La résolution de problèmes au cycle 2 Bernadette NGONO Université de ROUEN – IUFM de ROUEN LDAR – Paris 7 Grand-Quevilly 20 novembre 2010

Ce que disent les programmes CP : Résoudre des problèmes simples à une opération. CE1 : Résoudre des problèmes relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication. Approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un problème de partage ou de groupements

Et le socle commun Compétence 3 du socle commun

Quelques questions (a) Quel(s) type(s) d’apprentissage vise-t-on finalement pour les élèves par la résolution de problèmes? (b) de manière à maximiser cet apprentissage, quels types d’expériences favoriser pour les élèves? Avec quels supports pédagogiques? (c) le but de cet apprentissage doit-il porter sur des capacités générales en résolution de problème ou envisage-t-on la résolution de problèmes pour des « théories » mathématiques spécifiques?

Un problème "Un problème est généralement défini comme : une situation initiale avec un but à atteindre, Elle demande à l’élève d'élaborer une suite d'actions ou d’opérations pour atteindre ce but. la solution n'est pas disponible d'emblée mais est possible à construire.«  (J. Brun)

D’autres aspects La résolution de problème dépend de l’intention du professeur de prendre appui sur l’expérience des élèves sur des cas particuliers pour une situation particulière. Résoudre un problème est un processus de pensée dans lequel celui qui résout : - essaie de donner du sens à un problème en utilisant les connaissances mathématiques disponibles - et tente d’obtenir une nouvelle information sur cette situation.

Résolution de problème et apprentissages les connaissances mathématiques de l’élève ne peuvent pas être directement appliquées à la situation, il doit transformer cette situation de manière à ce qu’il puisse appliquer ses connaissances mathématiques. Le problème résolu est a priori celui que l’élève s’est reformulé, et non celui donné par le professeur. A partir de cette reformulation, l’élève obtient une nouvelle information qui peut être la solution, une méthode, une propriété. Ces nouvelles informations peuvent être incorporées dans les connaissances des élèves. Parfois, un rejet des méthodes utilisées ou un manque de méthodes efficaces peut conduire à construire de nouvelles méthodes, propriétés, formules etc.

Schéma simplifié de l’apprentissage par la résolution de problèmes

Importance de la phase de reformulation Un comportement cognitif efficace dans la résolution d’un problème pourrait être l’activité de « transformation » de l’énoncé. (Robert et Bautier) Deux types de transformation peuvent être identifiées : - Une transformation linguistique de type reformulation - et une transformation logique correspondant à une analyse généralisante du problème. Par ailleurs, l’opération de transformation est liée au rapport que l’élève entretient avec le langage, à la nécessité pour lui de prendre en compte la fonction symbolique du langage, ce qui va l’aider à faire la paraphrase ou la reformulation de l’énoncé. [1] MOSCATO M. (1985), Raisonnement et langage, in DREVILLON J. et al., Fonctionnement cognitif et individualité, Bruxelles, Mardaga

Prenons un exemple Deux sacs ont le même nombre d’étiquettes-nombres. Si on permute deux étiquettes, la somme des nombres dans chaque sac devient la même. Quelles étiquettes faut-il permuter ?

Exemple de reformulation -procédure de type dessin ● Elle permet une certaine représentation des données du problème, avant reformulation L’élève peut vérifier le nombre attendu dans chaque collection : puisqu’il y en a 4 de plus dans la deuxième, il faudrait égaliser les deux en faisant passer 2 jetons dans la première. Mais cela ne résout pas le problème : quelle est la collection qui est ainsi modifiée? 3? 8? 5? L’élève doit donc penser au fait qu’il ne s’agit pas de déplacer des objets mais des paquets d’objets. Sinon, le risque est de voir l’élève produire des sommes correctes, mais qui ne correspondent plus aux nombres de l’énoncé : Exemple : 3 + 8 + 7 = 18 mais 5 +8+5 = 18, 3 + 10 + 5 = 18

Autres procédures P1. Procédure experte : calculer le total des valeurs, soit 36. En prendre la moitié, soit 18. Reformuler le problème en « permuter deux étiquettes de manière à obtenir 18 dans chaque sac ». - A.. Calculer la somme : 3+8+5 = 16. il faut donc ajouter 2 dans le premier sac, pour avoir 18. 3+2 = 5, 5 est déjà dans le sac ; 5+2 = 7, 7 est dans le deuxième sac, donc il suffit de remplacer 5 par 7. - B : rechercher des écritures correspondant à 18 en remplaçant chacune des trois étiquettes à tour de rôle : On calcule la somme de deux nombres , et on cherche si le complément à 18 appartient au 2ème sac. Par exemple 8+3= 11. Il manque 7 pour atteindre 18, donc 7 doit être permuté avec 5. P2 : on effectue de manière systématique les permutations, pour chacune on calcule les sommes, on compare les sommes et dès qu’on a trouvé deux sommes égales, on s’arrête. On constate simplement que les deux sommes sont égales à 18. P2’ : on effectue des essais de sommes tout en raisonnant sur certaines / par exemple, les élèves peuvent se dire qu’en permutant les deux nombres les plus grands, 8 et 9, ou les plus petits, 3 et 4, ou les intermédiaires, 5 et 7, ils arrivent au même résultat.

Qu’apprennent-ils? Que de sommes à calculer ! 3+5+8 = 16 4+7+9 =20 3+5+8 = 16 4+7+9 =20 3+5+4 = 12 7+8+9 = 24 3+5+7 = 15 4+8+9 = 21 3+5+9 = 17 4+7+8 = 19 3+8+4 = 15 5+7+9 = 21 3+8+7 = 18 4+5+9 = 18 3+8+9 = 20 4+5+7 = 16 5+8+4 = 17 3+7+9 = 19 5+8+7 = 20 3+4+9 = 16 5+8+9 = 22 3+4+7 = 14 Que de propriétés ! Associativité et commutativité de l’addition Le double de 18, c’est 36 La moitié de 36, c’est 18. Un nombre peut avoir plusieurs décompositions La somme de 3 nombres impairs est un nombre impair La somme de deux nombres pairs est un nombre pair La somme de deux nombres impairs est un nombre pair Connaissances anciennes : différence entre nombre d’étiquettes et valeur des étiquettes, addition de 3 nombres simples, comparaison de nombres, ordre de grandeur, différence, double, moitié …

Et des habiletés générales La planification : afin de s’assurer que l’on a bien testé diverses possibilités L’autocontrôle : les étiquettes ne sont pas mobiles, c’est donc à l’élève de s’assurer dans ses écritures que : - le même nombre ne peut pas apparaître dans les deux paires de sommes à comparer, - on doit avoir la même somme dans les deux sacs - chaque sac contient toujours 3 étiquettes La mémoire : le but visé, mais aussi des résultats numériques Composantes diverses de l’attention (engagement dans la tâche, persévérance, résistance à la distraction

Des effets sur des conceptions Les tâches mathématiques données aux élèves renvoient un message sur ce que sont les mathématiques, et sur ce que faire des mathématiques signifie. Ainsi, selon les tâches proposées, selon la manière dont elles sont présentées, évaluées : mise en commun des stratégies utilisées, ou correction pour proposer « la bonne réponse », les apprentissages réalisés seront différents.

Deuxième exemple Paul a plié une feuille en deux ainsi : Puis il a de nouveau plié en deux le morceau obtenu Quelles étaient les dimensions initiales de la feuille de papier ?

Exemple de stratégie P1 : Refaire le parcours inverse (déplier la feuille) P2 : repérer directement que les dimensions sont des moitiés des dimensions initiales et calculer le double de 4 et de 5.

Comparaison des tâches Elles ont en commun : -la notion de double et de moitié (explicite et implicite) Un mode de présentation : un dessin qui comporte les données du problème. Mais des différences sur les « mathématiques cachées » - Les propriétés mises en œuvre ne sont pas de même complexité, en particulier dans le deuxième cas, le dessin décrit une suite d’actions, et suggère une procédure, ce qui n’est pas le cas dans le premier (voir le nombre de stratégies) - d’où des niveaux de complexité différents

Conclusion provisoire

Niveaux de complexité des tâches Tâches qui n’exigent que la mémorisation : Tâches de nature algorithmique Tâches nécessitant des procédures visant à développer de plus profonds niveaux de compréhension, à établir des connexions entre des concepts. elles ne sont pas transparentes du point de vue des procédures potentielles de l’élève, qui doit engager les concepts en jeu pour réussir la tâche. Tâches de très haut niveau de complexité : Elles exigent une pensée complexe et non algorithmique, de l’anticipation, des tâtonnements non indiqués dans la tâche de manière explicite (consignes, dessins, exemple etc). Plusieurs solutions sont parfois possibles dans de telles tâches, et la procédure à utiliser n’est pas évidente. L’élève doit tâtonner, tester des hypothèses ; les concepts mathématiques doivent parfois être utilisés d’une nouvelle manière.

2 approches basiques pour le choix des tâches * 1. Enseigner pour la résolution des problèmes But : développer les compétences des élèves à reconnaître l’action à mener face à tel ou tel type de problème * 2. Enseigner par la résolution de problèmes But : faire découvrir une nouvelle connaissance, une nouvelle méthode, … en montrant comment elle est articulée avec les anciennes

Enseigner pour les problèmes Les connaissances de base des élèves devraient inclure : - les connaissances conceptuelles, - les connaissances procédurales, - une connaissance des situations typiques dans lesquelles on peut appliquer les connaissances dont il est question. Il existe des stratégies cognitives associées à des classes de problèmes ; La difficulté d’un problème est liée à la classe à laquelle il appartient, et à la plus ou moins grande variété de stratégies associées à une classe de problèmes. Il s’agit donc d’identifier des critères permettant de catégoriser les problèmes.

Différents critères La manière dont le problème est formulé et présenté : question en tête ou en fin d’énoncé, présence de données inutiles, complexité lexicale et grammaticale, … Les opérations nécessaires : addition, soustraction, multiplication, division Le contexte Le nombre d’étapes implicites ou explicites nécessaires Le nombre de solutions La structure du problème qui concerne le caractère sémantique des éléments impliqués dans le problème et les relations qu’ils entretiennent …

Exemple : 8+6 =14 Dans un bouquet de fleurs, il y a 8 roses et 6 lys. Combien y a-t-il de fleurs en tout? J’avais 8 billes, j’en ai gagné 6. Combien en ai-je maintenant? Pierre a 8 voitures. Paul en a 6 de plus. Combien Paul a-t-il de voitures? J’avais des billes. J’en ai gagné 8, puis 6. Combien ai-je gagné de billes? …..

Remarques Ces problèmes conduisent tous à la même écriture, mais les nombres en jeu, les relations entre les données ne sont pas de même nature. G. Vergnaud a ainsi introduit la notion de champ conceptuel.

La théorie des champs conceptuels On distingue dans un concept mathématique : - la notion mathématique telle qu’elle est définie dans le contexte du savoir savant - l’ensemble des signifiants associés à ce concept tels les représentations symboliques - la classe des problèmes dont la résolution permet de donner du sens à ce concept - les outils tels que les théorèmes, les techniques spécifiques au traitement de ce concept Par ailleurs, il faut tenir compte de celui qui apprend, de ses conceptions (Vergnaud)

Problèmes additifs Problèmes dont la solution n’implique que des additions ou des soustractions G. Vergnaud distingue dans les problèmes les nombres qui désignent des états et des nombres qui traduisent une transformation ou une comparaison. six relations de base permettent ainsi de créer la quasi totalité des problèmes additifs.

Trois structures privilégiées à l’école primaire La composition de deux mesures La relation de transformation d’états La relation de comparaison additive

Problèmes de combinaison Ou problèmes de type partie-tout : les nombres en jeu ont le même statut, deux états se combinent pour en donner un troisième. Problèmes de réunion ou de fractionnement de collections ou de grandeurs mesurables. Selon que l’on cherche le tout ou l’une des parties, l’opération experte est une addition ou une soustraction.

Exemples Dans un bouquet de fleurs, il y a 8 roses et 6 lys. Combien de fleurs en tout? Dans un bouquet de fleurs il y a des roses et 6 lys. En tout il y a 14 fleurs. Combien y a-t-il de roses dans le bouquet? Dans un bouquet de fleurs il y a 8 roses et des lys. En tout il y a 14 fleurs. Combien y a-t-il de lys dans le bouquet?

Problèmes de transformation Les nombres en jeu n’ont pas le même statut : certains représentent des états, initial ou final, d’autres des transformations. Les états (nombres dans le carré) sont souvent des mesures, donc des nombres positifs Les transformations ( dans le rond) sont des nombres positifs ou négatifs.

6 grandes classes de problèmes de transformation On connaît l’état initial (Ei) et la transformation (T), on cherche l’état final (Ef). On connaît l’état initial et l’état final, on cherche la transformation. On connaît la transformation et l’état final, on cherche l’état initial. La transformation peut être positive ou négative, d’où 6 classes de problèmes dits de transformation.

Exemples J’avais 8 billes, j’en ai gagné 6. Combien en ai-je maintenant? J’avais 14 billes. J’en ai perdu 6. Combien en ai-je maintenant? J’avais 14 (ou 8) billes avant la partie de jeu. Maintenant j’en ai 8(ou 6). Que s’est-il passé? J’avais des billes. J’en ai gagné (ou perdu ) 6. Maintenant j’en ai 9. Combien de billes avais-je avant de jouer?

Problèmes de comparaison Deux états relatifs à des grandeurs mesurables ou repérables sont comparés de manière additive, l’un jouant le rôle de référent pour l’autre. La relation s’exprime par les locutions « de plus » ou « de moins ». Six sous-catégories suivant que la relation est positive ou négative et que la question porte sur la recherche du référé, de la comparaison ou du référent.

Exemples Pierre a 4 voitures. Paul en a 3 de plus. Combien Paul a-t-il de voitures? Paul a 7 voitures. Pierre en a 3 de moins. Combien de voitures a Pierre? Pierre a des voitures. Paul a 7 voitures. Il en a 3 de plus (ou de moins) que Pierre. Combien de voitures a Pierre? Pierre a 7 voitures. Paul en a 3. Combien de voitures Pierre a-t-il de plus que Paul? Idem . Combien de voitures Paul a-t-il de moins que Pierre?

Autres structures (1) Les compositions de transformations pour lesquelles plusieurs transformations sont appliquées successivement à des états inconnus en font partie. La transformation unique obtenue par la composition de ces transformations permet de passer de l’état initial à l’état final. Le nombre de sous-catégories dépend ici du nombre de transformations composées. Dans le cas de deux transformations composées, on peut ainsi définir douze sous-catégories suivant que les transformations composées sont de même signe (deux cas), de signe opposé (deux cas) et que la question porte sur la détermination de la composée ou de l’une des deux transformations (3 cas).

Autres structures (2) De la même manière, deux autres structures concernent : -les compositions de relations - les comparaisons de relations.

Remarques Un énoncé peut être classé selon des points de vue différents dans une catégorie ou dans une autre. Il ne s’agit pas d’un simple classement d’énoncés mais d’un classement de raisonnements face à des problèmes arithmétiques. (Vergnaud) Le but est d’aider les élèves à développer ces raisonnements. Il est important de travailler simultanément les deux opérations addition et soustraction, L’opération sous-jacente, ou encore les écritures mathématiques ne suffisent pas pour traduire la complexité ou la simplicité d’un problème, même pour des situations familières.

Des difficultés liées à la structure Effet des variables didactiques : variables sur lesquelles le professeur peut agir pour faire évoluer les stratégies des élèves : Nature des nombres en jeu : entiers petits ou grands, nombres décimaux, nature des grandeurs en jeu La formulation Les modes de présentatio, *La structure des problèmes s’avère une variable principale à prendre en considération; elle s’avère un obstacle à franchir pour de nombreux élèves, ce qui explique le choix d’une progression prenant en compte le développement des élèves.

Structure des problèmes et réussite des élèves - exemple « P. a 6 billes. Il joue une partie et perd 4 b. Combien de billes a-t-il après la partie? » CP: 50% CE1: 86% CE2 : 96% « C. a 5b. Il joue une partie. Après la partie, il a 9 b. Que s’est-il passé au cours de la partie? CP : 18% CE1 : 57% «  B. joue une partie de billes. Il perd 7b. Après la partie, il a 3b. Combien de billes avait-il avant la partie? CP : 4% CE1:54%

Une hiérarchie dans les difficultés Dans les problèmes de transformation : - La recherche de l’état final semble ainsi plus facile que celle de la transformation, la recherche de l’état initial étant encore plus difficile. - il est plus facile de travailler dans un contexte cardinal que dans un contexte de mesure de grandeurs. Les problèmes de combinaison : il est plus facile de trouver le tout que de trouver une partie Les problèmes de comparaison sont les plus complexes.

Exemple de progression en GS Etape 1 : - Recherche de Ef - Recherche de T ou du signe de T Contexte ordinal piste graduée, 2 dés dont un pour le sens du déplacement, un pour la valeur du déplacement But : anticiper sur la position du jeton Ef : Déplacement effectif, puis pour anticiper : surcomptage (doigts) décomptage (doigts) T :Surcomptage ou compte à rebours Contexte cardinal Ex : jeu de la boîte opaque Ef : Surcomptage ou décomptage, validation par comptage effectif T: Surcomptage ou compte à rebours

Jeu de la boîte opaque • Dans une boîte opaque vide, je mets 4 jetons. 1, 2, 3, 4. Je rajoute 2 jetons, 1, 2. Combien y a-t-il maintenant de jetons dans la boîte?

Progression GS (suite) Etape 2 Problèmes de combinaison recherche du tout quand on connaît les parties Recomptage du tout, éventuellement surcomptage - Recherche d’une partie quand on connaît le tout et une autre partie But : favoriser l’anticipation Surcomptage Etape 3 comparaison Comparaison (par anticipation ) de deux collections de deux positions Correspondance terme à terme ou surcomptage - (dénombrement des cases ou surcomptage) Remarque : Pas d’exigence d’écrit en GS

Comparaison avec le CP Même progression qu’en GS Les différences portent : sur le champ numérique utilisé, Sur le passage à l’écrit, Sur les procédures mises en œuvre.

Recherche de Ef et de T en contexte ordinal en CP Etape 1 : Recherche de Ef - Recherche de T ou du signe de T Contexte ordinal But : introduire les signes « + » et «-«  pour traduire avancer ou reculer   Mise en évidence de certains faits additifs à mémoriser, (T<10), travail en parallèle sur la numération, augmentation de Ef et Ei, introduction de la technique en fin d’année pour T>0, addition à trou dessin puis schéma avec T positif ou négatif, équivalence avec l’écriture additive ou soustractive correspondante procédures d’abord identiques à celles en GS T<10 ou = n10 validation par déplacement effectif Surcomptage ou comptage à rebours

Au CE1 1. problèmes de transformation: Recherche de T ou du signe de T, de Ei (T>0, respect de la chronologie), compositions de transformations (quelques énoncés simples) Addition à trou, utilisation de faits mémorisés, test d’hypothèse pour rechercher Ei, 2. Problèmes de combinaison : but - mettre en place la réciprocité de l’addition et de la soustraction notamment pour rechercher des compléments 17 + … = 35 ou 35 – 17 = 3. Problèmes de comparaison : Comparaison ou égalisation de collections ou de positions; Procédures par sauts

En résumé Les élèves découvrent ainsi que : - des problèmes différents par l’histoire racontée peuvent conduire à la même stratégie, Des problèmes proches par l’histoire racontée ne conduisent pas toujours à la même stratégie. C’est ainsi qu’ils se construisent des schémas de problèmes Car ils ne disposent pas de concept généralisant leur permettant de décrire l’abstraction sous-jacente à ces problèmes

Articulation entre résolution de problèmes et calcul Les procédures personnelles doivent d’abord être privilégiées Ces procédures sont d’abord peu élaborées (dessins, symboles représentant la situation, nombres uniquement) Certaines procédures font l’objet d’une ostension pour aider l’élève à disposer de stratégies multiples. On entraîne en parallèle sur des stratégies de calcul réfléchi, sur les automatismes (tables), … La technique usuelle est alors proposée comme généralisable C’est en résolvant des problèmes bien choisis que l’on développe des compétences en résolution de problèmes

Exemple de procédures en CP avant la technique usuelle Pour effectuer 37 + 14: -Surcomptage - Décomposition de 14 : 37 + 14 = 37 + 10 + 4 = 47 +4 = 51 - Procédures par sauts

Importance des automatismes en calcul La maîtrise des calculs numériques élémentaires est fondamentale : une automaticité, c'est-à-dire une reproduction et non une reconstruction conduit les élèves à estimer les ordres de grandeur des résultats, repérer des erreurs dans des résultats obtenus par exemple avec la calculette, Les bons estimateurs sont aussi ceux qui maîtrisent les faits numériques. Une activation automatique est économique dans la mesure où elle est rapide, non consciente, sans effort, et n’interfère pas avec une autre activité mentale en cours. Les élèves en difficulté sont aussi ceux qui qui n’ont pas assimilé les faits numériques de base. L’automaticité doit être une conséquence d’un apprentissage. D’où la nécessité d’un travail régulier et systématique

Exemple des additions 3+3 4+3 4+4 5+3 5+4 5+5 6+3 6+4 6+5 6+6 7+3 7+4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3+3 4+3 4+4 5+3 5+4 5+5 6+3 6+4 6+5 6+6 7+3 7+4 7+5 7+6 7+7 8+3 8+4 8+5 8+6 8+7 8+8 9+3 9+4 9+5 9+6 9+7 9+8 9+9 Ajouter 1 ou 2 peut se faire par comptage Apprendre 10+n en liaison avec la numération La commutativité est travaillée et permet de calculer b+a connaissant a+b Additionner 9 s’apprend par appui sur 10 en CE1 Finalement, il reste 21 résultats à mémoriser. L’appui sur les doubles permet de retrouver 6+7, ce qui réduit encore le nombre à 16. 3+3 3+4 3+5 3+6 3+7 3+8 3+9 4+4 4+5 4+6 4+7 4+8 4+9 5+5 5+6 5+7 5+8 5+9 6+6 6+7 6+8 6+9 7+7 7+8 7+9 8+8 8+9 9+9

Procédures de calcul d’une différence- CP Pour la soustraction, on privilégie principalement des procédures non expertes comme les sauts sur la droite numérique. Ces procédures évoluent ensuite avec une meilleure maîtrise de la numération. Les procédures de calcul sont en étroite relation avec la résolution de problèmes

Retour sur les composantes La compréhension sémantique de l’énoncé La représentation mentale du problème Catégoriser le problème Estimation du résultat La planification L’auto-évaluation de la procédure L’auto-évaluation des calculs

Les difficultés Si l’élève ne peut pas contrôler son propre processus, la simple application d’une stratégie ancienne peut provoquer des erreurs : - soit parce que la représentation du problème est incorrecte - soit parce que la stratégie est inadaptée - soit parce que la stratégie est mal appliquée * Pour le professeur : il ne peut pas proposer un apprentissage systématique de tous les problèmes

Aider l’élève à comprendre l’énoncé Pour se reformuler le texte du problème, Comprendre certaines expressions telles que « chaque », « l’un », « en », « en tout », « plus que », « moins que », « de plus », « de moins », … Exemple de difficulté : « Marie a 5 billes de plus », interprété comme « Marie a 5 billes »

Aider l’élève à « catégoriser » le problème Capacité à reconnaître la structure du problème Processus difficile à repérer car un élève peut réussir sans toutefois savoir pourquoi, sans comprendre sa propre solution.

Plusieurs niveaux d’aide Aider l’élève à se construire des représentations de certains problèmes (structures additives, multiplicatives, …) L’aider à identifier des stratégies de résolution ou de calcul, L’aider à se construire des connaissances dans des domaines spécifiques Provoquer l’automatisation de certaines procédures Proposer des situations qui favorisent l’auto-évaluation, et l’argumentation.

Anticiper, base de l’activité mathématique Elle suppose : d’identifier les informations à gérer, de discerner celles qui imposent des contraintes semblables ou différentes de situations déjà rencontrées se redéfinir le problème à résoudre (la situation, le but à atteindre, les moyens pour l’atteindre) Anticiper les actions à entreprendre organiser ces actions de manière pertinente Une certitude : La familiarité avec une situation favorise l’anticipation

Aider les élèves à développer des capacités en anticipation La verbalisation : elle n’est pas spontanée, et doit être provoquée. Le moment choisi pour cette verbalisation a des effets différents, selon les situations et les élèves : Avant l’action : peut modifier la reformulation initiale du problème par l’élève, améliorer ou perturber les performances Pendant l’action : peut modifier les procédures, A posteriori : l’effet sur l’anticipation est ultérieur

Les verbalisations effectuées par les élèves révèlent des traitements différents des données du problème : Annonce de la recherche du but Chronologie des actions Énonciation de la solution Description du problème posé Annonce d’une procédure, …. D’où l’intérêt de les provoquer soit pour moduler la présentation des tâches, soit pour orienter vers un apprentissage particulier

Exemple des relations partie-tout Elles supposent : - La décomposition du tout en parties - La combinaison des parties pour former le tout - Comprendre que le tout est plus grand que les parties - Et que les parties sont plus petites que le tout

Ces relations nécessitent aussi de  : - comprendre la notion de successeur(quel est le nombre qui vient juste après 4 ?) - comprendre la notion de prédécesseur (quel est le nombre qui vient juste avant 4) comprendre et utiliser les termes « plus que », « moins que » Elles favorisent en même temps la compréhension de la notion difficile d’équivalence

Au cycle 2 Les relations de type partie-tout se travaillent : Dans la décomposition des nombres intervenant dans des calculs Dans des problèmes additifs de type partie-tout dans les problèmes additifs de type composition de transformation Dans des situations de groupement et partage … Une différence essentielle entre le cycle 1 et le cycle 2: le recours au symbolisme mathématique et à l’écrit.

Comprendre qu’un nombre peut être décomposé est préalable à l’organisation d’un calcul en arbre, ou en ligne 4 = 1 + 3 4 = 2 + 2 4 = 3 + 1

Le principe consiste à : Conserver le plus grand nombre, Par exemple 7, Connaître le complément à 10 du plus grand nombre, (ici 3), Décomposer le plus petit nombre en somme de ce complément et d’un autre nombre (4 = 3 + 1), Ajouter ce complément au plus grand nombre pour obtenir 10 (7 + 3 = 10), Ajouter 10 à l’autre nombre,(10 +1). Connaître les résultats de type 10 + n, n  10 D’où l’importance à entraîner les élèves à additionner deux nombres dont le résultat est compris entre 10 et 20 afin que se construisent certains automatismes qui favoriseront ensuite une anticipation centrée sur la reformulation du problème et la recherche d’une stratégie, et non sur les calculs.

Structures multiplicatives Bref rappel Les problèmes de type un-plusieurs (proportionnalité simple) Les problèmes de type produit de mesure Les problèmes de comparaison

Structures multiplicatives Bref rappel Les problèmes de type un-plusieurs (proportionnalité simple) Les problèmes de type produit de mesure Les problèmes de comparaison

Quels sens pour 9x6? Nombre de carreaux dans une grille de 9 lignes (ou colonnes) sur et 6 colonnes (ou lignes) 9 (ou 6) sauts de longueur 6 (ou 9) sur une piste Nombre de tenues différentes avec 9 chemises (ou pantalons) et 6 pantalons (ou chemises) 9 fois plus que 6

La multiplication : quelques nœuds Comprendre la commutativité Comprendre la distributivité de la multiplication sur l’addition Quelles situations pour : Rendre évidentes ces propriétés En favoriser la compréhension?

Exemples de questions Dans 3 sachets de 8 billes, il y a 24 billes en tout. Combien de billes y a-t-il dans 8 sachets de 3 billes? Dans une quadrillage de 6 lignes et 9 colonnes, il y a 54 carreaux. Combien y a-t-il de carreaux dans un quadrillage de 9 lignes et 6 colonnes? Nicolas a 8 chemises et 12 pantalons. Il peut ainsi arborer 96 tenues différentes. Tobie a 12 chemises et 8 pantalons. Combien de tenues différentes peut arborer Tobie?

Les situations de division 1. Pour partager : ce terme recouvre des pratiques très diverses : partages égalisés (on fait un nombre déterminé de parts qu’on égalise ensuite), attributions répétées de parts arbitraires mais égales jusqu’à épuisement (on cherche la valeur d’une part), distributions régulières (on cherche le nombre de parts), répartitions égales de quantités variables etc. 2. Pour trouver le terme inconnu d’un produit 3. Pour trouver l’image de 1 dans une situation de proportionnalité, (le prix de l’unité par ex.), ou le coefficient linéaire, 4. Pour trouver l’antécédent d’une valeur (proportionnalité) Pour trouver le reste d’une division ou d’une soustraction répétée Pour trouver un « rapport », un taux, … Pour représenter ou approcher une fraction par un décimal Ceci dans un contexte ordinal ou cardinal

Établir des relations entre le tout et les parties. École maternelle Les nombres pour partager objectifs: - Comprendre qu'une collection peut se partager et que ce partage peut se traduire complètement avec des nombres. Établir des relations entre le tout et les parties. Comprendre que le partage peut être équitable ou non.

Exemple de situation de partage non équitable : les caisses 27 cubes (les caisses) sont à répartir dans 7 camions représentés par des boîtes. Dans chaque camion, on peut ranger 3, 4 ou 5 cubes. Au-delà de 5, le camion est trop chargé; au-dessous de 3, le contrôleur refuse. Variantes: - 1. Chaque groupe a à sa disposition les caisses, mais pas les camions. Les camions (sur le bureau du maître) ont un nombre (ou une constellation) écrit dessus qui indique le nombre de caisses qu'ils peuvent transporter (3, 4 ou 5).Le groupe doit demander au maître les camions dont il a besoin. 2. idem mais lorsque le groupe effectue sa commande, le maître déclare ne pas avoir assez de camions de telle catégorie

Exemple en maternelle GS : indiquer par une croix le partage équitable qui convient. (extrait de la banque d’outils d’aide à l’évaluation, M.E.N)

Exemple au cycle 2

CE1.

Des problèmes plus complexes Qui font intervenir plusieurs connaissances Ou plusieurs étapes simples Ou des modes de raisonnement particuliers Sans nécessairement faire intervenir le langage,

On ne connaît pas le nombre total de pochettes Ecriture formelle : 20 = 5n + 10p, n et p nombres de pochettes L’élève doit procéder par essais-erreurs - des connaissances élémentaires sont nécessaires c’es à l’élève de contrôler ses essais, de repérer les contradictions éventuelles pour invalider certaines hypothèses.

Mais comment repérer les progrès des élèves? prendre en compte la progression des élèves, notamment la démarche de résolution de problèmes, de manière à ce que la réponse ne soit pas toujours le principal indicateur de la réussite Cibler des problèmes encourageant l’argumentation et le recours à plusieurs stratégies de résolution.

Constat : On peut demander aux élèves de justifier leurs résultats, mais alors il faut s’attendre des arguments de toutes sortes, qu’on ne pourra pas évaluer avec les mêmes critères que d’autres types de réponses. Les enseignants ont horreur de corriger les exercices contenant des raisonnements plus longs. Il faut établir des critères pour chaque problème séparément et ceci, seulement après avoir vu les solutions de tous les élèves. Dans beaucoup de cas, il est difficile d’établir comment l’élève a raisonné, car il peut avoir eu du mal à s’exprimer .

Aides possibles : les productions d’élèves fictifs Pour évaluer sur divers aspects comme la formulation des étapes de calcul, la formulation de la réponse, identifier des argumentations exercer les élèves à l’auto-évaluation

Aspects métacognitifs Métacognition: ensemble des connaissances, des stratégies de haut niveau qui guident et régulent l’activité cognitive, et influent sur la performance Le problème : identifier des moyens pour l’améliorer, Peut se traduire par : - l’estimation du résultat en prenant appui sur des expériences antérieures, et sur le rappel de certains résultats mémorisés - l’auto-évaluation de la procédure - l’auto-évaluation des résultats

La planification Processus nécessaire essentiellement exigeant dans des problèmes complexes. Face à une tâche ne nécessitant que la reproduction de procédures acquises, la planification devient moins nécessaire Or apprendre à planifier sa tâche fait partie des compétences à développer

Varier les modes de (re)présentation Texte écrit Texte et image + question Image seule + question … Enoncé oral

Les représentations Une représentation ne peut pas décrire complètement un construit mathématique, Chaque représentation a des avantages différents par rapport à une autre Utiliser plusieurs représentations peut aider les élèves à développer le sens

Exemples Les images peuvent faciliter la lecture des données En même temps, il faut que l’élève apprenne à articuler les représentations entre elles, et les données comprises dans ces représentations Ce processus de mise en relation, d’aller-retour d’une représentation à l’autre est complexe Les élèves ont tendance à considérer chaque représentation d’un objet mathématique de manière isolée Duval

5 fonctions des « images » dans les manuels de mathématiques Images décoratives : sans réelle relation avec le contenu mathématique Fonction d’information : essentiel pour le problème, ou pour illustrer tout ou partie du texte mathématique Fonction d’organisation : pour fournir un cadre structuré du texte Fonction d’interprétation : pour aider à clarifier le contenu du texte Fonction de transformation : pour aider à mémoriser ce qui est important à retenir. Carney et Levin, 2002

Effets des représentations Articuler plusieurs représentations s’avère ainsi un processus complexe qui affecte la performance des élèves car il faut convertir une représentation en une autre Une image informative met en jeu la combinaison de divers modes de représentations (images, mots, diagrammes, …), chacune d’elles différant de l’autre par l’information qu’elle convoie

Exemple « Explique ce qui s’est passé entre les deux images » (CP) L’élève doit : Comparer les deux images et repérer les différences Dénombrer les salades de chaque image Inscrire ces nombres dans un énoncé de problème : « il y avait 3 salades. Le jardinier a rajouté des salades. Combien de salades a-t-il rajoutées? » Ce qui permet d’obtenir une compréhension plus globale du problème Et enfin résoudre le problème : le jardinier a rajouté 7 salades.

Effets limités des images Peuvent être des obstacles aux apprentissages visés, ou à la résolution de problèmes Peuvent comporter des informations qui distraient de la tâche à effectuer en accentuant le rôle de critères peu pertinents Les élèves peuvent avoir des difficultés à établir des liens entre les représentations et le contenu associé.

Exemple

Commentaire associé Le texte indique un partage entre Arthur et Zoe. Les images ainsi que les espaces laissés pour écrire donnent une autre information : le chien Gribouille fait partie du partage. Les nombres en jeu permettent un partage équitable mais le titre de l’exercice indique : partage inéquitable.

Une hiérarchie? Malgré le caractère organisé d’une image, la performance des élèves peut être moins bonne que celle obtenue à partir d’un énoncé verbal simple, d’un énoncé verbal accompagné d’une image décorative ou d’une droite numérique, du fait parfois d’une moindre nécessité d’articuler plusieurs représentations .

Cas de la la file numérique puis de la droite numérique Utile pour l’étude de la suite des nombres, des opérations et de l’arithmétique en général Fait le lien entre cadre géométrique et cadre numérique (position de points, la distance entre deux points représente la différence entre deux nombres), ce qui peut est complexe Construire une représentation linéaire des nombres aide des élèves à résoudre des problèmes pour lesquels ils éprouvent des difficultés en absence de cette représentation. Permet de développer la capacité à estimer l’ordre de grandeur d’un résultat Case, R., & Okamoto, Y. (1996). The role of conceptual structures in the development of children’s thought. In: Monographs of the Society for Research in Child Development, Vol. 61 (1e2). (Serial no. 246). Siegler, R. S., & Opfer, J. (2003). The development of numerical estimation: evidence for multiple representations of numerical quantity. Psycho- logical Science, 14, 237e243. Gagatsis, A., Shiakalli, M., & Panaoura, A. (2003). La droite arithmétique comme modèle géométrique de l’addition et de la soustraction des nombres entiers. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 8, pp.95-112.

Exemple en CE2

Les multiples au CE2

La division au CE2

D’où au cycle 2 Favoriser le travail de la numération sur la suite des nombres en prenant appui sur la file numérique Présenter des exemples de procédures par sauts prenant appui sur la file numérique Favoriser la construction par les élèves de procédures par sauts pour lesquelles seuls les résultats intermédiaires sont écrits.

Merci