La voie intuitionniste de Heyting à Kripke

Système déductif (déduction naturelle)  : de , A |-- B on peut déduire :  |-- A  B A, B |-- A  B A |-- A  B B |-- A  B A, A  B |-- B (modus ponens) A  B |-- A A  B |-- B de , A |-- C et , B |-- C on peut déduire : , A  B |-- C

Système déductif (déduction naturelle) de , A |-- B et , A |-- B on peut déduire :  |-- A (red. à l’absurde) de  |-- (x), où x est libre et n’apparaît pas dans , on peut déduire :  |-- x (x) (t) |-- x (x) A, A |-- B x (x) |-- (t) de , (x) |-- C, où x est libre et n’apparaît pas dans , on peut déduire , x (x) |-- C

Modèle de Kripke On définit une structure comme un triplet (e0, K, ) où K est un ensemble, e0 un élément de K et  une relation réflexive et transitive (un préordre) sur K Soit P un ensemble de variables propositionnelles, un modèle intuitionniste sur (e0, K, ) est une fonction  :  : PK  {V, F} telle que: Si (p, h) = V et si h  h’, alors (p, h’) = V

interprétation L’interprétation qu’on peut donner est celle d’un mathématicien idéalisé dont on modélise l’activité mentale. Celle-ci se structure sous la forme de suites d’états, pouvant se représenter a priori comme un arbre. K est donc l’ensemble des états de la connaissance et e0 est l’état initial. La relation est simplement un ordonnancement des états. On fait l’hypothèse d’une croissance monotone des connaissances, de sorte que si deux états h et h’ sont tels que hh’ et si Sh et Sh’ désignent les ensembles de propositions connues dans les états respectifs h et h’, alors Sh  Sh’

Valeur de vérité d’une formule Comme dans le cas de la logique propositionnelle classique, on peut étendre la définition de , initialement définie seulement sur les propositions atomiques, à toute formule propositionnelle, au moyen de la définition récursive suivante: a) (AB,h) = V ssi (A,h) = (B,h) = V b) (AB,h) = V ssi (A,h) = V ou (B,h) = V c) (AB,h) = V ssi pour tout h’ tel que hh’, (A,h’) = F ou (B,h’) = V d) (A,h) = V ssi pour tout h’ tel que hh’, (A,h’)= F

commentaires (a) et (b) ne sont pas étonnants : je connais AB dans un état h si et seulement si, dans cet état, je connais à la fois A et B, idem pour AB (c) signifie que AB est connu dans un certain état si et seulement si dans cet état et dans tout état futur, on ne pourra pas connaître A sans connaître B (d) signifie que la négation de A est vraie dans un état si dans cet état et tous les états futurs, A est faux On peut vérifier facilement que la propriété de monotonie vraie pour les atomes l’est encore pour les formules quelconques: Si (A, h) = V alors pour tout h’ tel que hh’, (A, h’) = V

remarque Les états peuvent aussi s’interpréter comme des mondes possibles et la relation  comme relation d’accessibilité sur ces mondes : on obtient alors un plongement dans une logique modale. Nous reviendrons plus loin sur ce point : il s’agira de la logique modale S4.

L’ensemble K (la formule  est vraie à e0) (Le fait qu’une variable propositionnelle  figure à côté du nom d’un état signifie que dans cet état,  est vraie. Par défaut,  est fausse).

commentaires Selon Kripke (1963), les états sont des instants auxquels on dispose de plus ou moins d’information. Si à un instant h, on dispose d’assez d’information pour prouver A, alors on dit que (A, h) = V, si nous n’avons pas assez d’information, on dit que (A, h) = F. Si (A, h) = V, on dit que A a été vérifié au temps h, si (A, h) = F, que A n’a pas été vérifié au temps h. Bien noter que (A, h) = F ne signifie pas que A a été prouvé faux au temps h, mais seulement que A n’a pas (encore) été prouvé au temps h.

Commentaires (suite) Dans ce modèle, le passage de e0 à e2 indique que nous avons gagné assez d’information pour pouvoir affirmer R, en plus de P, Apparemment, le passage de e1 à e4 ne fait gagner aucune information (même ensemble de propositions vraies P et Q), il y a cependant un gain d’information qui réside en ceci que de e1 on peut passer à e3, alors que de e4, on ne le peut plus, donc l’information acquise est celle qui exclut R. P,Q,R P,Q e3 e4 P,R P,Q e1 e2 P e0

Commentaires -3 Il est préférable de ne pas interpréter V et F comme « vrai » et « faux », par exemple asserter « intuitionnistiquement » A à h ne signifie pas que A « est faux à l’instant h », mais que nous n’aurons jamais aucune preuve de A à partir de l’instant h De même, asserter«intuitionnistiquement» que AB à h ne signifie pas que A est faux ou B est vrai à h, mais que dans toute situation future (après h), chaque fois que nous aurons une preuve de A, alors nous aurons aussi une preuve de B.

Formule valide Une formule A est dite valide si et seulement si (A, e0) = V pour tout modèle  sur une structure (e0, K, ) Un modèle  sur une structure (e0, K, ) tel que (A, e0) = F est appelé un contre-modèle de A

Exemples de contre-modèles Dans ce modèle , on a: (P,e1) = V et (P,e0) = F, Puisque (P,e1) = V, (P,e0) = F, Donc (P P,e0) = F P e1 e0 Ceci est donc un contre-modèle de P P (le tiers-exclu)

Commentaire 1 Nous trouvons ainsi immédiatement un contre-modèle du tiers-exclu, ce qui signifie que celui-ci n’est pas valide en logique intuitionniste Nous ne sommes pas surpris vu que nous savons que la perspective initiale de Brouwer (fondateur de l’intuitionnisme) était justement de bannir une telle loi du raisonnement mathématique Intuitivement : à l’instant e0, nous n’avons pas encore prouvé P, nous ne pouvons pas non plus asserter P puisqu’il reste la possibilité que nous gagnions plus tard assez d’information pour aller vers e1 et ainsi pouvoir asserter P.

Commentaire 2 Cette même structure permet de réfuter:  P  P En effet (P  P,e0) = F pour les raisons suivantes: (P,e0) = V puisque (P,e0) = (P,e1) = F Mais (P,e0) = F, donc (P  P,e0) = F

Exercices Prouver que la structure suivante réfute: (PQ) P  Q (P  Q)  (Q  P) P Q

Trouver une structure permettant de réfuter (P Q)  (Q  P) (P  Q)  (P  Q) P  P