La résolution de problèmes au cycle 2 Mercredi 9 mai 2012 Inspection de l’Education nationale Saint-André de l’Eure 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

QUELQUES DÉFINITIONS «Par problème, il faut entendre dans le sens large que lui donnent les psychologues, toute application dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités d’exploration, d’hypothèse, et de vérification pour produire une solution» (Gérard Vergnaud) «Un problème est une situation initiale avec un but à atteindre, demandant à un sujet d’élaborer une suite d’actions et d’opérations pour atteindre ce but. Il n’y a que dans un rapport sujet / situation où la solution n’est pas disponible d’emblée mais est possible à construire». (Jean Brun) En d’autres termes, une réponse non disponible immédiatement, qui nécessite la construction d’une représentation mentale, un cheminement permettant de coordonner des actions pour parvenir à la réponse . «Résoudre un problème exige une grande part d’intuition, d’imagination, de combat avec soi-même» (D.Dacunha Castelle, Science et Avenir) De la GS au CE1, il s’agit de conduire les élèves à résoudre des problèmes, essentiellement additifs (cela regroupe addition et soustraction) et multiplicatifs, « problèmes simples à une opération » et de les amener à automatiser le processus de reconnaissance de l’opération. De fausses situations-problèmes… il en existe beaucoup ! -Des problèmes (classiques) qui ne sont que des exercices -Des problèmes dont l’énoncé est original, mais dont l’habillage masque un exercice banal -Des jeux ou devinettes qui sous une apparence ludique n’abordent que des connaissances ponctuelles -Des problèmes généraux, alimentés par une série de questions (posées par le maître) qui sont les questions que le maître se pose… et pas les élèves ! -Des problèmes de nature expérimentale qui bien souvent ne sont que des expérimentations conçues par l’enseignant et non pas par les élèves. Sous couvert d’être scientifiques, ils transforment les apprenants en simples exécutants de tâches définies. -Des problèmes ouverts, qui bien que plus intéressants que les précédents, ne remettent pas en question une représentation initiale. Toutes ces activités font illusion. Ce ne sont pas de véritables situations-problèmes. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

La conception des élèves Qu'est ce qu'un problème? La conception des élèves La conception des élèves: *« Il faut faire des opérations, calculer, trouver un résultat, écrire la réponse en faisant une phrase ... » * « On a répondu quand on a utilisé tous les chiffres » * « Le plus dur, c'est de trouver LA bonne opération » ... 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

Ce que disent les programmes : De la GS au CE1, il s’agit de conduire les élèves à résoudre des problèmes, essentiellement additifs (cela regroupe addition et soustraction) et multiplicatifs, « problèmes simples à une opération » et de les amener à automatiser le processus de reconnaissance de l’opération. De fausses situations-problèmes… il en existe beaucoup ! -Des problèmes (classiques) qui ne sont que des exercices -Des problèmes dont l’énoncé est original, mais dont l’habillage masque un exercice banal -Des jeux ou devinettes qui sous une apparence ludique n’abordent que des connaissances ponctuelles -Des problèmes généraux, alimentés par une série de questions (posées par le maître) qui sont les questions que le maître se pose… et pas les élèves ! -Des problèmes de nature expérimentale qui bien souvent ne sont que des expérimentations conçues par l’enseignant et non pas par les élèves. Sous couvert d’être scientifiques, ils transforment les apprenants en simples exécutants de tâches définies. -Des problèmes ouverts, qui bien que plus intéressants que les précédents, ne remettent pas en question une représentation initiale. Toutes ces activités font illusion. Ce ne sont pas de véritables situations-problèmes. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

Er le socle commun : Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage. À la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du calcul mais c’est le cours préparatoire qui installera le symbolisme (signes des opérations, signe “égal”) et les techniques. À la fin de l’école maternelle l’enfant est capable de : - comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités ; - mémoriser la suite des nombres au moins jusqu’à 30 ; - dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus ; - associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée ; 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

L’apprentissage suppose d’être attentif à différents points : – la compréhension de l’énoncé (y compris le jeu symbolique, scolaire, qui consiste à s’emparer d’un problème ; devenir élève de ce point de vue est essentiel); – la diversité des formes de présentation (variété des habillages) ; – la progressivité de l’élaboration de procédures plus efficaces et de l’automatisation des procédures utilisées. De la GS au CE1, il s’agit de conduire les élèves à résoudre des problèmes, essentiellement additifs (cela regroupe addition et soustraction) et multiplicatifs, « problèmes simples à une opération » et de les amener à automatiser le processus de reconnaissance de l’opération. De fausses situations-problèmes… il en existe beaucoup ! -Des problèmes (classiques) qui ne sont que des exercices -Des problèmes dont l’énoncé est original, mais dont l’habillage masque un exercice banal -Des jeux ou devinettes qui sous une apparence ludique n’abordent que des connaissances ponctuelles -Des problèmes généraux, alimentés par une série de questions (posées par le maître) qui sont les questions que le maître se pose… et pas les élèves ! -Des problèmes de nature expérimentale qui bien souvent ne sont que des expérimentations conçues par l’enseignant et non pas par les élèves. Sous couvert d’être scientifiques, ils transforment les apprenants en simples exécutants de tâches définies. -Des problèmes ouverts, qui bien que plus intéressants que les précédents, ne remettent pas en question une représentation initiale. Toutes ces activités font illusion. Ce ne sont pas de véritables situations-problèmes. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

COMMENT ENSEIGNER LA RESOLUTION DE PROBLEMES ? En variant les catégories de problèmes Première classification: à partir des formes d’énoncés ►Deuxième classification: à partir des notions mathématiques ►Troisième classification: à partir des objectifs pédagogiques Effet des variables didactiques : variables sur lesquelles le professeur peut agir pour faire évoluer les stratégies des élèves : Nature des nombres en jeu : entiers petits ou grands, nombres décimaux, nature des grandeurs en jeu La formulation Les modes de présentation, *La structure des problèmes s’avère une variable principale à prendre en considération; elle s’avère un obstacle à franchir pour de nombreux élèves, ce qui explique le choix d’une progression prenant en compte le développement des élèves. Un énoncé peut être classé selon des points de vue différents dans une catégorie ou dans une autre. Il ne s’agit pas d’un simple classement d’énoncés mais d’un classement de raisonnements face à des problèmes arithmétiques. (Vergnaud) Le but est d’aider les élèves à développer ces raisonnements. Il est important de travailler simultanément les deux opérations addition et soustraction, L’opération sous-jacente, ou encore les écritures mathématiques ne suffisent pas pour traduire la complexité ou la simplicité d’un problème, même pour des situations familières. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

A partir des objectifs pédagogiques Un problème pour apprendre à chercher (un problème ouvert) Un problème pour apprendre (situation-problème) Un problème d’application et de réinvestissement d’une notion connue Un problème de transfert 1 - Son intention est de mettre les élèves en situation de chercher la réponse à un problème inédit. (développer des compétences plus méthodologiques) 2- C’est un problème destiné à construire de nouvelles connaissances. Il peut prendre la forme d’une situation problème. 3- Il permet aux élèves d’utiliser des connaissances déjà étudiées et au maître d’évaluer les élèves et réguler son enseignement. 4 – il va permettre aux élèves l’extension du champs d’utilisation d’une notion déjà étudiée. TRANSITION : ces objectifs s’inscrivent dans les différentes phases du processus d’apprentissage. En voici un rappel: 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2 CATÉGORIESDEPROBLÈMES Classification en fonction d’objectifs pédagogiques Problèmes destinés à construire de nouvelles connaissances : situations-problèmes utiliser des connaissances déjà étudiées : problèmes de réinvestissement approfondir une notion déjà étudiée : problèmes de «transfert» utiliser conjointement plusieurs catégories de savoirs : problèmes complexes Mettre les élèves en situation de recherche, à développer des attitudes, des méthodes : problèmes ouverts, problèmes pour raisonner Faire le point sur la manière dont les connaissances sont maîtrisées : problèmes d’évaluation

Des problèmes pour chercher Le rallye-Math du Cantal - Le problème ouvert permet de proposer à l’élève une activité comparable à celle d’un mathématicien confronté à des problèmes qu’il n’a pas appris à résoudre. Il s’agit de chercher une solution originale, personnelle, « avec les moyens du bord », mais la solution générale n’est pas à leur portée. - Le problème ouvert permet de mettre l’accent sur des objectifs spécifiques, d’ordre méthodologique. Il exige de l’élève la mise en oeuvre de méthodes et de compétences peu travaillées : essayer, organiser sa démarche, argumenter à propos de sa solution ou de celle d’un autre,... - Le problème ouvert offre une occasion de prendre en compte et même de valoriser les différences entre les élèves. - Le problème ouvert permet à l’enseignant de faire connaître aux élèves quelles sont ses attentes en matière de résolution de problèmes. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

Evaluations nationales CE1 – Mai 2011 Circ Nat Ecart 090 Calcul Résoudre des problèmes relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication Approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un problème de partage ou de groupements Problème faisant intervenir la soustraction Xavier a 225 images de fleurs et d’animaux en tout. Il a 112 images d’animaux. Combien a-t-il d’images de fleurs ? 48.7% 48.8% -0.1% 091 Calcul Résoudre des problèmes relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication Approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un problème de partage ou de groupements Problème faisant intervenir la multiplication Un club de ping-pong achète 12 boîtes de 4 balles. Combien de balles a-t-il achetées ? 51.1% 51.2% 092 Calcul Problème faisant intervenir la division Trois enfants se partagent en part égale 75 images. Combien d’images auront-ils chacun ? 20.5% 21.1% -0.6% - Le problème ouvert permet de proposer à l’élève une activité comparable à celle d’un mathématicien confronté à des problèmes qu’il n’a pas appris à résoudre. Il s’agit de chercher une solution originale, personnelle, « avec les moyens du bord », mais la solution générale n’est pas à leur portée. - Le problème ouvert permet de mettre l’accent sur des objectifs spécifiques, d’ordre méthodologique. Il exige de l’élève la mise en oeuvre de méthodes et de compétences peu travaillées : essayer, organiser sa démarche, argumenter à propos de sa solution ou de celle d’un autre,... - Le problème ouvert offre une occasion de prendre en compte et même de valoriser les différences entre les élèves. - Le problème ouvert permet à l’enseignant de faire connaître aux élèves quelles sont ses attentes en matière de résolution de problèmes. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

Les différentes catégories de problèmes additifs et soustractifs 1. Recherche de l’état final connaissant la transformation positive et l’état initial. « Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Léo ? » 2. Recherche de l’état final connaissant la transformation négative et l’état « Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Juliette. Combien de billes a 3. Recherche de l’état initial connaissant la transformation positive et l’état final. « Léo avait des billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Maintenant Léo a 9 billes. Combien de billes avait Léo ? » 4. Recherche de l’état initial connaissant la transformation négative et l’état « Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à Juliette. Maintenant Léo a 3 billes. Combien avait- il de billes ? » Voici une catégorisation de problèmes additifs et soustractifs à traiter au cycle 2. Pour chaque catégorie, l’enseignant conservera un exemple d’énoncé. Certes la recherche d’un état final est souvent plus facile que celle de l’état initial ou de la transformation mais cette hiérarchie peut être contrariée, par exemple, par le contexte (habillage) ou par le domaine numérique mobilisé. C’est pourquoi la liste ci–dessous n’a pas de valeur chronologique et ne peut être assimilée à une progression. Cette catégorisation peut également servir de grille de lecture pour l’analyse des manuels que l’on voudrait utiliser dans la classe pour travailler le champ des Problèmes additifs et soustractifs. 3. Cette catégorisation provient de la typologie des structures additives de G. Vergnaud. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

9 billes. Combien de billes Juliette a–t–elle données à Léo ? » 5. Recherche de la transformation positive connaissant l’état initial et l’état final. « Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des billes. Léo a maintenant 9 billes. Combien de billes Juliette a–t–elle données à Léo ? » 6. Recherche de la transformation négative connaissant l’état initial et l’état final. « Léo avait 9 billes. Puis il a donné des billes à Juliette. Maintenant Léo a 4 billes. Combien de billes Léo a– t –il données à Juliette ? » 7. Recherche de la composée de deux états. « Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes. Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble? » 8. Recherche d’un état connaissant un second état et la composée des deux états. « Léo et Juliette ont 17 billes ensemble. Juliette a 8 billes. Combien Léo a– t–il de billes ? » COMPARAISON D’ETATS Il n’y a pas de transformation, il s’agit de retrouver, soit l’un des états de la comparaison (plus ou moins), soit la comparaison elle-même (la différence). COMPOSITION DE TRANSFORMATIONS C’est la gamme de problèmes qui comporte le plus de combinaisons possibles car plusieurs transformations se succèdent. On recherche soit le résultat des transformations successives, soit l’une des composantes. On ne connaît ni l’état initial, ni l’état final ou intermédiaire. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

9. Recherche de l’état à comparer connaissant l’état comparé et la comparaison positive. « Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui. Combien de billes Juliette a–t–elle ? » 10. Recherche de l’état à comparer connaissant l’état comparé et la comparaison négative. « Léo a 9 billes. Juliette a 5 billes de moins que lui. Combien de billes Juliette 11. Recherche de l’état comparé connaissant l’état à comparer et la comparaison positive. « Léo a 9 billes. Il en a 7 de plus que Juliette. Combien de billes Juliette 12. Recherche de l’état comparé connaissant l’état à comparer et la comparaison négative. « Léo a 9 billes. . Il en a 5 de moins que Juliette. Combien de billes Juliette COMPARAISON D’ETATS Il n’y a pas de transformation, il s’agit de retrouver, soit l’un des états de la comparaison (plus ou moins), soit la comparaison elle-même (la différence). COMPOSITION DE TRANSFORMATIONS C’est la gamme de problèmes qui comporte le plus de combinaisons possibles car plusieurs transformations se succèdent. On recherche soit le résultat des transformations successives, soit l’une des composantes. On ne connaît ni l’état initial, ni l’état final ou intermédiaire. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

13. Recherche de la comparaison positive connaissant les deux états. « Léo a 3 billes. Juliette en a 9. Combien de billes Juliette a–t–elle de plus que Léo ? » 14. Recherche de la comparaison négative connaissance les deux états. « Léo a 8 billes. Juliette en a 6. Combien de billes Juliette a–t–elle de moins que Léo ? » . Dans les problèmes de transformation : - La recherche de l’état final semble ainsi plus facile que celle de la transformation, la recherche de l’état initial étant encore plus difficile. - il est plus facile de travailler dans un contexte cardinal que dans un contexte de mesure de grandeurs. Les problèmes de combinaison : il est plus facile de trouver le tout que de trouver une partie Les problèmes de comparaison sont les plus complexes. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

La place de l’écrit Types d’écrits : · Les écrits de référence · Les écrits de recherche et de travail · Les rédactions de solutions Les différentes traces écrites peuvent avoir diverses fonctions : Les écrits de référence: -ils permettent de conserver la trace de ce que l'on a appris, ou de ce que «l'on sait que l'on sait», doivent respecter les règles de la syntaxe usuelle et de la syntaxe mathématique. Ces types d'écrit sont destinés à durer, à rester utilisables, à servir de référence pour tous (cahier, affiches, livres….) Les écrits de recherche et de travail -destinés à être relus par l’élève et n'ont donc pas nécessairement une forme parfaitement correcte, tant sur le plan mathématique que sur le plan de la langue. II s'agit là d'écrits « pour chercher » qui font partie du travail privé de l'élève et lui sont utiles à court terme (cahier d’essais, cahier-mémoire, tableau, travail sur affiches, ardoise, cahier de maths sur le modèle du cahier d’expérience). Les rédactions de solutions Comme tout écrit, celui-ci doit être communicable et avoir des destinataires (le maître d'abord, les autres élèves...) Il s’agit d’un écrit de reconstruction, il doit permettre une compréhension claire de la méthode de résolution adoptée par l’élève. .Cet écrit répond à des normes II doit être synthétique. Il doit articuler correctement les étapes principales de la solution trouvée, les calculs qui les accompagnent, et une formulation explicite de la réponse Donc pas d’aléas individuels de la recherche,pas d’éléments superflus ou redondants, les marques très personnelles de chacun, éviter les oublis, les sauts d'étapes, les raccourcis qui rendraient la démarche insuffisamment justifiée ; mais aussi éviter les marques narratives, les répétitions, bref, 'aller à l'essentiel, produire un texte concis et dense. C’est un travail du mathématicien qui vise à la production d'un écrit suffisamment clarifié et dépersonnalisé pour être socialement et mathématiquement acceptable. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

Les caractéristiques de l'énoncé de problème Une des particularités de l'énoncé écrit de problème mathématique est que c'est un écrit exclusivement scolaire et sans auteur. Cap math CP Les différentes traces écrites peuvent avoir diverses fonctions : Les écrits de référence: -ils permettent de conserver la trace de ce que l'on a appris, ou de ce que «l'on sait que l'on sait», doivent respecter les règles de la syntaxe usuelle et de la syntaxe mathématique. Ces types d'écrit sont destinés à durer, à rester utilisables, à servir de référence pour tous (cahier, affiches, livres….) Les écrits de recherche et de travail -destinés à être relus par l’élève et n'ont donc pas nécessairement une forme parfaitement correcte, tant sur le plan mathématique que sur le plan de la langue. II s'agit là d'écrits « pour chercher » qui font partie du travail privé de l'élève et lui sont utiles à court terme (cahier d’essais, cahier-mémoire, tableau, travail sur affiches, ardoise, cahier de maths sur le modèle du cahier d’expérience). Les rédactions de solutions Comme tout écrit, celui-ci doit être communicable et avoir des destinataires (le maître d'abord, les autres élèves...) Il s’agit d’un écrit de reconstruction, il doit permettre une compréhension claire de la méthode de résolution adoptée par l’élève. .Cet écrit répond à des normes II doit être synthétique. Il doit articuler correctement les étapes principales de la solution trouvée, les calculs qui les accompagnent, et une formulation explicite de la réponse Donc pas d’aléas individuels de la recherche,pas d’éléments superflus ou redondants, les marques très personnelles de chacun, éviter les oublis, les sauts d'étapes, les raccourcis qui rendraient la démarche insuffisamment justifiée ; mais aussi éviter les marques narratives, les répétitions, bref, 'aller à l'essentiel, produire un texte concis et dense. C’est un travail du mathématicien qui vise à la production d'un écrit suffisamment clarifié et dépersonnalisé pour être socialement et mathématiquement acceptable. ARP « J'apprends les maths CP L'énoncé est le plus souvent sous la forme narrative Cap math CP 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

Les caractéristiques de l'énoncé de problème C'est un texte pour faire-faire, qui attend une ou plusieurs réponses et qui a donc une partie injonctive: -sous la forme d'une question explicite: Nicolas a-t-il assez d'argent pour acheter ce livre? -sous la forme d'une question semi-implicite: Quelle est la somme dépensée? -sous la forme d'une question implicite: Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? -sous la forme d'un ordre (à l'impératif): Range ces animaux du plus lourd au plus léger. Calcule le prix des 3 ballons Trace un carré à l'intérieur du rectangle. Les différentes traces écrites peuvent avoir diverses fonctions : Les écrits de référence: -ils permettent de conserver la trace de ce que l'on a appris, ou de ce que «l'on sait que l'on sait», doivent respecter les règles de la syntaxe usuelle et de la syntaxe mathématique. Ces types d'écrit sont destinés à durer, à rester utilisables, à servir de référence pour tous (cahier, affiches, livres….) Les écrits de recherche et de travail -destinés à être relus par l’élève et n'ont donc pas nécessairement une forme parfaitement correcte, tant sur le plan mathématique que sur le plan de la langue. II s'agit là d'écrits « pour chercher » qui font partie du travail privé de l'élève et lui sont utiles à court terme (cahier d’essais, cahier-mémoire, tableau, travail sur affiches, ardoise, cahier de maths sur le modèle du cahier d’expérience). Les rédactions de solutions Comme tout écrit, celui-ci doit être communicable et avoir des destinataires (le maître d'abord, les autres élèves...) Il s’agit d’un écrit de reconstruction, il doit permettre une compréhension claire de la méthode de résolution adoptée par l’élève. .Cet écrit répond à des normes II doit être synthétique. Il doit articuler correctement les étapes principales de la solution trouvée, les calculs qui les accompagnent, et une formulation explicite de la réponse Donc pas d’aléas individuels de la recherche,pas d’éléments superflus ou redondants, les marques très personnelles de chacun, éviter les oublis, les sauts d'étapes, les raccourcis qui rendraient la démarche insuffisamment justifiée ; mais aussi éviter les marques narratives, les répétitions, bref, 'aller à l'essentiel, produire un texte concis et dense. C’est un travail du mathématicien qui vise à la production d'un écrit suffisamment clarifié et dépersonnalisé pour être socialement et mathématiquement acceptable. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

CATÉGORIES DE PROBLÈMES Classification à partir des énoncés : en fonction de la présentation des données Énoncés sous forme d’un texte écrit Une partie des informations présentées sous forme organisée (tableau, diagramme, …) Énoncés qui associent texte et image (photo, BD, dessin…), l’illustration est source ou non d’informations pour résoudre le problème Énoncés associant texte et document authentique (publicité, extrait de tarif…) Autres formes : informations données oralement Conséquences pour l’élève: stratégies de lecture diverses 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

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Comment venir en aide aux élèves en difficultés? Difficultés de lecture -Faire des tris de textes pour apprendre à identifier un énoncé de problème -Donner un énoncé avec des phrases dans le désordre et demander de reconstituer l’énoncé. -Donner des morceaux de différents énoncés mélangés et demander de reconstituer les différents énoncés. -Donner des énoncés « à trous » qu' ’il faut compléter (avec ou sans propositions de réponses). - Faire, de temps en temps, « une vraie séance de lecture » à partir d’un énoncé de problème qu’on résout ensuite. - De façon plus générale, faire pour chaque problème un « petit travail » en amont sur les difficultés que le maître aura repérées a priori dans l’énoncé - Travail plus ponctuel sur un point particulier (travail concernant la partie informative et la partie injonctive d’un énoncé, l’utilisation des phrases interrogatives dans les énoncés de problèmes, l’utilisation des pronoms, etc.) (Faire entourer la (ou les ) questions, la tâche à accomplir.) - Résolution de problèmes dont les énoncés comportent peu ou pas de « français » 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

Comment venir en aide aux élèves en difficultés? Texte long: Ce matin, en arrivant à la Saint-Urbain, Benjamin a vu un marchand de ballons, il avait 21 ballons attachés au bout de petites ficelles. Quand Benjamin est reparti, après avoir fait des tours de manège, il est repassé devant le marchand qui n'avait plus que 12 ballons dans la main. Combien de ballons ont été vendus? Support image: Ce matin, le marchand avait 21 ballons. Regarde sur le dessin le nombre de ballons qu'il lui reste à midi? Combien de ballons a-t-il vendus? Texte court: Ce matin, le marchand avait 21 ballons. A midi, il lui en reste encore 12. Combien en a-t-il vendus? 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

Comment venir en aide aux élèves en difficultés? Travail sur les consignes: • Travailler sur les significations différentes que peut prendre un même verbe selon qu’on est en mathématiques ou pas (Exemple : comparer) • Etudier les différentes formes que peut prendre une consigne : Calculer la somme d’argent … Calcule la somme d’argent … Tu calculeras la somme d’argent … Quelle est la somme d’argent ? Combien a-t-il dépensé? Quel est le montant de la dépense? ( → calculer) Quel est le côté le plus long ? (→ citer) PolysémieLexique_des_problemes_numeriques.doc • Faire une liste des verbes utilisés dans les consignes en mathématiques (par exemple en consultant les exercices déjà faits en classe) et les regrouper en fonction de leur signification. Calculer, ajouter, … on me demande de calculer Tracer, dessiner, reproduire, … on me demande de faire un dessin, une figure Expliquer, dire pourquoi, … on me demande de donner une explication GS/CP Une transition à accompagner R. GOIGOUX : "Un défaut majeur peut être pointé en maternelle : l’habillage excessif des tâches scolaires qui gêne le traitement des informations essentielles (l’attention est attirée par des détails non pertinents pour la résolution) …. » Au CP, les premiers problèmes doivent être proposés oralement et résolus sur un cahier de brouillon (ou avec du matériel) bien avant de pouvoir être résolus sur le fichier. Il ne faut pas hésiter par contre à leur proposer, dès le départ, des problèmes relevant des 4 opérations. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

Comment venir en aide aux élèves en difficultés? Difficultés de représentation de la situation et de conceptualisation: *Jouer la situation, la mettre en scène. *La raconter avec ses mots, comme une histoire, à un camarade. *Manipuler avec les objets qui correspondent à l'énoncé. *Manipuler avec des jetons. Il faut cependant se convaincre que ce n’est pas la manipulation d’un matériel qui constitue l’activité mathématique, mais les questions qu’elle suggère. *Schématiser Travailler sur les mots des problèmes, les classer. Plus, moins, autant, davantage, combien, « en tout », long, court, fois, rangées, longueur, part, équitablement, ajouter, verser, prendre, partager, gagner, dépasser, recevoir, augmenter, perdre, dépenser, manquer, calculer, écrire une égalité... Mais se méfier des automatismes qu'ils peuvent engendrer Plus l’élève est en difficulté, plus il va chercher des indices qui lui permettent de répondre à la question plutôt que de « chercher » le problème. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

transformation positive (cas numéro 3) Un exemple de mise en œuvre : recherche de l’état initial à partir d’une transformation positive (cas numéro 3) Objectif : automatiser l’utilisation de la soustraction pour la résolution d’un problème relevant de cette structure. • Comprendre la situation • Dissocier cette situation d’autres déjà rencontrées • Élaborer une première procédure • Identifier cette nouvelle catégorie de problème et commencer à construire l’association soustraction / nouvelle procédure de résolution Situation de réinvestissement • Le passage de la situation à l’énoncé • Automatiser l’utilisation de la soustraction pour la résolution d’un problème 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

Problèmes de multiplication et de division au cycle 2 Cadre du socle commun de connaissances et de compétences Des approches concrètes et pratiques des mathématiques […] aident les élèves à comprendre les notions abstraites. […] Les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne. […] La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s’acquiert et s’exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. Principales compétences attendues à la fin du CE1 (premier palier) dans le champ multiplicatif : – calculer une multiplication ; – diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 100 (dans le cas où le quotient exact est entier) ; – restituer et utiliser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ; – calculer mentalement en utilisant des multiplications simples ; – résoudre des problèmes très simples. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

Différentes catégories de problèmes La progressivité des séances d’enseignement se conçoit selon deux axes : l’identification des catégories de problèmes et le choix des variables didactiques au sein d’un même type de problèmes. Problèmes de multiplication et de division Les situations proposées dans un contexte de distribution, de partage et de groupement relèvent de problèmes de multiplication et de division. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

ceux qui font appel à une addition réitérée Deux types de problèmes sont à distinguer dans le cadre de la multiplication : ceux qui font appel à une addition réitérée Exemple : il y a 4 élèves. La maîtresse distribue 3 jetons à chaque élève. Combien distribue– t – elle de jetons en tout ? et ceux qui mettent en jeu un produit de mesures. Exemple : quel est le nombre de carreaux de chocolat que contient une tablette de 3 sur 4 ? 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

Problèmes de division quotition Deux types de problèmes sont à distinguer dans le cadre de la division : Problèmes de division quotition Nombre d’élèves Nombre de jetons 1 3 ? 12 Exemple : la maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à un groupe d’élèves. Chaque élève reçoit 3 jetons. Combien y a– t –il d’élèves ? Résoudre un problème de division quotition revient à calculer le nombre de paquets identiques que l’on peut faire dans une collection connaissant la valeur d’un paquet. Résoudre un problème de division partition revient à calculer la valeur d’un paquet connaissant le nombre de paquets identiques que l’on peut faire dans une collection. Problèmes de division partition Exemple : la maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à 4 élèves. Chaque élève a le même nombre de jetons. Combien de jetons a chaque élève ? Nombre d’élèves Nombre de jetons 1 ? 4 12 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

Identification et choix des variables La taille des nombres La relation entre les nombres (double, moitié…) L’habillage de la situation La présentation de l’énoncé (écrit, oral, dessin, schéma, matériel…) sont autant de variables qui peuvent moduler le niveau de complexité du problème proposé dans le cadre d’une pédagogie différenciée. C’est en faisant évoluer tour à tour chacun de ces paramètres que l’enseignant favorise chez l’élève la construction progressive des compétences en résolution de problèmes. Par exemple, l’augmentation de la taille des nombres de l’énoncé peut obliger l’élève à dépasser, voire abandonner les procédures initiales de dessin. Elle permet de justifier l’introduction des écritures mathématiques avec le recours à différents signes. Cette écriture symbolique sera progressivement exigée. La relation entre les nombres est également déterminante dans le choix de la procédure adoptée par l’élève. Ainsi, un problème de division quotition où la valeur du paquet est 10 revient à un problème de numération (lire le nombre de dizaines dans l’écriture du nombre). 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

CP : des problèmes de multiplication Objectifs des programmes 2008 La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations. C’est le cours préparatoire qui installe le symbolisme (signes des opérations, signe « égal ») et les techniques. Principales compétences attendues à la fin du cours préparatoire dans le champ multiplicatif : – connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20 ; – connaître la table de multiplication par 2 ; – résoudre des problèmes simples à une opération. 3. Différenciation On constate que l’élève associe souvent la résolution du problème au calcul d’une opération dans une démarche techniciste : il prend systématiquement les nombres présents dans l’énoncé et les soumet à l’opération qu’il maîtrise le mieux (addition). Le contrat didactique est alors à (re)poser. Les démarches et outils d’aide proposés en GS peuvent être repris en CP. Pour améliorer la compréhension de l’énoncé, l’enseignant peut proposer aux élèves de : – reformuler oralement la situation ; – représenter la situation de façon figurative (dessin, image, photo) ou symbolique (schéma) ; – mimer la situation avec ou sans matériel ; – vivre des situations concrètes de distribution similaire (jeux de cartes, de dés, de société). Pour étayer la méthode de calcul, l’enseignant peut 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

CE1 : des problèmes de groupements et de partage pour une approche de la division Objectifs des programmes 2008 La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages.10 Elle fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations. Principales compétences attendues à la fin du cours élémentaire première année dans le champ multiplicatif : – connaître les doubles et moitiés de nombres d’usage courant ; – mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ; – connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des produits ; – connaître une technique opératoire de la multiplication et l’utiliser pour effectuer des multiplications par un nombre à un chiffre ; – diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier) ; – résoudre des problèmes relevant de la multiplication ; – approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un problème de partage ou de groupements. 3. Différenciation Les procédures erronées recensées en CP s’ancrent en CE1 pour les élèves fragiles ou en difficulté (compréhension encore difficile de la situation, enfermement dans la mécanisation). En outre, l’explicitation régulière par l’élève de sa procédure permet à la fois de contourner l’idée d’une magie du résultat et de déceler les erreurs de raisonnement masquées par un résultat juste. L’élève détourne souvent l’emploi de la multiplication ou de la division par l’utilisation d’une addition ou d’une soustraction réitérée. Pour amener l’élève à dépasser ces types de procédures : – l’enseignant propose un entraînement régulier à l’écriture de séries d’additions réitérées sous la forme de produits ; – l’enseignant augmente la taille des nombres figurant dans l’énoncé du problème (les calculs additif et soustractif deviennent alors coûteux et sources d’erreurs) ; – l’enseignant propose une comparaison des diverses procédures de résolution, pour mettre en avant les notions de fiabilité, de rapidité et de simplicité. L’élève a tendance naturellement à contourner l’utilisation de la division par l’emploi d’une multiplication à trous. Pour amener l’élève à s’approprier l’équivalence entre ces deux opérations, l’enseignant peut proposer un entraînement régulier de passage d’une écriture à l’autre, en vue de familiariser progressivement l’élève avec le signe « : ». L’automatisation des tables de multiplication est indispensable à la résolution des problèmes de groupements et de partage. Pour favoriser l’approche de la division, l’élève doit être habitué à manipuler ces tables sous des formulations diverses (par exemple combien fait 4 fois 3 ?, en 12 combien de fois 4 ?, combien fait 3 fois 4 ?, en 12 combien de fois 3 ?). 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

Travail sur les procédures et sur les erreurs L’apprentissage de la résolution de problèmes doit s’inscrire dans la durée. Il commence dès l’école maternelle, se poursuit tout au long de la scolarité primaire et au–delà. Afin d’en assurer la cohérence et la continuité, et ainsi d’en renforcer la lisibilité chez les élèves, les équipes enseignantes s’attacheront à leur proposer un « parcours résolution de problèmes », tout comme elles proposent un parcours culturel, sur toute la durée de leur scolarité. Ceci nécessite de discuter ensemble de la progression des concepts inhérents à cet apprentissage à travers les trois cycles, et de mettre en place des outils communs qui évolueront d’une classe à l’autre. Travailler la typologie des problèmes et donner aux élèves les clés pour les reconnaître, et ce quel que soit leur habillage, c’est leur permettre de s’autoriser à s’engager dans une démarche de recherche. Car faire des mathématiques, c’est chercher. Or, pour chercher, les élèves ont besoin d’outils disponibles à tout moment. Ils doivent donc les mémoriser et cet enjeu doit leur être explicité. Ainsi l’effort demandé de mémorisation en vue d’acquérir des automatismes, sera d’autant mieux accepté que l’élève comprendra que le chemin est balisé. Cet apprentissage doit également être ponctué de moments spécifiques identifiés à la fois par le maître et par l’élève : ce dernier découvre (situation de découverte), s’entraîne (situations d’entraînement en contexte, hors contexte, sur plusieurs types de problèmes), élabore une trace écrite qui enrichit à la fois le recensement des différentes structures de problèmes et des divers types de procédures utilisées, est évalué, réinvestit enfin pour entretenir la connaissance et la compétence. Au cours de ces différentes phases, l’enseignant veillera à apporter des aides spécifiques en réponse à des besoins identifiés grâce à des outils d’évaluation formalisés en équipe. La phase d’évaluation individuelle régulière, orale et/ou écrite, demeure fondamentale car elle est la seule garante des acquisitions réelles de l’élève et permet la régulation des différentes modalités d’aide pour assurer le suivi des élèves repérés les plus fragiles. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

La rédaction de la solution Dans les fichiers, rédiger la réponse revient généralement à compléter une phrase « à trous »: Produire un texte complet est une tâche difficile au cycle 2. Par sa brièveté, sa structure et son contenu, l’écrit mathématique peut s’avérer un support intéressant pour entrer dans un apprentissage progressif de l’écriture. Les procédures personnelles doivent d’abord être privilégiées Ces procédures sont d’abord peu élaborées (dessins, symboles représentant la situation, nombres uniquement) Certaines procédures font l’objet d’une ostension pour aider l’élève à disposer de stratégies multiples. On entraîne en parallèle sur des stratégies de calcul réfléchi, sur les automatismes (tables), … La technique usuelle est alors proposée comme généralisable C’est en résolvant des problèmes bien choisis que l’on développe des compétences en résolution de problèmes Au CP : Ecrire la solution d’un problème revient à produire une phrase simple dont la structure est la suivante (exemples tirés de Maths CP, Hachette, 2001, p.90-91) : P = GN + GV La maîtrise des calculs numériques élémentaires est fondamentale : une automaticité, c'est-à-dire une reproduction et non une reconstruction conduit les élèves à estimer les ordres de grandeur des résultats, repérer des erreurs dans des résultats obtenus par exemple avec la calculette, Les bons estimateurs sont aussi ceux qui maîtrisent les faits numériques. Une activation automatique est économique dans la mesure où elle est rapide, non consciente, sans effort, et n’interfère pas avec une autre activité mentale en cours. Les élèves en difficulté sont aussi ceux qui qui n’ont pas assimilé les faits numériques de base. L’automaticité doit être une conséquence d’un apprentissage. D’où la nécessité d’un travail régulier et systématique 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

La rédaction de la solution Extraits du fichier MATH CP (Hachette) (page 90) ( "Rédiger la solution") Les procédures personnelles doivent d’abord être privilégiées Ces procédures sont d’abord peu élaborées (dessins, symboles représentant la situation, nombres uniquement) Certaines procédures font l’objet d’une ostension pour aider l’élève à disposer de stratégies multiples. On entraîne en parallèle sur des stratégies de calcul réfléchi, sur les automatismes (tables), … La technique usuelle est alors proposée comme généralisable C’est en résolvant des problèmes bien choisis que l’on développe des compétences en résolution de problèmes La maîtrise des calculs numériques élémentaires est fondamentale : une automaticité, c'est-à-dire une reproduction et non une reconstruction conduit les élèves à estimer les ordres de grandeur des résultats, repérer des erreurs dans des résultats obtenus par exemple avec la calculette, Les bons estimateurs sont aussi ceux qui maîtrisent les faits numériques. Une activation automatique est économique dans la mesure où elle est rapide, non consciente, sans effort, et n’interfère pas avec une autre activité mentale en cours. Les élèves en difficulté sont aussi ceux qui qui n’ont pas assimilé les faits numériques de base. L’automaticité doit être une conséquence d’un apprentissage. D’où la nécessité d’un travail régulier et systématique 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

Conclusion Proposer un « parcours résolution de problèmes » L’apprentissage de la résolution de problèmes doit s’inscrire dans la durée. Proposer un « parcours résolution de problèmes » Travailler la typologie des problèmes et donner aux élèves les clés pour les reconnaître, et ce quel que soit leur habillage, c’est leur permettre de s’autoriser à s’engager dans une démarche de recherche. L’apprentissage de la résolution de problèmes doit s’inscrire dans la durée. Il commence dès l’école maternelle, se poursuit tout au long de la scolarité primaire et au–delà. Afin d’en assurer la cohérence et la continuité, et ainsi d’en renforcer la lisibilité chez les élèves, les équipes enseignantes s’attacheront à leur proposer un « parcours résolution de problèmes », tout comme elles proposent un parcours culturel, sur toute la durée de leur scolarité. Ceci nécessite de discuter ensemble de la progression des concepts inhérents à cet apprentissage à travers les trois cycles, et de mettre en place des outils communs qui évolueront d’une classe à l’autre. Travailler la typologie des problèmes et donner aux élèves les clés pour les reconnaître, et ce quel que soit leur habillage, c’est leur permettre de s’autoriser à s’engager dans une démarche de recherche. Car faire des mathématiques, c’est chercher. Or, pour chercher, les élèves ont besoin d’outils disponibles à tout moment. Ils doivent donc les mémoriser et cet enjeu doit leur être explicité. Ainsi l’effort demandé de mémorisation en vue d’acquérir des automatismes, sera d’autant mieux accepté que l’élève comprendra que le chemin est balisé. Cet apprentissage doit également être ponctué de moments spécifiques identifiés à la fois par le maître et par l’élève : ce dernier découvre (situation de découverte), s’entraîne (situations d’entraînement en contexte, hors contexte, sur plusieurs types de problèmes), élabore une trace écrite qui enrichit à la fois le recensement des différentes structures de problèmes et des divers types de procédures utilisées, est évalué, réinvestit enfin pour entretenir la connaissance et la compétence. Au cours de ces différentes phases, l’enseignant veillera à apporter des aides spécifiques en réponse à des besoins identifiés grâce à des outils d’évaluation formalisés en équipe. La phase d’évaluation individuelle régulière, orale et/ou écrite, demeure fondamentale car elle est la seule garante des acquisitions réelles de l’élève et permet la régulation des différentes modalités d’aide pour assurer le suivi des élèves repérés les plus fragiles. 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2

Merci de votre attention Les procédures personnelles doivent d’abord être privilégiées Ces procédures sont d’abord peu élaborées (dessins, symboles représentant la situation, nombres uniquement) Certaines procédures font l’objet d’une ostension pour aider l’élève à disposer de stratégies multiples. On entraîne en parallèle sur des stratégies de calcul réfléchi, sur les automatismes (tables), … La technique usuelle est alors proposée comme généralisable C’est en résolvant des problèmes bien choisis que l’on développe des compétences en résolution de problèmes La maîtrise des calculs numériques élémentaires est fondamentale : une automaticité, c'est-à-dire une reproduction et non une reconstruction conduit les élèves à estimer les ordres de grandeur des résultats, repérer des erreurs dans des résultats obtenus par exemple avec la calculette, Les bons estimateurs sont aussi ceux qui maîtrisent les faits numériques. Une activation automatique est économique dans la mesure où elle est rapide, non consciente, sans effort, et n’interfère pas avec une autre activité mentale en cours. Les élèves en difficulté sont aussi ceux qui qui n’ont pas assimilé les faits numériques de base. L’automaticité doit être une conséquence d’un apprentissage. D’où la nécessité d’un travail régulier et systématique 09/05/2012 La résolution de problèmes au cycle 2