Enseigner les mathématiques au cycle 3 Joinville le 11 mars 2009 Daniel Bensimhon

1 - Les enjeux de l’enseignement des mathématiques à l’école

Les principaux enjeux de l’enseignement des mathématiques à l’école 1 – une continuité éducative avec le collège 2 – la formation du futur citoyen 3 – la dimension culturelle des mathématiques 4 – la formation générale des élèves 5 – la pluridisciplinarité des mathématiques

Enjeu de l’école primaire : la séparation progressive des disciplines Cycle 1 : découvrir le monde 1. Découverte sensorielle 2. Exploration du monde de la matière 3. Découvrir le monde animal 4. Découvrir le monde des objets 5.  Repérages dans l’espace 6.  Le temps qui passe 7.  Découverte des formes et des grandeurs 8.  Approche des quantités et des nombres

Enjeu de l’école primaire : la séparation progressive des disciplines – programmes 2008 Cycle 2 : mathématiques 1. Nombres et calcul 2. Géométrie 3. Grandeurs et mesures 4. Organisation et gestion de données Cycle 3 : mathématiques 1. Nombres et calcul 2. Géométrie 3. Grandeurs et mesures 4. Organisation et gestion de données

2 - Enseigner les mathématiques : une démarche, des contenus

La démarche d’apprentissage Le degré zéro (environnement non exploité)  L’imprégnation  La découverte  L’institutionnalisation  L’application  L’extension

Un concept visé : la symétrie axiale Étape zéro : utilisation du miroir Imprégnation : tampon encreur, papier calque, découpage de ribambelles, frises géométriques Découverte : classer un ensemble de figures (certaines ont un axe de symétrie) Institutionnalisation : notion de symétrie axiale Application : construire le symétrique d’une figure. Extension : symétrie et agrandissement.

Les frises

Un concept visé : la symétrie axiale Étape zéro : utilisation du miroir Imprégnation : tampon encreur, papier calque, découpage de ribambelles, frises géométriques Découverte : classer un ensemble de figures (certaines ont un axe de symétrie) Institutionnalisation : notion de symétrie axiale Application : construire le symétrique d’une figure. Extension : symétrie et agrandissement.

Un concept visé : la division euclidienne Étape zéro : répartitions diverses de collections d’objets pris dans la vie quotidienne Imprégnation : situations de partage quelconque, plus ou moins complexes, à résoudre pour elles-mêmes Découverte : situations de partage sous contraintes (parts égales, reste minimal) Institutionnalisation : la division euclidienne Application : situations de division euclidienne Extension : division avec de grandes quantités – division avec des décimaux

L’erreur, parlons-en !

Deux citations de Bachelard  « La formation à l’esprit scientifique »  Se tromper est nécessaire pour réussir (….)  L’expérience n’est ni plus ni moins que le souvenir des erreurs rectifiées  Point de vue de Françoise Cerquetti-Aberkane (Hachette Education – Enseigner les mathématiques à l’école Paris 1992)  L’erreur n’est pas une faute. Un exercice de mathématiques n’est ni bien, ni mal ; il est juste ou faux. L’erreur est un indicateur, c’est une prise d’indices sur la connaissance des enfants. C’est un retour critique sur son propre enseignement. Accorder un autre statut à l’erreur (Roland Charnay)  Se tromper est normal dans la phase d’apprentissage. Dans cette phase, l’erreur ne doit pas être sanctionnée  On apprend aussi en travaillant sur les erreurs

Les enseignants et l’erreur Dans l’ensemble, les maîtres sont largement conscients du parti qu’ils peuvent tirer des erreurs commises. Cependant, trop souvent l’analyse des erreurs est collective La prise en compte des erreurs individuelles est une activité qui nécessite de l’écoute et du dialogue

Le statut de l’erreur Typologie sur l’origine des erreurs (Source : JP ASTOLFI : L’erreur, un outil pour enseigner, ESF 1997) 1.   Erreurs relevant de la compréhension des consignes 2.  Erreurs résultant d’habitudes scolaires ou d’un mauvais décodage des attentes du maître 3. Erreurs témoignant des conceptions alternatives de l’élève 4. Erreurs liées aux opérations intellectuelles impliquées 5.     Erreurs portant sur les démarches adoptées 6.     Erreurs dues à une surcharge cognitive 7.     Erreurs ayant leur origine dans une autre discipline 8.     Erreurs causées par la complexité propre du contenu

1. Erreurs relevant de la compréhension des énoncés

Ne pas confondre lecture d’énoncé  et résolution de problème ! Être attentif à la pertinence de l’énoncé Amener les élèves à s’engager dans un travail lorsque la consigne est suffisamment précisée

Difficultés dans la lecture des énoncés de problèmes Des textes particuliers : une représentation mentale de la situation mathématique. Des représentations sémantiques erronées. Exemple : le sommet d’un triangle Des difficultés à opérer les inférences indispensables ; l’interprétation des données est difficile. Les énoncés des problèmes arithmétiques sont nécessairement lacunaires

Lecture des énoncés : une démarche Tout au long du cycle 3, il faut que les élèves soient confrontés aux énoncés sans la médiation d’une première lecture par le maître (des énoncés adaptés, différenciés) Les élèves doivent apprendre à naviguer entre données et questions, à passer du texte à d’autres formes de (re)présentations des données (schéma, tableau, graphique, etc.) Ils doivent aussi apprendre à mobiliser leurs connaissances pour se représenter les situations et valider la plausibilité de leurs réponses La médiation par le maître est plus ou moins présente ; elle s’élimine peu à peu à des moment différents selon les élèves. Viser la stabilité des apprentissages.

Facteurs de difficulté des énoncés de problèmes 1) La place de la question : fin ou début ?  Inciter à une double lecture quand la question est en position terminale 2) Ordre des données : ordre correspondant à celui du traitement ou non ; ordre syntaxique cohérent ou non…  Proposer des énoncés avec des présentations variées 3) Complexité du texte : phrases complexes, avec des relatives (surtout avec dont) Faire effectuer des reformulations du texte ; produire un autre texte plus explicite (réécriture) ; reprise des données sous d’autres formes 4) Caractère plus ou moins complet des données : données indispensables et données parasites Les élèves ont tendance à « tout » utiliser dans un énoncé. Repérer les données inutiles (les isoler, les supprimer). 5) Caractère plus ou moins familier de la situation : utiliser les connaissances préalables et les valider Des connaissances très variables selon les élèves. Chercher la pertinence des réponses et les dépasser

Facteurs de difficulté des énoncés de problèmes 6) Vocabulaire univoque ou non : un lexique spécifique aux mathématiques ou non. Des formules peuvent poser des problèmes (« des livres à 12 euros pièce »)  Élaborer un répertoire (comme dans les autres domaines). Des séances spécifiques (décrochées) d’étude de la langue. 7) Informations données sous plusieurs formes : textes, graphiques, photos, schémas. Parvenir à relier ces informations diverses  Éclaircir le caractère complémentaire des informations 8) Problèmes à une ou plusieurs étapes de résolution : les étapes sont suggérées ou non par la question Veiller à passer d’énoncés où les étapes sont suggérées par les questions à des énoncés présentant uniquement la question. Un aspect possible de différenciation pédagogique (texte plus ou moins « guidant », certaines étapes suffisantes…) 9) Problème fermé ou problème ouvert : pas de réponse canonique ; plusieurs solutions possibles Diversifier les textes pour éviter les représentations figées (une question/une réponse) 10) Référence notionnelle : certains mots induisent la mobilisation d’une notion, d’une procédure…pas toujours à bon escient ; parfois la proximité temporelle « fonctionne » Chercher à éviter tout conditionnement mais viser cependant la stabilité. Proposer aussi des problèmes « décrochés ».

Proposer des supports variés de diverses présentations (le vécu, dessin, schéma, oral, écrit…) Favoriser l’appropriation des notions sans confondre les objectifs

2.  Erreurs résultant d’habitudes scolaires ou d’un mauvais décodage des attentes du maître

L’élève peut être « victime » d’habitudes scolaires Idée de proximité « temporelle » L’entretien oral avec l’élève est essentiel pour mieux comprendre les erreurs « Lors d’un exercice qui consiste à écrire soixante-trois en chiffres, des élèves écrivent 57. Explication d’un élève : « En mathématiques, on fait faire des opérations. Soixante moins trois, je fais la soustraction et je trouve 57 » L’erreur était juste un problème d’interprétation du tiret…

Chercher à parler avec l’élève Des entretiens individuels pour faire comprendre d’où vient l’erreur Proposer des phases de travail individuel Observer de façon active comment procède l’élève : Par exemple, en regardant l’élève en train d’effectuer une opération, interroger : Pourquoi as-tu mis 5 ici ? Es-tu certain du résultat ? Peux-tu recalculer devant moi… Il faut faire « penser tout haut » autant qu’on le peut. La correction immédiate est essentielle car elle évite l’installation d’erreurs.

Apport de l’entretien portant sur l’analyse des erreurs L’entretien permet de prendre en compte l’erreur de façon plus fine, de connaître les difficultés rencontrées par l’élève. On peut poser ce type de questions : - Qu’est-ce que tu as fait ? - Qu’est-ce qu’il fallait faire ? - Qu’est-ce qu’il fallait faire pour réussir ? La prise en compte des points forts est primordiale pour développer chez l’élève une attitude scolaire positive. Cela permet à l’élève de reconnaître ses réussites, de « se faire confiance » et aussi de jeter la base d’un travail sur l’estime de soi sans lequel aucun engagement dans les apprentissages n’est possible. Un climat de confiance doit présider à cet entretien qui doit être court et serein.

3. Erreurs témoignant des conceptions alternatives de l’élève

Certaines erreurs témoignent des conceptions alternatives des élèves (appelées plus communément représentations).    Afin de modifier le statut que l’on donne à ce type d’erreurs, il s’agit en premier lieu d’analyser les représentations et les obstacles sous-jacents à la notion étudiée. La prise en compte didactique nécessite un travail d’écoute, de compréhension, d’identification, de comparaison et de discussion avec les élèves.

4. Erreurs liées aux opérations intellectuelles impliquées

D’autres erreurs sont directement liées aux opérations intellectuelles impliquées, c’est-à-dire à “la diversité des opérations intellectuelles pour résoudre des problèmes en apparence proches”.    Des exercices apparemment proches mettent en jeu des compétences diverses et cela mérite d’être analysé. En guise de traitement didactique, il s’agit d’opérer une sélection plus stricte des exercices et des activités.

5. Erreurs portant sur les démarches adoptées

Face à une réponse attendue, les démarches étonnantes sont parfois trop rapidement étiquetées comme fausses.    L’analyse de la diversité des procédures possibles peut donc se révéler très utile. De plus, les stratégies variées sont susceptibles d’être source d’évolutions chez les élèves.

6. Erreurs dues à une surcharge cognitive

Les erreurs sont quelquefois dues à une surcharge cognitive.  La charge mentale de l’activité devrait être mieux évaluée et l’activité décomposée en sous-tâches, plus faciles à gérer au niveau de la mémoire.  Pour certains problèmes mathématiques, le recours à la calculatrice évite cette surcharge et donne à cette machine son statut d’outil.

7. Erreurs ayant leur origine dans une autre discipline

Autres erreurs fréquentes que celles qui trouvent leur origine dans une autre discipline. Le transfert des connaissances est une opération à construire. Le transfert, c’est aussi un travail permanent à faire et non le ”simple” transport d’une compétence acquise. Toute activité intellectuelle authentique consiste à rapprocher deux contextes, afin d’en apprécier les différences et les similitudes.

8. Erreurs causées par la complexité propre du contenu

Certaines erreurs peuvent être causées par la complexité propre au contenu d’enseignement. Insuffisamment perçue, la complexité interne peut être source de difficulté systématique. Terrain de la mise en place d’une différenciation pédagogique

3 – La résolution de problèmes

La résolution de problèmes Une place centrale dans les Instructions officielles accordée aux problèmes Différentes natures de problèmes (de recherche, d’application…) Porter une attention particulière sur les démarches, les erreurs, les méthodes Présentation sous forme variée Lutter contre la « tradition scolaire » et les problèmes dits d’application

La résolution de problèmes Objectifs poursuivis Viser la maîtrise des connaissances et en assurer l’appropriation Les mathématiques sont perçues et donc vécues comme des moyens, des outils pour anticiper, prévoir et même décider. Faire des mathématiques, c’est élaborer de tels outils Constituer une base, un socle sur lequel construire les connaissances ultérieures. Les élèves prennent conscience des limites ou de l’insuffisance des connaissances dont ils disposent Passer progressivement d’une solution personnelle à une solution experte Créer des interactions entre élèves Développer la confiance en soi ainsi que l’imagination et le désir de recherche

4 – Des problèmes pour chercher

Des problèmes pour chercher Confronter les élèves à de véritables problèmes de recherche pour lesquels ils ne disposent pas de solution déjà éprouvée : Des problèmes offrant une certaine résistance et plusieurs démarches possibles C’est l’activité même de résolution de problème qui est privilégiée développer un comportement de recherche et de la méthode émettre des hypothèses, les tester faire et gérer les essais successifs (mais non infinis) proposer une solution originale, argumenter et en éprouver la validité - Prise de conscience par l’élève de la puissance des connaissances, même si celles-ci sont modestes. - Tous les contenus mathématiques sont touchés - Valorisation de comportements et de méthodes - Favoriser l’éducation civique (entraide, écoute, respect d’autrui, etc.)                                                              

Problème : les cartes à jouer CM1/CM2

Problème : les cartes à jouer Six groupes d’élèves Trois cartes sont choisies par les groupes d’élèves et mises dans une boîte. Combien de cartes dans la boîte ?  18 60 côtés comptés à partir des cartes choisies Consigne : Trouver le nombre de cartes portant des carrés et les cartes portant des triangles

Problème : les cartes à jouer Déroulement possible Cinq minutes de recherche personnelle Début d’opérations posées – informations du tableau recopiées….. Vingt minutes de recherche en groupe Échanges multiples entre élèves, enlever des carrés, ajouter des triangles, etc. Une pause au bout de 10 minutes : mises au point des élèves…. Nouvelle phase de recherche Procédures affinées en fonction des commentaires donnés lors de la pause Mise en commun Le rapporteur désigné par la maîtresse… que des carrés (15 cartes) que des triangles (20 cartes)… le nombre de cartes (18) toujours maintenu et la variation portant sur la répartition entre le type de carte (procédure empirique et solution personnelle). Critiques successives, écoute, commentaires…. Validation et synthèse Ouverture de la boîte… 12 triangles et 6 carrés….égalités pointées comme moyen de validation. Commentaire des élèves sur leurs procédures et leur vécu lors du problème de recherche.

Problème de recherche : Les cartes à jouer - commentaires Problème posé pas forcément à partir d’un écrit Les élèves doivent facilement s’approprier la situation et se représenter la tâche pour s’y engager Donner un problème de recherche, c’est lancer un défi L’attitude du maître est aussi décisive que le choix du problème : théâtralité lors de la présentation Validation le plus possible à la charge des élèves.

Problème de recherche Les cartes à jouer - La procédure experte Ce problème est une équation à deux inconnues t = nombre de triangles c = nombre de carrés t + c = 18  c = 18 - t 3t + 4c = 60  3t + 4(18 – t) = 60  3t + 72 – 4t = 60  -t = 60 – 72  t = 12  c = 6 Soit : 6 carrés et 12 triangles dans la boite

La cible CE1/CE2

La cible Objectifs poursuivis : Multiples et compléments Énoncé : quand on lance une flèche au centre de la cible, on marque 16 points. Dans la couronne on marque 3 points. Alexandre a obtenu 190 points. Consigne: trouver les quatre façons possibles d’obtenir le score d’Alexandre

La cible Voici la liste des multiples de 16 16 - 32 - 48 - 64 – 80 – 96- 112 – 128 – 144 – 160 - 176 Les compléments à 190 sont - 158 - 142 - 126 - 110 - 94 - 78 - 62 - 46 - 30 - 14 Dans cette liste, les multiples de 3 sont : 174 (58 x 3) 126 (42 x 3) 78 (26 x 3) 30 (10 x 3) Solutions possibles 1 flèche sur le 16 et 58 flèches sur le 3 4 flèches sur le 16 et 42 flèches sur le 3 7 flèches sur le 16 et 26 flèches sur le 3 10 flèches sur le 16 et 10 flèches sur le 3

Même aire, même périmètre CM2

Même aire, même périmètre Objectifs visés : rayons – cercle – périmètre - aire Consigne : Les cinq figures sont formées de deux formes reconnaissables. Elles ont toutes la même aire. Deux seulement ont le même périmètre. Lesquelles ? Donc, C et E ont le même périmètre et la même aire

Mise en œuvre du problème de recherche - synthèse Présentation du problème Un temps de recherche personnelle Un temps de travail en groupe Une mise en commun et un débat Une synthèse Un ou des prolongements

Où trouver de tels problèmes de recherche ? Les rallyes mathématiques proposent ce genre de problèmes Soit dans les circonscriptions, dans les académies…. Soit sur des sites Internet : taper « rallye mathématique » dans Google Quelques sites et en particulier la revue Grand N pour les enseignants www.crdp.ac-grenoble.fr/imel/nx/

5 – Apprendre par la résolution de problèmes

Apprendre par la résolution de problèmes La solution personnelle Les propres stratégies de l’élève Une avancée vers l’autonomie de l’élève Des activités modulées La solution experte L’élève ne passe pas spontanément à cette solution Apprentissage grâce à des situations Solutions qui permettent d’aborder d’autres solutions personnelles Des problèmes d’application et de réinvestissement

Comment obtenir l’aire de ce cerf-volant ?

Comment obtenir l’aire de ce cerf-volant ? Plusieurs solutions possibles : Calculer la somme des aires des quatre triangles rectangles (des demi-rectangles) L’aire du cerf-volant est égale à la moitié de celle du rectangle dans lequel le cerf-volant est inscrit Et la solution experte ? Une formule : calcul du demi produit des longueurs des diagonales du cerf-volant

Comment obtenir l’aire de ce cerf-volant ?

L’autocar Enoncé : Un autocar qui peut transporter 60 personnes est complet. 45 adultes y sont installés. Tous les autres passagers sont des enfants. Combien y a-t-il d’enfants dans l’autocar ?

L’autocar Calcul expert : deux solutions Calcul de l’élève Soit le complément de 45 à 60 Soit la différence entre 60 et 45 Calcul de l’élève Envisagé spontanément comme un complément 45 + ….. = 60 Aider les élèves à reconnaître la soustraction, solution plus experte pour d’autres nombres (un train de 926 places occupé par 389 adultes)

6 - Le calcul Le calcul mental Le calcul posé Le calcul instrumenté

Le calcul aujourd’hui Une démarche à construire Déterminer le degré d’approximation supportable (raisonnable) pour le résultat Estimer un ordre de grandeur du résultat Choisir l’outil de calcul le plus adapté au calcul Exécuter le calcul avec cet outil Comparer le résultat obtenu avec l’estimation faite en préalable (procédure de test) Mobiliser une procédure de vérification du résultat (procédure de test) Restituer le résultat après l’avoir corrigé en approximation (communiquer)

Calcul mental Une bonne maîtrise du calcul mental est indispensable pour les besoins de la vie quotidienne Le déficit de maîtrise du calcul mental fragilise gravement l'apprentissage des techniques écrites. Ce qu'on désigne sous le terme de calcul écrit (« l'opération posée ») requiert la connaissance des tables et la gestion des retenues, donc du calcul mental.

Deux natures de calcul mental : le calcul automatisé et le calcul réfléchi Le propre du calcul automatisé est de délaisser l'intuition des nombres, l'ordre de grandeur. Sans disponibilité rapide des résultats des tables, il n'y a pas d'accès possible aux techniques opératoires. Le calcul réfléchi nécessite une intuition des nombres ainsi qu'une part d'initiative et de choix. Il permet d'enraciner l'ordre de grandeur, le sens des opérations et leurs propriétés (commutativité, associativité, distributivité).

Fonction pédagogique du calcul mental Le calcul mental permet aux élèves de construire et de renforcer leurs premières connaissances relatives à la structuration arithmétique des nombres entiers naturels (relations additives ou multiplicatives entre les nombres) ; La pratique du calcul réfléchi s'appuie, le plus souvent implicitement, sur les propriétés des opérations et, en retour, en assure une première compréhension ; Les premiers maniements des notions mathématiques (qui en permettent la compréhension initiale) sont le plus souvent fondés sur le recours au calcul mental. Le calcul réfléchi nécessite l'élaboration de procédures originales et, par là, contribue au développement des capacités de raisonnement des élèves

Proposition de progression de calcul mental Principes : Proposer des séquences assez courtes (elles sollicitent beaucoup) Des exercices faciles au début (mémoire et attention mobilisées) Des exercices plus complexes (stratégies plus nombreuses) Terminer par un exercice difficile (obtenir un résultat et/ou ouvrir la réflexion) Le calcul mental prescrit que l’on ne pose pas d’opérations mais le recours à l’écrit est possible Modalités : L’énoncé de la question est oral ou écrit (s’il est écrit, il doit être effacé au bout de quelques instants) L’élève écrit la réponse (ardoise) ou l’énonce oralement Il est autorisé à écrire des résultats intermédiaires mais pas l’opération Il lui est possible de consulter visuellement une graduation, un tableau numérique, des tables

Calcul additif/soustractif Ajouter/retrancher 1 Ajouter/retrancher 10 (à partir d’une dizaine entière ; à partir d’un nombre quelconque) Ajouter/retrancher 2 (à partir d’un nombre pair/impair) Ajouter/retrancher 5 (à partir d’un nombre en « 0 » ou « 5 ») Complément à 10 (jeux de cartes, de dominos, « faire dix ») Doubles (et moitiés) Ajouter/retrancher 11 ou 9 (+ 10+ 1 : + 10- 1)  Vers le plus complexe Pas de retenues Dizaine entière (23 + 17) Passage de dizaine (23 + 18)

2) Calcul approché situation sur une graduation : frises numériques affichées Arrondir : trouver un nombre rond  123 + 732 = ??? 120 + 730 = 850. Compensation : 1542 + 728 ?  1540 + 730 = 2270 ou 1550 + 750 = 2300

3) Calcul Multiplicatif Opérations multiplicatives simples (par 10, 100, 1000…). Demander un résultat à l’écrit (section par tranches de 3) Doubles et moitiés (nombres « ronds » puis quelconques à deux chiffres : pairs ou impairs) Les tables : 2 puis 5, puis 4, puis 6, puis les autres. Éviter la récitation uniquement dans l’ordre Décomposition/ calcul approché :  123 x 12 = 120 x 12 + 3 x 12 = 1440 + 36 = 1476. Les résultats partiels peuvent être écrits.  Importance du calcul approché : 123 ˜ 100 et 12 ˜ 10 donc 123 x 12 ˜ 1000. Ou 120 x 10 ; 120 x 12… ou en proposant un choix parmi des nombres proches ou non du résultat : 18 000 ; 1 400… 4) Division - C’est surtout le calcul approché qui est visé.

Pistes pour apprendre les tables de multiplication

Pistes pour apprendre les tables de multiplication

Propositions pour la technique opératoire de la multiplication

Technique de la multiplication « ERMEL »

Jeux de calculs multiplicatifs

Le calcul posé Pas de recherche de virtuosité trop tôt. Pas de procédures plaquées Des techniques certes à enseigner mais il faut recentrer l’étude sur la compréhension et la justification des techniques utilisées. Retarder donc un peu leur mise en place.

Le calcul instrumenté Le statut de la machine doit être clair, pour le maître mais aussi pour l’élève. La calculatrice : un outil Aide à l’activité mathématique  effectuer les calculs du problème à poser Aide à l’enseignement Découvrir les mathématiques (propriétés de calcul…) S’entraîner au calcul écrit (vérification des calculs) La calculatrice : un objet d’étude Objet d’étude technique : découverte de la programmation et des possibilités qu’offre l’instrument.

7 - La numération : les grands nombres

Lire des grands nombres

Lire des grands nombres

Le modèle « Planchon » Une approche « nouvelle » de la numération Chaque graphique correspond à un nombre (lire/écrire/décomposer le nombre) Poursuivre le tableau vers la gauche : les « milliards » Poursuivre le tableau vers la « droite » : les dixièmes (colonne B’), centièmes (C’), millièmes (D’) Comparaison de nombres, conversions…

8 - Quelques éléments de différenciation pédagogique

En ce qui concerne la différenciation pédagogique Commentaires issus du rapport de l’inspection générale sur l’enseignement des mathématiques à l’école en cycle 3 – juin 2006 En ce qui concerne la différenciation pédagogique Constat : L’erreur est permise mais pas assez exploitée L’analyse des erreurs est trop souvent collective. Cela n’est pas toujours justifié Pistes : Proposer parfois simplement un nombre d’exercices moins important pour certains élèves Introduire des activités plus simples pour certains Ménager des étapes supplémentaires dans la résolution de certains problèmes Les phases de travail individuelles sont primordiales. Elles permettent au maître de constater les difficultés et d’instaurer un dialogue avec l’élève

Problème numérique « Un commerçant vient de recevoir 15 caisses de pommes contenant chacune 5 kg, 10 caisses de poires contenant également 5 kg. Il a payé les pommes 1,10 euro le kilo et les poires 1,20 euro le kilo. Il les revend en augmentant de 50 centimes le prix du kilo de pommes et 60 centimes celui des poires. » Quelle sera la recette totale de ce commerçant lorsqu’il aura tout vendu ? Une seule question peut suffire pour certains élèves Pour d’autres élèves : Travailler sur les mots importants : recette, dépense Faire rechercher le prix d’achat des pommes, puis des poires Faire rechercher le prix de vente des pommes, puis des poires Pour d’autres élèves plus experts, différencier ainsi « vers le haut » : Quelle serait la recette dans le cas d’une remise de 20 euros lors de la vente de la moitié des fruits à un seul client ?

Calcul Donner moins d’opérations à calculer Donner les calculs intermédiaires Proposer des aides ponctuelles (tables, coup de pouce…) Donner des opérations plus simples Inverser toutes ces idées pour une différenciation « vers le haut »

Géométrie La géométrie développe l’attention, l’observation, le soin et le goût du travail bien fait Proposer une pratique récurrente du tracé, même de simples reproductions de figures Donner le temps aux élèves de se tromper, de recommencer Proposer plusieurs niveau de reproduction d’une figure Des aides plus ou moins prononcées Le début de la figure déjà reproduite Des points plus ou moins déjà placés

9 - La banque d’outils d’aide à l’évaluation

La banque d’outils d’aide à l’évaluation http://www.banqoutils.education.gouv.fr/

Banque d’outils d’aide à l’évaluation 1) Evaluer les compétences des élèves Immédiatement en classe À tout moment de l’année Dans de nombreuses disciplines De la GS de maternelle à la classe de seconde 2) Un point de vue « autre » Indépendamment des méthodes pédagogiques employées dans la classe Interroger les compétences mises en jeu dans les apprentissages Une analyse possible des réponses des élèves Conduire ces derniers plus loin dans leurs acquisitions à l’aide des pistes pédagogiques suggérées

Banque d’outils d’aide à l’évaluation 3) Les noms des disciplines sont ceux en usage au collège Allemand, anglais, espagnol Français Mathématiques Histoire - géographie Sciences de la vie et de la Terre (SVT) Sciences physiques et chimiques Technologie Pour les enseignants du 1er degré, une recherche en « sciences et technologie » équivaut à chercher dans trois disciplines

Banque d´outils d´aide à l´évaluation diagnostique Présentation de la banque d´outils d´aide à l´évaluation Présentation des nouveaux outils Accès aux outils de la banque Pour lire et imprimer les fichiers .PDF, télécharger gratuitement Acrobat Reader    Pour écouter les fichiers sons, télécharger gratuitement le plug-ing Winamp  Vous pourrez ensuite enregistrer les différents exercices en branchant un magnétophone à la prise de sortie de votre ordinateur dédiée aux haut-parleurs. Autres sites Résultats des évaluations de rentrée Matériel d´évaluation Portail Educ-Eval Documents d´accompagnement de la banque Évaluation GS/CP Sciences au collège              © Ministère de la jeunesse, de l´éducation nationale et de la recherche

Conclusion - Une approche différente de l’enseignement des mathématiques  place de la résolution de problèmes et les problèmes de « recherche » - Penser les apprentissages sur le long terme : un principe fondamental de l’enseignement des mathématiques. Les notions se construisent donc sur la durée - Les outils comme les manuels sont nécessaires mais n’empêchent pas l’activité collective de recherche

La réalité est une approximation des mathématiques

(Montesquieu) Les gens qui veulent toujours enseigner   Les gens qui veulent toujours enseigner empêchent beaucoup d’apprendre. (Montesquieu)