transmission :

Coefficient de transmission en puissance L’échelle des abscisses est logarithmique

Les ondes sonores dans un fluide V) Les ondes stationnaires

Les ondes sonores dans un fluide V) Les ondes stationnaires 1) La réflexion pure

La réflexion pure : Z2 >> Z1 rv  – 1 et tv  0 donc R  1 et T  0 Le tuyau sonore est fermé en x = 0 par une paroi rigide Z1 Z2 =   t, v(0,t) = 0

Ondes incidente et réfléchie Z1, 1, c1 Z2 =  Tuyau fermé en x = 0

O.I. O.R. rp = 1 Surpression : O.R. O.I. rv = –1 Vitesse :

Les ondes sonores dans un fluide V) Les ondes stationnaires 1) La réflexion pure a) Les champs de vitesse et de surpression

x = 0 Z2 =  V N pression x = 0 Z2 =  V N vitesse

Les ondes sonores dans un fluide V) Les ondes stationnaires 1) La réflexion pure a) Les champs de vitesse et de surpression b) Aspect énergétique

Les ondes sonores dans un fluide V) Les ondes stationnaires 1) La réflexion pure 2) Les cavités résonantes

Cavité résonante fermée aux deux extrémités en x = 0 et en x = L. L x

Les ondes sonores dans un fluide V) Les ondes stationnaires 1) La réflexion pure 2) Les cavités résonantes a) Le régime libre

Par théorème de superposition, la solution générale de ce problème peut s’écrire sous la forme d’une somme infinie :

Cavité résonante fermée aux deux extrémités en x = 0 et en x = L. L x Harmonique m :

L x pression V N Mode fondamental : L x vitesse N V

L x pression V N Harmonique 2 : L = 2 L x vitesse N V

L x pression V N Harmonique 3 : L x vitesse N V

Cavité résonante fermée à une extrémité en x = 0, et ouverte à l’autre en x = L. L x Harmonique m :

L x pression V N Mode fondamental : L x vitesse N V

L x pression V N Harmonique 2 : L x vitesse N V

L x pression V N Harmonique 3 : L x vitesse N V

Les ondes sonores dans un fluide V) Les ondes stationnaires 1) La réflexion pure a) Le régime libre 2) Les cavités résonantes b) Le régime forcé