TRANSVERSALITE DES SUITES

Prérequis de première sur les suites Suites arithmétiques et géométriques Convergence d’une suite Passage à la limite dans une inégalité

Le contenu du programme de Terminale S sur les suites Limite infinie. Théorème des gendarmes. Suite croissante non majorée tend vers . Limite de (f (un)). Le raisonnement par récurrence. Suites adjacentes. Le théorème de convergence monotone.

Suites adjacentes Introduction encadrement de  par la méthode d ’Archimède encadrement de par la méthode de Héron encadrement de l’aire sous une courbe (délicat). Définition -(un) croissante et (vn) décroissante -vn un  0 -(vn un) converge vers 0. (On pourra démontrer que la deuxième propriété se déduit des deux autres) Théorème des suites adjacentes

Suites monotones et limites Le théorème de divergence d’une suite monotone non bornée est démontré. Le théorème de convergence des suites monotones bornées est admis. adjacentes se déduit du précédent. (L’équivalence entre les deux derniers théorèmes est difficile).

Où rencontre-t-on les suites dans ce programme ?

La fonction exponentielle méthode d’Euler pour son introduction Résolution de y’= y et y(0)=1 et suites géométriques ((1+h)n) et lien avec les suites adjacentes et

Calcul d’aire sous une courbe

Calcul d ’aire sous la courbe Encadrement par la méthode des rectangles Suites adjacentes.

Le théorème des valeurs intermédiaires Outils Définition par dichotomie de deux suites adjacentes. Limite de f(un) passage à la limite dans une inégalité (Si )

Le raisonnement par récurrence Principe de récurrence faible Principe de récurrence fort (arithmétique en spécialité TS) Suites récurrentes doubles, suites de Fibonacci (TS obligatoire - TES spécialité)

Equivalence entre les théorèmes de la convergence monotone et des suites adjacentes Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Théorème 2: Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.

Progression possible en TS Réactivation des acquis de 1ère (suites géométriques, convergence) introduction du raisonnement par récurrence formulation de la limite infinie d’une suite et théorèmes des suites monotones non bornées Suites adjacentes théorème des suites monotones bornées (admis) théorème des suites adjacentes (déduit) Continuité et limite de (f(un)) Théorème des valeurs intermédiaires

En TES Spécialité Vocabulaire Raisonnement par récurrence Convergence Limites infinies (notion intuitive, sans définition formelle) Exemples de suites vérifiant un+1 = a un + b ou un+2 = aun+1 + bun (calcul des premiers termes)