Maths en Jeans 2010-2011

Les thèmes Des maths dans la nature: Comment modéliser la propagation des feux de forêt? Mouvements de foule Des maths pour échanger “sûrement” des informations: Entre humains: Comment crypter (et décrypter) des textes? Des maths dans les jeux: Quelles trajectoires peut suivre une boule de billard?

Des maths dans la nature Thème 1: Modélisation de la propagation de feux de forêt...

Propagation des feux de forêt On utilise les automates cellulaires: La foret est représentés par des “cellules”: les vertes: arbres Les blanches: rien puis, on allume une cellule (cellule rouge)... Si un arbre (cellule verte) est à “proximité directe” (au dessus, au dessous, à gauche ou à droite) d'un arbre en flamme (cellule rouge), à l'instant suivant, il sera en flamme, Si un arbre est en flamme, à l'instant suivant, il devient cendres (cellule grise), Si un arbre est en cendres, à l'instant suivant, il n'y a plus rien à bruler... (cellule blanche).

Un exemple...

Un exemple...

Un autre exemple...

Un autre exemple...

Propagation des feux de forêt Feuille de route: Comprendre et formaliser le modèle avec des automates cellulaires, Eventuellement réaliser une simulation, Influence de la proportion d'arbres dans la propagation du feu: notion du seuil de percolation... Un modèle mathématique peut toujours être amélioré: comment en tenir compte d'autres facteurs dans le modèle? Ex: vent, differents types de végétation, de terrain, etc... Que ce passe-t-il si on met d'autres règles de “transition”? Si on travaille uniquement sur une ligne de cellules? Si on a d'autres liens de voisinage entre les cellules? Etc...

? Bonus... Question/devinette... Quel est le point commun entre: La propagation d'un feu de forêt, La propagation d'un virus informatique, L'évolution d'un embouteillage sur la route du littoral, Un café expresso qui coule dans un percolateur... ?

MOUVEMENTS DE FOULE

Des maths pour échanger des données Thème 4: Crypter et décrypter des textes: du code César... ...à la machine Enigma

Du code césar à Enigma... QE GLIVI GPISTEXVI NI XIGVMW HI VSQI SY PLMZIV WIQFPI IXVI WERW JMR. MP TPIYX HITYMW HIW QSMW IX QSR EVQII WIQFSYVFI HERW PI RSVH SYIWX HI PE KEYPI. YR TIXMX ZMPPEKI IR TEVXMGYPMIV VIWMWXI E RSW EWWEYXW. PIYVW KYIVVMIVW WSRX JSVXW GSQQI HMB GIRXYVMSRW IX PIYV HVYMHI HSMX GSQTXIV TEVQM PIW TPYW WEKIW. NEM LEXI UYI PI TVMRXIQTW EVVMZI GEV N'IQFEVUYIVEM IRJMR TSYV XI VIXVSYZIV E EPIBERHVMI. GVSMW XY UYMP WIVE TSWWMFPI HI TEVXMV IR GVSMWMIVI WYV PI RMP. HETVIW PE HIWGVMTXMSR UYI XY QE JEMXI HIW FSVHW HY RMP GIPE HSMX IXVI QEKRMJMUYI IR GIXXI WEMWSR. TIYX IXVI QIQI TSYVVSRW RSYW TVIRHVI PI XIQTW HEPPIV NYWUYE GLEVQ IP WLIMO TSYV TVSJMXIV HI PE TPEKI E XVIW FMIRXSX XSR HIZSYI GIWEV

Cryptanalyse du code... Un outil: Analyse des fréquences d'Al-Kindi (Langue française - en %) cela marche d'autant mieux si le texte est long... A B C D E F G H I J K L M 9.42 1.02 2.64 3.39 15.87 0.95 1.04 0.77 8.41 0.89 0.01 5.34 3.24 N O P Q R S T U V W X Y Z 7.15 5.14 2.86 1.06 6.46 7.90 7.26 6.24 2.15 0.30 0.24 0.32

Du code César à Enigma Feuille de route: Qu'est ce que César a écrit à Cléopatre? Quel est le principe et la principale “vulnérabilité” du code César? Eventuellement programmer un “logiciel” de cryptage/décryptagevde texte avec le code César, Les “raffinements” du code César: Le code de Vigenère (Moyen-age) Quel est son principe? Comment a-t-il été “craqué”? La machine Enigma (2ième guerre mondiale)

Des maths dans les jeux Thème 6: Les mathématiques du billard: comprendre les déplacements et les trajectoires possibles d'une boule de billard.

Billard et géométrie Quelle trajectoire une boule peut-elle faire? Pour la “modélisation”, on considèrera un billard spécial sur lequel: une boule est toujours lancée sans effet, une boule peut continuer indéfiniment sa course...

Billard et géométrie Feuille de route: Expliciter les règles de déplacement d'une boule sur ce billard, Une boule peut-elle faire une boucle? Une boule peut-elle décrire une trajectoire qui ne repasse pas indéfiniment par les même points? Une boule peut-elle être lancée de manière à ce qu'elle passe par tout les endroits du billard? Ou au contraire, qu'elle évite une zone complète? Et si on jouait sur un billard triangulaire? Héxagonal? Que se passerait-il?