Nombres et Calcul au Cycle 3 Circonscription d’Evreux V Jean–Yves Mary / C.P.C

Ce qu’en disent les programmes 2008 Quatre champs d’application : Les nombres entiers naturels Les nombres décimaux et les fractions Le calcul (mental, posé, à la calculatrice) La résolution de problèmes

Compétence 3 / les principaux éléments de mathématiques Ce qu’en dit le deuxième palier du socle commun de connaissances et de compétences Compétence 3 / les principaux éléments de mathématiques L’élève est capable de : Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusqu’au centième) et quelques fractions simples Restituer les tables d’addition et de multiplication de 2 à 9 Utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et les décimaux Calculer mentalement en utilisant les quatre opérations Estimer l’ordre de grandeur d’un résultat Utiliser une calculatrice Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations

Le calcul mental

Les programmes 2008 les tables d’addition Les tables de multiplication L’entraînement quotidien au calcul mental portant sur les quatre opérations favorise une appropriation des nombres et de leurs propriétés.

Pourquoi pratiquer le calcul mental ? Il faut redonner au calcul mental une place importante parmi les activités numériques car il est un moyen tout à fait privilégié pour atteindre les objectifs suivants : Le développement de l’attention, de la concentration et de la mémoire. Une connaissance raisonnée des nombres et des opérations. La mémorisation des répertoires de base, la recherche d’ordre de grandeur, tout ce qui concourt à une bonne maîtrise du calcul écrit et du calcul rapide. L’acquisition du sens des opérations.

8 x 50 ? = 400 Quelle stratégie avez-vous employée ?

Le Calcul automatisé Il y a calcul automatisé chaque fois que nous faisons simplement appel à un résultat déjà mémorisé. Ce calcul est exécuté rapidement par réflexe. Il a tout de même fallu, avant cela, passer par une phase d'apprentissage et qu'avant d'être automatisés, ces calculs nous ont demandé souvent une importante réflexion. Le calcul automatisé est impersonnel, il est conduit de la même façon par tous les individus. Il nécessite peu d'effort car il est exécuté par réflexe. On peut l'apparenter à un exercice routinier où il suffit d'exécuter une procédure connue.

13 x 17 ? = 221 Quelle stratégie avez-vous employée ?

Une stratégie : l’associativité et la commutativité de la multiplication et de l’addition 13 x 17 = (10 + 3) x 17 = (10 x 17) + (3 x 17) = (10 x 17) + (3 x 10) + (3 x 7) = 170 + 30 + 21 = 221  Cela nécessite néanmoins de connaître par cœur un certain nombre de résultats des tables de multiplication courantes. Une autre stratégie plus rapide : les identités remarquables (a - b) x (a + b) = a² - b² (15 – 2) x (15 +2) = 15² - 2² = 225 – 4 = 221  Cela nécessite néanmoins de connaître par cœur un certain nombre de carrés

Le calcul réfléchi Il y a calcul réfléchi chaque fois que nous avons à élaborer une procédure spécifique (appelée algorithme) pour un calcul donné. Nous devons prendre pour cela des décisions personnelles. Le calcul réfléchi est très personnel. Un même calcul peut être conduit de manière très différente selon les individus, notamment en fonction de leurs connaissances sur les nombres et les opérations. Il nécessite plus d'effort que le calcul automatisé, le temps et la charge mentale sont donc plus importants.

Quelques algorithmes Ajouter 9 Ajouter 1 dizaine, retirer 1 unité Retirer 1 dizaine, ajouter 1 unité Multiplier par 10, 100,1000,… Ajouter 1, 2, 3,… zéros Multiplier par 5 Multiplier par 10, faire la moitié Multiplier par 20 Multiplier par 2 puis par 10

Conclusion sur ces deux types de calculs Tous deux nécessitent de disposer de résultats mémorisés et de connaissances sur les nombres: les tables, d'autres résultats comme par exemple : 40 +10 ; 25 x 4 ; 19 c'est 20 – 1 , etc. Selon les individus, un même calcul peut relever du calcul automatisé ou du calcul réfléchi. Cela peut dépendre du moment d'apprentissage et de la fréquentation qu'ont les individus du calcul. De plus, le calcul automatisé a forcément été, à un moment, du calcul réfléchi. Au CE1, la plupart des élèves savent que 5 + 3 = 8. Mais au CP, avant de l'avoir mémorisé, beaucoup d'enfants l'ont d'abord résolu par des procédés divers : figuration de 5 et de 3 par des objets réels ou dessinés, comptage sur les doigts, surcomptage de 3 à partir de 6 (6, 7, 8), etc.

Quelles conséquences sur les apprentissages ? Le calcul mental doit faire l’objet d’une programmation et d’une pratique régulière dès le cycle 2. Le calcul mental est d’abord un moyen efficace de calculer. Il doit donc être intégré aux autres activités. Des moments spécifiques doivent néanmoins être réservés à la pratique du calcul mental. Il convient d’alterner les moments d’entraînement et ceux qui permettent de concevoir des méthodes et de comparer leur efficacité.

Quelles conséquences sur les apprentissages ? Parler de calcul mental ne signifie pas que tout se passe sans écrire. Ce qu’on désigne sous le terme de calcul écrit (“l’opération posée”) requiert la connaissance des tables et la gestion des retenues, donc du calcul mental. Il ne dispense donc pas de calculer mentalement, bien au contraire ; la technique écrite française traditionnelle de la division, avec ou sans les soustractions intermédiaires requiert de nombreux traitements mentaux. Le déficit de maîtrise du calcul mental fragilise gravement l’apprentissage des techniques écrites.

Une proposition de séance Les travaux de F.Boulei et D.Butlenii proposent d’organiser les séances de calcul mental (automatisé, réfléchi) autour de trois temps forts : La phase d’échauffement, très brève, pour mettre les élèves en condition d’écoute et de concentration,ne présentant aucune difficulté technique pour permettre un démarrage de tous les élèves. La phase d’entraînement, avec des calculs simples, en jouant sur les différentes variables en jeu, elle fait appel à des connaissances ou des procédures qui doivent être directement disponibles et rappelées éventuellement pendant la correction. La phase de calcul raisonné , plus complexe, où plusieurs procédures sont possibles , la correction permettra de les confronter et de faire apparaître éventuellement la plus adaptée.

La séance de calcul réfléchi Elle peut être décomposée en 3 phases : 1. Une phase de découverte Durant celle-ci, on incite les enfants à expliciter les démarches qu’ils utilisent. On fait participer le maximum d’enfants. On propose des contre-exemples pour démonter les procédures qui ne sont pas efficaces.

La séance de calcul réfléchi 2. Une phase d’appropriation : durant laquelle les procédures utilisées sont données par les enfants. On doit à ce moment de la séquence obtenir essentiellement des procédures efficaces. 3. Une phase d’entraînement : Les calculs se succèdent en augmentant le rythme. A chaque calcul une procédure est proposée par le maître ou un élève. Les erreurs sont systématiquement analysées.

pour construire des compétences en calcul mental… Quelques jeux pour construire des compétences en calcul mental…

« Le quinze vainc » 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Une bande est constituée de 9 cases contenant les nombres de 1 à 9. 2 joueurs jouent à tour de rôle. Chacun pose un pion de sa couleur sur une case. Une case ne peut contenir qu'un seul pion. Le premier qui couvre 3 nombres différents dont la somme est 15 a gagné. Par exemple : David joue 7 alors Julie joue 8, puis David joue 2. Alors Julie joue 6 puis David joue 1. Julie joue 4. David essaie de bloquer en jouant 5 (car 6+4+5=15) mais alors Julie joue 3 et gagne car 8+4+3=15.

« le trio » 4 6 8 7 1 5 2 3 9 (6 X 4) + 1 (3 X 6) + 7 (3 X 9) - 2 2 joueurs. 1 crayon de couleur différente pour chaque joueur. Le maître (ou un des deux joueurs) choisit un nombre entre 0 et 60. Chaque joueur joue à tour de rôle. Il s’agit de retrouver ce nombre par combinaison de 3 nombres voisins du tableau qui soient alignés horizontalement, verticalement, ou en diagonale ; deux des nombres doivent être multipliés, le troisième ajouté ou retranché. Un même nombre peut être utilisé pour plusieurs combinaisons différentes. La partie s’arrête lorsqu’un des joueurs ne parvient plus à trouver de combinaison de trois nombres. (6 X 4) + 1 (3 X 6) + 7 (3 X 9) - 2 4 6 8 7 1 5 2 3 9

Jeu du carré Deux joueurs. Chaque joueur joue à tour de rôle avec un crayon de couleur différente pour chacun. Il s’agit d’entourer les carrés de quatre cases dont la somme est 20. Attention des carrés peuvent se chevaucher. Un joueur gagne lorsque l’autre ne peut plus jouer ou ne trouve plus de carré. 7 5 8 6 3 2 4 9 1 Carrés De 20

Jeu de l’oie Nombre de joueurs et durée : 2 à 5 joueurs / 5 à 10 minutes Matériel : - 1 dé ordinaire - Feuille de marque, crayon. But du jeu : Atteindre 63 en ayant marqué le plus de points possibles. Règles 1) Sur une feuille, on place autant de colonnes qu’il y a de joueurs ; dans chaque colonne, on écrit 0. 2) Chaque joueur, à tour de rôle :
lance le dé.
ajoute le nombre naturel obtenu au dernier nombre figurant dans sa colonne, ou l’en retranche, à son choix ;
inscrit le résultat au-dessous.

Jeu de l’oie 3) Lorsqu’un joueur fait une erreur de calcul constatée par les autres joueurs, il passe son tour. 4) Chaque fois qu’un joueur réussit à écrire 11, 22, 33, 44, ou 55, il marque respectivement 1,2, 3, 4 ou 5 points. 5) Lorsqu’un joueur écrit 63, il marque 10 points et la partie s’arrête. Le vainqueur est celui qui a le plus de points. Variantes
On peut utiliser plusieurs dés.
On peut modifier l’ensemble numérique de référence.

Le Marathon Nombre de joueurs et durée : 2 joueurs ou plus / 5 à 15 minutes Matériel : 5 dés , papier, crayon But du jeu : Etre le premier à parcourir exactement les 42 195 mètres correspondant à la distance olympique du marathon. Règles 1) Chaque joueur inscrit 42 195 sur sa feuille. 2) Lors de chaque lancer de dés, on peut, en utilisant une fois et une seule chacun des chiffres apparaissant sur les dés, écrire plusieurs nombres naturels ; le joueur choisit celui qu’il veut et qui correspondra à une distance parcourue. Exemple : Si le lancer des 5 dés donne 6, 1, 4, 1, 2 on peut écrire 26 141 ou 41 126 ou 14 612 ou 12 164, etc. 3) Chaque joueur, à tour de rôle, commence par lancer les dés ; après quoi il indique s’il décide d’avancer ou de rester sur place. S’il décide de rester sur place, c’est au tour du joueur suivant. S’il décide d’avancer, il indique quel nombre naturel il choisit, le retranche de 42 195 et annonce la différence obtenue qui correspond à la distance qu’il lui reste à parcourir.

Le Marathon 4) Le nombre naturel choisit doit toujours être inférieur ou égal à la distance à parcourir. Si c’est impossible, le joueur doit rester sur place. 5) Après le premier tour on continue, chaque joueur prenant un nombre de dés qui dépend de la distance qu’il lui reste à parcourir : - si elle est comprise entre 11 110 m et 1 111, il prend 4 dés. - si elle est comprise entre 1 110 m et 111 m, il prend 3 dés. - si elle est comprise entre 110 m et 11 m, il prend 2 dés. - si elle est inférieure à 10 m, il prend 1 dé. 6) Le vainqueur est le premier joueur qui atteint 0. Les autres peuvent alors demander à vérifier les calculs ; s’ils décèlent une erreur le joueur est disqualifié…

Le chat et la souris Nombre de joueurs et durée : - 2 joueurs - 3 à 5 minutes Matériel : Une feuille de marque. Chacun des joueurs dispose de la liste des nombres naturels de 1 à 9 ; ceux-ci sont rayés au fur et à mesure de leur utilisation. But du jeu Pour le chat, attraper la souris ; pour la souris, se réfugier dans son trou. Règles 1) Un joueur est le chat ; au départ il est en 1. L’autre joueur est la souris ; au départ elle est en 30 et doit essayer de rejoindre son trou situé en 0. 2) La souris joue la première ; elle choisit pour cela l’un des nombres naturels dont elle dispose, le raye, le soustrait de 30 et inscrit le résultat au-dessous.

Le chat et la souris C’est ensuite le tour du chat qui choisit lui aussi un de ses naturels de 1 à 9, le raye, l’ajoute à 1 et écrit le résultat au-dessous. 3) Ensuite, chaque joueur, à tour de rôle, choisit l’un des nombres naturels encore disponibles, l’ajoute ou le retranche au dernier nombre qu’il a inscrit dans sa colonne, et place le résultat au dessous. 4) Le chat n’a pas le droit d’aller en 0 ; ni le chat ni la souris n’ont le droit de dépasser 30. 5) La partie s’arrête dans l’un des cas suivants : - Après avoir joué, le chat atteint le nombre où est arrivé la souris au coup précédent ; il a gagné. (Attention , on n’arrête pas la partie quand la souris arrive sur la position du chat). - La souris réussit à se placer en 0 ; elle a gagné. - Les deux joueurs ont épuisé leurs nombres sans que l’une des éventualités précédentes se soit produite ; la partie est nulle.

Le Multidiv Nombre de joueurs et durée : - 2 joueurs - 3 à 15 minutes Matériel : - Une grille de 1 à 100 - Deux crayons de couleurs. But du jeu - Bloquer son adversaire. Règles Le joueur A colorie une case. Le joueur B doit colorier une case : - dont le nombre est un multiple de la dernière case coloriée. - ou dont le nombre est un diviseur de la dernière case coloriée. Le joueur A continue de la même façon en coloriant une case : Le joueur qui ne peut plus jouer a perdu.