ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE Définition Exercice 1 Propriété 1 Exercice 2 Propriété 2 Exercice 3 Exemple

Angle inscrit M O B Angle au centre A Arc de cercle intercepté par les deux angles

M O B A AMB est un angle inscrit

A B O AOB est un angle au centre

Propriété de l’angle inscrit M Dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc O B A alors la mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié de l’angle au centre.

N M O B A Propriété Si deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils ont la même mesure.

M AMB = 70° N O ANB = 70° B 70  2 AOB = = 140° A Exemple d’application : Sans effectuer la moindre mesure, trouver les mesures des angles : M AMB = 70° N O ANB = 70° B 70  2 AOB = = 140° A

Exercice 1 1.Tracer [AB] tel que AB = 7 cm. Placer un point C tel que : BAC = 70° et ABC = 60°. 2.Construire le cercle C circonscrit au triangle ABC et appeler O son centre. On laissera les traits de construction. 3.Donner la mesure de l’angle AOC en justifiant la réponse.

1. et 2.

3. L’angle au centre AOC et l’angle inscrit ABC interceptent le même arc de cercle donc AOC = 2ABC AOC = 2  60° AOC = 120°

Exercice 2 1.Tracer un cercle de centre O et de diamètre [AB] mesurant 8 cm. Placer un point E sur ce cercle tel que l’angle BAE mesure 52°. 2.Montrer que le triangle AEB est rectangle. 3.Sur le demi-cercle d’extrémités A et B, qui ne contient pas E, placer un point K. Quelle est la valeur exacte des angles EOB et  EKB ? Justifier.

1.

2. E est un point du cercle de diamètre [AB] donc le triangle ABE est rectangle en E.

3. OEA est isocèle en O donc les angles à la base OEA et OAE sont égaux. OEA = OAE = 52° AOE = 180° – 252° AOE = 180° - 104° AOE = 76°

3. AOE = 76° AOE et EOB sont supplémentaires donc EOB = 180° - 76° EOB = 104°

3. Les angles inscrits EAB et EKB interceptent le même arc de cercle donc EKB = EAB EKB = 52°

Exercice 3 ABD est un triangle rectangle en B tel que AB = 9 cm et BAD = 40°. 1)Tracer ce triangle. 2)Calculer la longueur BD en justifiant la démarche utilisée ; on en donnera la valeur arrondie au millimètre. 3)Construire le cercle (C) circonscrit au triangle ABD. Indiquer la position du centre I de ce cercle. Justifier la réponse.

4)Tracer la bissectrice de l’angle BAD 4)Tracer la bissectrice de l’angle BAD. Elle coupe le cercle (C) en S ; placer le point S sur la figure. 5)Déterminer la mesure exacte de l’angle SIB en justifiant la démarche utilisée.

ABD est un triangle rectangle en B tel que AB = 9 cm et BAD = 40°. 1)Tracer ce triangle. B A D 40° 9 cm

2)Calculer la longueur BD en justifiant la démarche utilisée ; on en donnera la valeur arrondie au millimètre. Dans le triangle ABD rectangle en B : B A D 40° 9 cm BD AB tanBAD = tan40° 1 BD 9 = BD = 9  tan40° BD  7,6 cm à 1 mm près

3)Construire le cercle (C) circonscrit au triangle ABD 3)Construire le cercle (C) circonscrit au triangle ABD. Indiquer la position du centre I de ce cercle. Justifier la réponse. Le triangle ABD est rectangle en D donc le centre I de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse [AD]. B A D 40° 9 cm  I

4)Tracer la bissectrice de l’angle BAD 4)Tracer la bissectrice de l’angle BAD. Elle coupe le cercle (C) en S ; placer le point S sur la figure. B A D 40° 9 cm S   I

5)Déterminer la mesure exacte de l’angle SIB en justifiant la démarche utilisée. (AS) est la bissectrice de l’angle BAD donc SAB = 40° : 2 SAB = 20° B A D 40° 9 cm Les angles inscrits SIB et SAB interceptent le même arc de cercle donc S   I SIB = 20°

Fin