5 La Loi de Laplace Gauss ou loi Normale
1)Définition: a)On appelle loi normale d’espérance mathématique m et d’écart type , notée m,), la loi de probabilité d’une variable aléatoire continue telle que X()= et dont la densité de probabilité f est
b)Cas particulier de N(0,1) d’espérance mathématique 0 et d’écart type 1: La loi normale centrée réduite N(0,1) a pour densité f telle que
2)Relation entre N(m,) et N(0,1) : Si la v.a. continue X suit une loi normale N(m,) alors la v.a. suit la loi normale centrée réduite N(0,1)
3)Utilisation de la table de la fonction de répartition de N(0,1) :
Remarque : Si X suit N(m,) et k > 0 alors suit N(0,1) et
4)Opérations sur les lois normales: · Si la v.a. continue X suit (m,) alors Z = a X + b suit une loi Normale telle que E(Z) = E(a X + b) = a E(X) + b V(Z) = V(a X + b) = a2 V(X) =
· Si X v. a. continue suit (m,) et si Y v. a · Si X v.a. continue suit (m,) et si Y v.a. continue suit (m’,’) avec X et Y indépendantes alors Z = a X + b Y suit une loi normale telle que: E(Z) = E(a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y) V(Z) = V(a X + b Y ) = a2 V(X) + b2 V(Y) = + car X et Y indépendantes
5)Approximation de la loi Binomiale par la loi Normale: Si n 30 et n p 15 et n p q > 5 Alors on peut remplacer la loi binomiale B(n,p) par la loi Normale