Le calcul au cycle 3.

Circulaire Le décret du 11 juillet 2006, relatif au socle commun de connaissances et de compétences, fait de l’enseignement des éléments de mathématiques un enseignement fondamental et associé à la culture scientifique et technologique, comme l’avait souhaité le Haut Conseil de l’éducation. Le texte précise : “La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s’acquiert et s’exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité”. Cependant, les évaluations à l’entrée de la classe de sixième montrent que les performances des élèves sont insuffisantes en calcul. Or l’activité mathématique n’acquiert tout son sens que si elle peut s’appuyer sur une connaissance solide et un savoir-faire assuré des différentes formes de calcul. L’objet de la présente circulaire est de rappeler la place prépondérante du calcul dans l’apprentissage des mathématiques et de préciser les orientations pédagogiques qui découlent de cette exigence. Un arrêté modificatif du programme de l’école explicitant les objectifs attendus par cycle, définissant une progression et mettant en correspondance le texte actuellement en vigueur avec le socle commun de connaissances et de compétences entrera en application à la rentrée de l’année scolaire 2007-2008.

1 - Les objectifs de l’enseignement du calcul L’enseignement du calcul doit viser à donner aux élèves des outils qui leur permettent de mieux appréhender le monde, de résoudre des problèmes de la vie quotidienne et d’entrer dans l’univers des mathématiques. Il doit placer les élèves dans des situations qui appellent la mobilisation des connaissances, leur entraînement et leur consolidation, leur mise en œuvre dans des situations nouvelles. L’enseignement du calcul doit associer étroitement la construction du sens des opérations et l’acquisition des diverses techniques opératoires qui se confortent et se renforcent l’une l’autre. Ce travail commencé à l’école se poursuivra au collège.

2 - Les fondements de l’apprentissage mathématique sont posés dès l’école maternelle Très tôt, l’enfant manifeste des compétences relatives aux quantités et à leur expression par des nombres. L’acquisition de la suite orale des nombres commence dès la petite section de la maternelle et se poursuit en moyenne et grande sections. L’apprentissage de la comptine numérique et la mise en place de la capacité à dénombrer doivent faire l’objet d’une attention particulière. Des activités sont proposées aux enfants pour faire trouver le nombre d’objets que contiendra une collection après un ajout ou un retrait. Des problèmes simples peuvent aussi les conduire à déterminer combien d’objets il faut ajouter ou retirer à une collection pour obtenir un nombre donné. Les situations de partage équitable ou de distribution sont aussi l’occasion d’une approche implicite du sens de la division.

3 - À l’école élémentaire : calcul mental, calcul posé, calcul instrumenté L’enseignement du calcul à l’école élémentaire doit prendre en compte les trois formes usuelles que sont le calcul mental, le calcul posé et le calcul instrumenté. L’apprentissage du calcul est aussi inséparable de la résolution de problèmes qui offre le moyen d’assurer l’appropriation du sens des opérations. Le calcul mental doit faire l’objet d’une pratique quotidienne d’au moins 15 minutes L’entraînement au calcul mental doit être quotidien dès le CP et se prolonger tout au long de l’école élémentaire. Il s’appuie sur la connaissance parfaite de la table d’addition puis de la table de multiplication. Les maîtres alternent les moments d’entraînement et ceux qui permettent de concevoir des méthodes et de comparer leur efficacité. Les premiers permettent aux maîtres et aux élèves eux-mêmes de contrôler les acquisitions et de renforcer les acquis. Ils sont brefs et peuvent se pratiquer selon le procédé La Martinière. Les seconds sont plus longs : le maître prend le temps de comparer avec les élèves diverses méthodes, de voir lesquelles sont les plus efficaces et de les analyser en vue de leur systématisation. Le calcul mental est l’occasion d’utiliser des propriétés sur les opérations : pour calculer 4 x 26, on peut choisir d’effectuer 4 x 25 4 x 1, ou aussi 26 x 2 x 2, ou encore 4 x 20 + 4 x 6. Trois objectifs dans l’enseignement du calcul mental, prolongés au collège, sont ainsi mis en évidence : l’automatisation des calculs simples, la mise en place de méthodes pour les calculs plus complexes d’une part et pour le calcul approché d’autre part. Cet enseignement prend appui sur l’intérêt et le plaisir des élèves à apprendre et à constater leurs progrès.

Le calcul posé La maîtrise d’une technique opératoire pour chacune des opérations est indispensable. Le travail de construction et d’appropriation de ces techniques fait appel à de nombreuses propriétés du système d’écriture des nombres (numération décimale de position). L’apprentissage doit être conduit avec le souci qu’en soit assurée la compréhension. L’objectif d’automatisation des procédures repose sur une pratique progressive, régulière et bien comprise du calcul. Dans tous les cas, les élèves doivent être entraînés à utiliser des moyens de contrôle des résultats de leurs calculs. Comme l’a rappelé l’Académie des sciences, l’enseignement du calcul doit se faire selon une gradation en complexité entre maternelle et fin d’école primaire. Ainsi, au cycle 2 les élèves apprennent à effectuer des additions, des soustractions, des multiplications sur des petits nombres ; dès ce niveau, la division de deux nombres entiers simples est introduite à partir de situations concrètes en liaison avec l’apprentissage de la multiplication. La maîtrise des techniques opératoires des quatre opérations - addition et soustraction de nombres entiers et décimaux, multiplication de deux nombres entiers ou d’un nombre décimal par un nombre entier, division euclidienne de deux entiers - est un objectif important du cycle 3. À ce niveau, une première approche de la division décimale peut être faite en introduisant le quotient décimal d’un nombre entier par 2, 4 et 5.

La place du calcul instrumenté : la calculatrice doit faire l’objet d’une utilisation raisonnée Le calcul instrumenté est largement répandu dans la vie courante. Chacun, quelle que soit son activité sociale ou professionnelle, peut avoir recours à l’usage d’une calculatrice. Il est donc essentiel que l’école soit en prise avec cette réalité de notre temps. L’enseignement du calcul doit donc faire une place à l’usage des calculatrices. Chaque élève doit disposer d’un tel outil et c’est à l’enseignant de choisir, en fonction de la progression adoptée et de la complexité des calculs, les situations pour lesquelles l’élève peut y avoir recours. La calculatrice sera notamment utilisée pour des grands nombres, pour des séries de calcul, pour des vérifications. Il est néanmoins très important de montrer aux élèves que si le recours à la calculatrice peut se révéler nécessaire pour certains calculs complexes, il est d’autres situations dans lesquelles le calcul mental s’avère plus rapide et plus efficace. On veillera à la vérification des résultats obtenus et on montrera à l’élève qu’il doit toujours y être attentif, par exemple en calculant mentalement un ordre de grandeur.

4 - La liaison avec les autres disciplines et les situations-problèmes La pratique du calcul ne s’effectue pas seulement pendant les temps de mathématiques. Toute occasion doit être saisie pour mettre en œuvre ce qui a été appris et le consolider. Les situations de la vie courante, de la vie de classe sont privilégiées. Les élèves sont, par exemple, invités à calculer pour résoudre des problèmes liés à la vie de l’école : une sortie scolaire (distances à parcourir selon les itinéraires, dépenses à prévoir, recettes à trouver), une fête et les dépenses qu’elle engage, les besoins de la classe (acquisitions de livres, de cahiers, etc.), des travaux d’aménagement qui appellent des calculs d’aires, de périmètres, des représentations, etc. Les diverses disciplines offrent également de multiples occasions de calculer. En sciences expérimentales, en histoire ou en géographie. La pratique de jeux mathématiques et de jeux qui sollicitent et stimulent le raisonnement logique, comme les échecs - sans que ces approches par le jeu n’empiètent sur le temps incompressible dévolu au calcul - contribue aussi à la formation mathématique des élèves et doit donc être encouragée. Des situations problèmes nécessitant un tri de données, l’organisation réfléchie des calculs, une présentation cohérente sont proposées régulièrement. Elles permettent de placer les élèves dans des situations de recherche et les conduisent à expliciter et à justifier les solutions qu’ils proposent. L’attention portée aux démarches et aux erreurs éventuelles est essentielle.

Les différents moyens de calcul. Trois moyens de calcul à la disposition des élèves: - le calcul mental (automatisé ou réfléchi)  15minutes par jour - le calcul posé (techniques opératoires); - le calcul instrumenté (calculatrice ou ordinateur). Dans la vie courant, comme dans la vie professionnelle, le calcul instrumenté à largement remplacé le calcul posé.

Les deux formes de calcul mental: automatisé ou réfléchi. Le calcul automatisé Ses objectifs: automatiser des calculs simples; mémoriser certains résultats pour faciliter la mise en place des techniques de calcul; connaître les tables. Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper la place principale à l’école élémentaire.

Des points d’appui pour la mémorisation: Le calcul automatisé: Des points d’appui pour la mémorisation: Une bonne représentation des nombres Les représentations des nombres sont intériorisées en prenant appui sur des représentations imagées ou symboliques. Ces représentations, figuratives ou symboliques, ne concernent pas seulement chaque nombre séparément, mais impliquent également des relations entre les nombres entiers dont l’ensemble est principalement structuré par deux rythmes. Le premier est la succession qui organise la suite verbale des noms de nombres. Le second est créé par la numération chiffrée en base dix. Les représentations des nombres sont intériorisées en prenant appui sur des représentations imagées ou symboliques. Dans les premières, on trouve les constellations (dés, dominos, jeu de cartes) ou les figurations à l’aide des doigts. Les secondes sont liées aux codages issus des systèmes de numération, chiffrée ou verbale. Il est donc important, dans les premiers apprentissages des nombres, de consolider les images mentales des « petits nombres », à partir de leurs représentations sous forme de constellations. De même, les nombres compris entre cinq et dix doivent être mis en relation avec leurs décompositions par rapport à cinq (la capacité à afficher instantanément un nombre inférieur à dix avec leur dix doigts est pour cela une aide précieuse) ou avec leurs compléments à dix.

Points d’appui pour la construction des résultats additifs : Le calcul automatisé: Points d’appui pour la construction des résultats additifs : • utilisation de la suite numérique, par surcomptage ; • appui sur les doubles connus : 5 + 4, c’est 1 de plus que 4 + 4 ; • utilisation de la commutativité de l’addition : 2 + 9 c’est comme 9 + 2 ; • utilisation du passage par la dizaine : pour calculer 8 + 5, on « complète à dix » on ajoute d’abord 2 à 8 puis 3 à 10 (ce qui suppose de connaître les compléments à 10 et les décompositions additives des nombres inférieurs à 10). Points d’appui à mettre en place au cycle 2; l’objectif est bien que, au début du cycle 3, les élèves soient capables de fournir instantanément tous les résultats des tables d’addition, ainsi que les différences et les compléments associés.

Le calcul automatisé: Points d’appui pour la construction des résultats multiplicatifs: • les résultats rapidement connus des tables de 2 et de 5 ; • le comptage de n en n pour retrouver un résultat à partir d’un résultat mémorisé ; • la connaissance des carrés, souvent bien maîtrisés ; • la commutativité de la multiplication ; • le fait que multiplier par 4, c’est doubler deux fois ou que multiplier par 6 revient à tripler, puis doubler ; • des particularités et des régularités repérées dans la table de Pythagore, par exemple le fait de multiplier un nombre par 9 revient à prendre le prédécesseur de ce nombre comme chiffre des dizaines et le complément à 9 de ce dernier comme chiffre des unités (6 × 9 = 54 : 5 c’est 6 –1 et 5 + 4 = 9).

Des points d’appui pour la mémorisation: Le calcul automatisé: Des points d’appui pour la mémorisation: Une bonne compréhension des opérations en jeu; La prise de conscience de l’intérêt à disposer d’un répertoire de résultats; La prise de conscience, pour l’élève, du fait que certains résultats sont mémorisés et qu’un répertoire mental est en train de se constituer; La capacité à utiliser ce qu’on sait pour obtenir d’autres résultats; L’entraînement des résultats mémorisés. Une bonne compréhension des opérations en jeu: l’élève doit avoir une bonne représentation des nombres (consolider l’image mentale des nombres, travailler sur les nombres et leur décomposition ou leur complément). L’élève est capable de calculer 4+3 parce qu’il est capable d’évoquer 4 objets réunis avec 3 ou qu’il sait que le résultat est le nombre qui est situé « trois après quatre » sur la bande numérique. L’addition a du sens pour lui. Disposer d’un répertoire de résultats: ds un premier temps, l’enseignant peut recenser les résultats au fur et à mesure qu’ils sont élaborés, les noter sur une affiche et permettre aux élèves d’y recourir. Peu à peu, ce répertoire est organisé, complété et structuré en tables. Mémorisation de certains résultats: pour l ’addition, il est souvent limité au début à la connaissance des doubles et à la prise de conscience qu’ajouter 1, revient à dire le nombre suivant. Capacité à utiliser ce qu’on sait: «6 x 8 c’est huit de plus que 5 x 8. La mise en place de points d’appui est importante: les doubles, décomposition en appui sur le nombre 5, complément à 10; carré, tables de 2, de 5. Entraînement des résultats mémorisés: la mémorisation est favorable par l’entraînement et par la diversité des représentations mises en jeu. Connaître ses tables, c’est aussi être capable d’exploiter cette connaissance pour donner un résultat connexe. Connaître 7 × 6, c’est être capable de répondre 42 immédiatement, mais c’est également pouvoir répondre immédiatement à « quel nombre multiplié par 7 donne 42 ? », « quel nombre multiplié par 6 donne 42 ? », « 42 divisé par 7 », « 42 divisé par 6 » ou encore à produire très vite 7 × 6 et 6 × 7 lorsque sont demandées des décompositions multiplicatives de 42.

Quelques écueils à éviter: Le calcul automatisé: Quelques écueils à éviter: -la répétition verbale rituelle des tables dans l’ordre; le recours systématique aux doigts; la mise à disposition de moyens permettant de visualiser l’opération correspondante. Dans les moments de calcul mental, il n’est pas opportun de mettre à disposition des élèves des jetons, des cubes comme aide au calcul: il n’y aurait plus de calcul mental!

Le calcul réfléchi: Ses objectifs: élaborer des procédures adaptées aux calculs proposés; apprendre à s’appuyer sur des résultats mémorisés; permettre de mémoriser certaines procédures ou de découvrir certains résultats qui seront ensuite mémorisés. La démarche: -les procédures sont expliquées, confrontées, justifiées du point de vue de leur pertinence et leur efficacité; -aucune procédure n’est imposée, on signale seulement les procédures les plus efficaces; -chaque séance se conclut par une brève synthèse de l’enseignant.

Diversité des procédures: Le calcul réfléchi Diversité des procédures: Le calcul réfléchi est d’une autre nature que le calcul automatisé. Il s’agit d’élaborer une procédure adaptée au calcul particulier qui est proposé. D’autres représentations du nombre sont mobilisées : numération orale, numération écrite. Exemple: écrire « 92 + 15 = ? » dire « quatre-vingt-douze plus quinze? » Le calcul réfléchi est d’une autre nature que le calcul automatisé. Il ne s’agit plus de récupérer directement en mémoire un résultat ou une procédure directement applicable, mais d’élaborer une procédure adaptée au calcul particulier qui est proposé. Stratégie et raisonnement sont alors sollicités. D’autres représentations des nombres sont mobilisées, notamment celles qui sont liées à leur expression dans les deux systèmes de numération utilisés, numération chiffrée et numération orale. Ces deux numérations ne sont pas exactement superposables. La traduction chiffrée de « quatre-vingt douze » ne fait intervenir ni 4, ni 20, ni 12. C’est une première raison pour laquelle il n’est pas équivalent de proposer un calcul à faire mentalement sous la forme écrite “ 92 + 15 = ? “ et sous la forme orale « quatre-vingt douze plus quinze ». Une autre raison relève de la mémorisation : dans le premier cas, la consigne reste visible alors que dans le second elle doit être enregistrée, ce qui occupera une partie de la mémoire de travail.

Exemples de procédures pouvant être mises en place pour traiter deux calculs apparemment proches: P1 : calcul séparé de 25 x 10 et de 25 x 2, puis somme des résultats partiels. P2 : décomposition de 12 en 4 x 3, et calcul de 25 x 4, puis de 100 x 3. P3 : utilisation du fait que 25 est le quart de 100, en divisant d‘abord 12 par 4, puis en multipliant le résultat par 100 (ou multiplication de 12 par 100, puis division du résultat par 4)

25 x 19 = ? P4: calcul de 25 x 20 (directement ou par 25 x 2 x 10), puis soustraction de 25 au résultat obtenu. P5: calcul de 19 x 20 (par 19 x 2 x 10), puis de 19 x 5 (nouveau calcul réfléchi qui peut être traité par la somme de 5 x 10 et de 5 x 9 par exemple), puis somme des deux résultats partiels. Bien que 25 soit un des facteurs des deux produits, sa présence n’induit pas les mêmes stratégies de calcul et les procédures choisies dépendent des connaissances préalables des élèves à partir desquelles ils analysent les nombres en présence. Ainsi, pour utiliser P3, il faut savoir que 25 est le quart de 100, mais aussi que 12 est un multiple de 4. Pour reconnaître que P3 est difficilement applicable pour 25 × 19, il faut savoir que 19 n’est pas un multiple de 4… Par ailleurs, un calcul réfléchi effectué mentalement mobilise une partie de la mémoire de travail, éventuellement pour le maintien de l’énoncé (s’il est donné sous forme orale), et dans tous les cas pour la représentation des règles de calculs et la mémorisation de résultats intermédiaires. Une cause possible d’erreur de calcul provient de la saturation de la mémoire de travail. Ce risque de saturation peut être diminué en autorisant les élèves à noter des résultats intermédiaires ou, dans certains cas, en notant au tableau le calcul à effectuer. Mais il ne faut pas oublier que le calcul mental privilégie le traitement des nombres conçus du point de vue de la numération orale :l’énoncé oral des calculs à effectuer est donc à privilégier.

Test de calcul et de lecture rapide: Ceci est un calcul à faire mentalement et rapidement, n’utilisez ni calculette ni stylo et papier. Prendre 1000 et y ajouter 40. Ajouter 1000. Ajouter encore trente et à nouveau 1000 Ajouter 20. Ajouter 1000, puis 10. Quel est le total ? Vous avez trouvé 5000 ? La réponse juste est 4100, refaites le calcul! En fait la séquence décimale confond notre cerveau qui saute « naturellement » vers la plus haute décimale (centaine au lieu des dizaines)…

Cas du calcul approché: Il faut choisir une procédure de calcul, mais, de plus, il faut décider de l’approximation voulue (si elle n’est pas donnée) et choisir les arrondis pour chaque nombre intervenant dans le calcul. Recherche d’une approximation pour 439 x 17 = ? 400 x 20 ? 450 x 20 ? 500 x 15 ? Chacun d’entre eux fournit une approximation acceptable si on se contente d’avoir un résultat à environ 500 près. Pourtant ces calculs sont a priori très différents. C’est pourquoi les premiers exercices de calcul approché peuvent être centrés sur la détermination du choix d’un résultat plausible (ou de plusieurs) parmi un ensemble de résultats fournis ou sur le repérage d’un nombre rond proche du résultat, sur la droite numérique, ce qui revient à déterminer un ordre de grandeur du résultat. Entraîner les élèves à évaluer les effets prévisibles des choix effectués constitue une autre dimension du calcul approché qui, moins encore que le calcul réfléchi « exact », ne peut être mécanisé. Sa pratique, dans les deux dernières années du cycle 3, est pourtant importante pour entraîner les élèves à contrôler les résultats qu’ils obtiennent par un calcul instrumenté ou par un calcul posé.

Les séances de calcul mental en classe A quels moments? Des moments spécifiques; Dans le cadre de toutes activités de classe. Sous quelle forme? Des activités collectives; Des activités de groupe; En ateliers. Avec quel objectif ? Apprentissage en calcul réfléchi: ce qui compte, c’est la procédure; Entraînement et/ou évaluation, calcul automatisé: ce qui compte, c’est le résultat, puis le résultat et la rapidité; Résolution de problèmes, vérification des acquis. Avec quel objectif? Découvrir et travailler les procédures de calcul réfléchi (exact ou approché) en gal en grand groupe; laisser temps de recherche (sans application immédiate d’une démarche unique imposée) + confrontation des procédures (discuter, justifier) + avantages/désav. = méthodes privilégiées mise au point collectivement GDE IMPORTANCE DES PHASES D’ECHANGES. Possibilité faire appel à matériel et passage par écrit pour éviter la saturation de la mémoire de W. Pour entretenir, consolider et contrôler la mémorisation des résultats et l’automatisation des procédures: débute par activité facile pour focaliser l’attention- consigne orale- réponse petit gpe orale, gg gpe écrit – procédé Lamartinière. Pour vérifier en position différée (résolution de petits problèmes) si élève sait mobiliser connaissances de mémo/ procédures et/ou pour faire progresser vers des nouvelles procédures et sens des opérations- pas d’objectif de rapidité.

Objectifs pour le cycle 3: Domaine de l’addition et de la soustraction: Calcul automatisé: maîtriser le répertoire additif (tables d’addition) :sommes de deux nombres entiers inférieurs à 10,compléments, différences et décompositions associés; - ajouter ou retrancher entre elles des dizaines, des centaines, des milliers… ; calculer les compléments correspondants; - calculer, avec des nombres entiers, des sommes, des différences ou des compléments du type 200 + 70, 270 –70, 200 pour aller à 270, ou 2 000 + 37, 2 037 – 37, 2 000 pour aller à 2 037… - ajouter ou soustraire un nombre entier (inférieur à dix) d’unités, de dizaines, de centaines, de milliers… à un nombre quelconque, dans des cas sans retenue et dans des cas avec retenue;

- calculer les compléments d’un nombre entier à la dizaine supérieure; - calculer les compléments à 100 et à la centaine supérieure pour des nombres entiers dont le chiffre des unités est 0; - connaître les relations additives entre multiples de 25 inférieurs à 100 ou de multiples de 250 inférieurs à 1000; - calculer certaines sommes de deux nombres décimaux (avec un chiffre après la virgule), en particulier ajouter un entier et un décimal; - décomposer un nombre décimal en utilisant l’entier immédiatement inférieur; - calculer les compléments à l’unité supérieure de nombres ayant un chiffre après la virgule; - connaître quelques relations entre certains nombres entiers et décimaux.

ajouter ou soustraire des nombres entiers ronds; Calcul réfléchi: ajouter ou soustraire des nombres entiers ronds; - calculer des sommes de plusieurs nombres entiers en regroupant des termes « qui vont bien ensemble » ; calculer des sommes et différences de nombres entiers de 2 chiffres (ou dont le calcul peut s’y ramener); - calculer des sommes ou des différences de nombres décimaux dans des cas simples; calculer le complément d’un nombre décimal ayant deux chiffres après le virgule au nombre entier immédiatement supérieur; - évaluer un ordre de grandeur, en utilisant un calcul approché : sommes de deux ou plusieurs nombres entiers ou décimaux, différences de deux nombres entiers ou décimaux. Au cycle 3, la frontière entre calcul automatisé et calcul réfléchi n’est pas toujours facile à préciser. A un même moment, elle peut varier d’un élève à l’autre et, surtout, elle se modifie au cours du cycle. Ainsi, certains calculs placés dans la rubrique précédente sont d’abord traités par les élèves à l’aide d’un raisonnement avant d’être automatisés. Il ne faut pas oublier que l’automatisation est le résultat d’un travail qui allie compréhension, raisonnement, explications et entraînement, ce dernier n’étant pas le seul élément de la mise en mémoire de résultats ou de procédures. Comme pour le cycle 2, il faut souligner trois points importants : - la liste des calculs qui relèvent du calcul réfléchi ne peut pas être exhaustive et celle qui est donnée ici peut donc être adaptée par les enseignants ; - les procédures pour traiter un même calcul sont diverses et les élèves doivent pouvoir choisir celle qui, de leur point de vue, est la mieux adaptée : elle dépend de leurs connaissances disponibles sur les nombres et les opérations en jeu. - l’explicitation des procédures et le débat organisé autour de leur validité favorise les progrès des élèves. Enfin, se met en place au cours du cycle 3, un nouveau travail dont le but est de les rendre capables d’estimer l’ordre de grandeur d’un résultat (calcul approché) qui suppose des compétences de nature nouvelle : accepter d’avoir des estimations différentes également acceptables, choisir les nombres sur lesquels on va calculer en fonction de l’ordre de grandeur de l’estimation recherchée, déterminer cet ordre de grandeur dans une situation donnée.

Domaine de la multiplication et de la division: Calcul automatisé: - maîtriser le répertoire multiplicatif (tables de multiplication) : produits de deux nombres inférieurs à 10, recherche d’un facteur, quotients et décompositions associés; - utiliser la connaissance des tables pour répondre à des questions du type « Combien de fois 8 dans 50 ? » ou « Diviser 50 par 8 »; - situer un nombre entre deux résultats d’une table de multiplication - multiplier et diviser par 10, 100, 1000… sur les nombres entiers calculer des produits du type 30 x 4, 400 x 8, 20 x 30 et les quotients correspondants; -connaître et utiliser les relations entre des nombres « repères » : 100, 1000 et 60 et leurs diviseurs;

- multiplier et diviser par 10, 100… dans l’ensemble des nombres décimaux - connaître les relations entre certains nombres décimaux, comme 0,25 ; 0,5 ; 0,75 et 1 ou 2,5 ; 5 ; 7,5 et 10. Calcul réfléchi: -calculer les doubles, moitiés des nombres entiers inférieurs à 100 (résultats entiers) ou de nombres plus grands, lorsque le calcul reste simple; - calculer les quadruples et quarts des nombres entiers inférieurs à 100 (résultats entiers) ou de nombres plus grands, lorsque le calcul reste simple; - multiplier et diviser par 5, par 20, par 50;

- multiplier un nombre par des nombres comme 11, 12, 9, 19, 21, 15, 25… - décomposer un nombre sous forme de produits de deux ou plusieurs facteurs; - calculer mentalement un quotient et un reste entiers dans des cas simples de division d’un nombre entier par un nombre entier; - évaluer l’ordre de grandeur d’un produit ou d’un quotient (sur les nombres entiers) par un calcul approché; - utiliser la connaissance des tables pour calculer des produits simples d’un nombre décimal par un nombre entier.

Des exemples d’activités et de supports: Tableaux de nombres: Barrer les paires de nombres dont la somme est 7. Quel nombre reste-t-il?

Cascades: Chaque case contient le produit des nombres situés au-dessus d’elle, il s’agit de trouver les nombres qui manquent dans les grilles.

Jeu des carrés: Il s’agit d’entourer les carrés de quatre cases dont la somme est définie au départ. Attention des carrés peuvent se chevaucher. Carré de 20

Carré de 100

Carré de 10 (décimaux)

Le chat et la souris (calculs additifs et soustractifs) Nombre de joueurs et durée : 2 joueurs 3 à 5 minutes Matériel : Une feuille de marque ( cf doc joint) ; chacun des joueurs dispose de la liste des nombres naturels de 1 à 9 ; ceux-ci sont rayés au fur et à mesure de leur utilisation. But du jeu Pour le chat, attraper la souris ; pour la souris, se réfugier dans son trou. Règles 1) Un joueur est le chat ; au départ il est en 1. L’autre joueur est la souris ; au départ elle est en 30 et doit essayer de rejoindre son trou situé en 0.

2) La souris joue la première ; elle choisit pour cela l’un des nombres naturels dont elle dispose, le raye, le soustrait de 30 et inscrit le résultat au-dessous. C’est ensuite le tour du chat qui choisit lui aussi un de ses naturels de 1 à 9, le raye, l’ajoute à 1 et écrit le résultat au-dessous. 3) Ensuite, chaque joueur, à tour de rôle, choisit l’un des nombres naturels encore disponibles, l’ajoute ou le retranche au dernier nombre qu’il a inscrit dans sa colonne, et place le résultat au-dessous. 4)Le chat n’a pas le droit d’aller en 0 ; ni le chat ni la souris n’ont le droit de dépasser 30. 5) La partie s’arrête dans l’un des cas suivants : - Après avoir joué, le chat atteint le nombre où est arrivé la souris au coup précédent ; il a gagné. (Attention , on n’arrête pas la partie quand la souris arrive sur la position du chat). - La souris réussit à se placer en 0 ; elle a gagné. - Les deux joueurs ont épuisé leurs nombres sans que l’une des éventualités précédentes se soit produite ; la partie est nulle.

Exemples:

Le calcul posé. Les différents textes insistent sur le fait qu’aujourd’hui l’apprentissage des techniques de calcul posé ne se justifie plus par leur utilisation effective dans la société, mais doit être centré sur deux objectifs essentiels : - une maîtrise de ces techniques, dans des cas simples, permet aux individus de mieux apprécier l’efficacité des instruments qu’ils utilisent ; - un travail visant à la construction, à l’analyse et à l’appropriation de ces techniques conduit à utiliser et combiner de nombreuses propriétés relatives au système d’écriture des nombres (numération décimale de position) et aux opérations en jeu ; en retour, ce travail assure une meilleure maîtrise de ces propriétés.

1. Addition posée Trois origines possibles peuvent être dégagées pour les erreurs relevées: maîtrise insuffisante des tables, mauvaise gestion des retenues, disposition « en étages » ne respectant pas l’alignement des chiffres de même valeur. Cette dernière difficulté apparaît plus fréquemment dans le cas des nombres décimaux, ce qui témoigne d’une compréhension insuffisante des écritures à virgule. 2. Soustraction posée - il existe plusieurs techniques possibles dont les fondements ne reposent pas sur les mêmes principes ni, par conséquent, sur les mêmes connaissances ; - les connaissances qui permettent de justifier ces techniques sont plus nombreuses et plus complexes que dans le cas de l’addition ; - les différences ou les compléments élémentaires (relevant des tables) sont souvent moins disponibles que les sommes ;

Soustraction posée (suite) - une difficulté supplémentaire apparaît dans le cas des nombres décimaux lorsque la partie décimale du premier terme comporte moins de chiffres que celle du second. Trois techniques pratiquées : Le choix de l’une de ces techniques par l’enseignant suppose une conscience claire des justifications qui sous-tendent chacune d’elles de façon à adapter les étapes de l’apprentissage. Le calcul s’effectue toujours de droite à gauche. Les trois techniques sont expliquées dans le document d’accompagnement. Le choix d’une technique relève de l’équipe du cycle 3.

3. Multiplication posée L’analyse des réponses aux évaluations nationales montre que les erreurs dues à une connaissance insuffisante des tables de multiplication sont nettement plus nombreuses que celles qui peuvent être attribuées à la maîtrise de la technique. La compréhension de la technique usuelle de la multiplication nécessite la coordination de plusieurs types de connaissances : - tables de multiplication ; - numération décimale pour la gestion des retenues, dans les multiplications intermédiaires puis dans l’addition finale ; - règle des 0 : passage du résultat de la multiplication d’un nombre par 3 à la multiplication de ce même nombre par 30, par 300… ; - distributivité de la multiplication sur l’addition.

4. Division posée Il s’agit d’un calcul « à risque », insécurisant, dans la mesure où un chiffre essayé au quotient n’est jamais absolument certain. C’est également le seul calcul où l’estimation intervient en cours de calcul, alors que, pour les autres opérations, elle intervient soit au début, soit à la fin comme instrument de prévision ou de contrôle. Il faut également souligner le peu d’usage qui est actuellement fait de cette technique… et en tirer la conséquence : plus encore que pour les autres opérations, le travail doit être principalement orienté vers la compréhension de l’articulation des différentes étapes du calcul.

Utiliser les calculatrices en classe Au cycle 3, la calculatrice doit devenir un outil de calcul banalisé. La meilleure solution consiste donc à la mettre à la disposition des élèves dès le début de l’année scolaire, au même titre que tous les autres instruments utilisés par les élèves, après avoir consacré une séance à une familiarisation. Dans certaines circonstances, lorsque les apprentissages visés le nécessitent, l’enseignant en interdit l’usage (par exemple, pour mettre en place une technique écrite de calcul). Certaines fonctionnalités des calculatrices utilisées par les élèves font l’objet d’un apprentissage spécifique. En particulier, un travail doit être fait à propos de la division.

Au cycle 3 Dans le prolongement du cycle 2, l’objectif essentiel est de rendre les élèves progressivement responsables du choix du moyen de calcul à utiliser dans telle ou telle circonstance, en particulier de faire le choix d’utiliser le calcul mental (exact ou approché) chaque fois que son usage permet de traiter la tâche proposée. La calculatrice, outil de calcul dans la résolution de problèmes… Trois pistes d’utilisation sont suggérées : a) La calculatrice est à la disposition de tous les élèves, et ils en ont la libre utilisation pour obtenir des résultats, lorsque les calculs à réaliser ont été déterminés. C’est le cas, notamment, dans les problèmes “ à étapes ”, chaque fois que la taille des nombres ne permet pas le recours au seul calcul mental.

Trois pistes d’utilisation sont suggérées (suite) : b) La calculatrice est un outil de différenciation, mise à disposition des élèves qui ont des difficultés pour effectuer, par eux-mêmes, les calculs nécessaires. Elle peut leur éviter “ la peur du calcul ” qui freine leur raisonnement ou leur en fait perdre le fil et, même, pour certains, provoque le refus d’écrire un calcul qu’ils savent pertinent, mais qu’ils n’osent pas écrire parce qu’ils ne savent pas le mener à son terme. c) La calculatrice est un outil d’investigation. Par exemple, dans un problème comme “ Existe-t-il trois nombres qui se suivent et dont la somme est égale à 771 ? ”, son usage facilite le recours à une procédure par essais et ajustements.

L’utilisation de la calculatrice nécessite un véritable apprentissage La calculatrice n’est pas un outil miracle qui résout toutes les difficultés. Si son utilisation pour résoudre des problèmes ne fait pas l’objet d’un apprentissage explicite, elle peut même être à la source de nouvelles difficultés. Il est en effet nécessaire de conduire un travail avec les élèves.