QUI envoyer au tableau ? Laissons faire le hasard Auteur : Alain Stenger

Situation problème Je souhaite choisir un élève au hasard à partir de ma liste numérotée d’élèves. Pour cela j’utilise la fonction RAND de ma calculatrice. Cette fonction me donne un nombre aléatoire entre [0,1[

Exemple

Choisir un numéro dans une liste

Choisir un numéro dans une liste Tous mes élèves ont-ils la même chance de passer au tableau ? Pour répondre à cette question, nous allons faire une simulation avec un tableur.

Simulation avec un tableur Nous allons faire une simulation avec le logiciel Excel. Rappel de 2 fonctions utiles d’Excel: =ALEA() donne un nombre aléatoire entre 0 et 1. =ARRONDI(A1;0) arrondi le nombre de la cellule A1 avec 0 chiffre après la virgule.

Simulation avec un tableur Autres fonctions : =NB.SI(A5:A12;"1") compte le nombre de fois que la valeur « 1 » est apparue pour les cellules A5 à A12.

Choisir un numéro dans une liste Sachant que j’ai une classe de 12 élèves. La fonction RAND me donne un nombre aléatoire entre 0 et 1 que je multiplie par 12. Il me reste à arrondir le nombre obtenu à l’entier le plus proche.

Simulation avec un tableur Dans un premier temps, on fera 15 tirages. On classera les résultats dans un tableau à 3 colonnes Rang de l’élève de 1 à 12 Effectifs Fréquences

Simulation avec un tableur PROBLEMATIQUE : Sachant qu’on a une liste numérotée de 1 à 12, est il préférable de multiplier le nombre aléatoire par 12 ou par 13 ?

Simulation avec un tableur ATTENTION : Les valeurs 0 et 13 ne sont pas comptées dans nos effectifs.

Situation 1 : Rand*12

Exemple de résultats pour 15 tirages Rang de l'élève Effectifs Fréquence 1 0,067 2 0,000 3 4 0,133 5 6 0,200 7 8 9 10 11 12 TOTAL: 15

Exemple de résultats pour 50 tirages Rang de l'élève Effectifs Fréquence 1 2 0,041 3 0,061 4 7 0,143 5 6 0,082 8 0,102 9 10 0,122 11 0,163 12 0,020 TOTAL: 49

Situation 1 : Rand*12 On constate que les fréquences sont encore très dispersées. Pour 15 ou 50 tirages, on ne peut rien conclure.

Exemple de résultats pour 1000 tirages Rang de l'élève Effectifs Fréquence 1 85 0,089 2 99 0,104 3 70 0,073 4 95 0,099 5 78 0,082 6 7 81 0,085 8 9 10 11 74 0,077 12 46 0,048 TOTAL: 956

Situation 1 : Rand*12 A partir de 1000 tirages, on constate que la valeur 12 est nettement plus rare que les autres. Pourquoi ? Essayez de vérifier ce résultat pour 10 000 et 60 000 tirages

Situation 1 : Rand*12 Essayez de vérifier vos hypothèses pour 10 000 et 60 000 tirages

Exemple de résultats pour 10 000 tirages Rang de l'élève Effectifs Fréquence 1 853 0,089 2 819 0,086 3 840 0,088 4 855 5 844 6 864 0,090 7 832 0,087 8 797 0,083 9 787 0,082 10 865 11 799 12 419 0,044 TOTAL: 9574

Exemple de résultats pour 60 000 tirages Rang de l'élève Effectifs Fréquence 1 4980 0,087 2 4833 0,084 3 4933 0,086 4 4995 5 5052 0,088 6 5065 7 5038 8 4964 9 5124 0,089 10 4986 11 4954 12 2566 0,045 TOTAL: 57490

Conclusion : situation rand*12 Le nombre 12 a deux fois moins de chance de sortir que les autres. Cette situation n’est pas acceptable. Comment corriger cette situation ?

Situation 2 : Rand*13

Exemple de résultats pour 15 tirages Rang de l'élève Effectifs Fréquence 1 0,000 2 0,154 3 4 0,077 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL: 13

Exemple de résultats pour 50 tirages Rang de l'élève Effectifs Fréquence 1 2 0,043 3 0,065 0,022 4 0,087 5 6 0,109 7 8 9 0,152 10 0,130 11 12 TOTAL: 46

Exemple de résultats pour 1000 tirages Rang de l'élève Effectifs Fréquence 1 90 0,098 2 77 0,083 3 71 0,077 4 81 0,088 5 78 0,085 6 79 0,086 7 8 80 0,087 9 68 0,074 10 75 0,081 11 82 0,089 12 TOTAL: 923

Exemple de résultats pour 10000 tirages Rang de l'élève Effectifs Fréquence 1 740 0,080 2 769 0,083 3 752 0,081 4 755 0,082 5 6 734 0,079 7 795 0,086 8 9 811 0,088 10 784 0,085 11 808 12 748 TOTAL: 9234

Exemple de résultats pour 60000 tirages Rang de l'élève Effectifs Fréquence 1 4552 0,082 2 4709 0,085 3 4571 0,083 4 4529 5 4696 6 4636 0,084 7 4657 8 4539 9 4663 10 4419 0,080 11 4665 12 4752 0,086 TOTAL: 55388

Conclusion : situation rand*13 Maintenant nous avons une situation où tous les nombres ont la même probabilité de sortir. Même le dernier de la liste ! Chaque élève a la même probabilité d’être interrogée.