ACTIVITE : ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE Définitions Découverte Propriété 1 Découverte Propriété 2 Démonstration Propriété 1 Cas n°1 Cas n°2 Cas n°3 Démonstration Propriété 2

Définitions Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur un cercle et dont les côtés coupent ce cercle. M Angle inscrit B A

Définitions Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre d’un cercle. O B Angle au centre A

1.A la découverte des deux propriétés  a)Tracer un cercle C de centre O. Placer trois points A, B, M et N sur C. b)Tracer l’angle inscrit AMB et l’angle au centre AOB. Mesurer AMB et AOB. Quelle remarque peut-on faire ?

Angle inscrit M O B Angle au centre A Arc de cercle intercepté par les deux angles

M AMB = 2 AOB O B Propriété 1 (Propriété de l’angle inscrit) A Dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc alors la mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié de l’angle au centre.

= d)Tracer l’angle inscrit . e)Que peut-on dire des angles AMB et ANB? Propriété 2 Si deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils ont la même mesure.

2. Démonstration des deux propriétés Cas n°1 : [MB] est un diamètre de C. a) Démontrer que OMA est isocèle. b) Démontrer que AOM = 180 – 2 OMA c) En déduire que : AOB = 2AMB A B M O

a) Démontrer que OMA est isocèle. [OA] et [OM] sont deux rayons du cercle C donc OA = OB. A B M O OA = OM donc OMA est isocèle en O.

b) Démontrer que : AOM = 180 – 2 OMA. A B M O OMA est isocèle en O donc les angles à la base OMA et OAB sont égaux. Or AOM = 180° - (OMA + OAB) Donc AOM = 180° - 2 OMA

c) En déduire que : AOB = 2 AMB. A B M O OAB et AOM sont supplémentaires donc AOB = 180° - AOM. Or AOM = 180° - 2 OMA Donc AOB = 180° - (180° - 2OMA) AOB = 180° - 180° + 2OMA Donc AOB = 2 AMB.

2. Démonstration des deux propriétés Cas n°2 : [MB] est un diamètre de C. En utilisant le résultat du cas n°1, Démontrer que : AOB = 2AMB B A M O C

et Or AOB = AOC + COB Or AOB = 2AMC + 2CMB = 2 AMB Cas n°2 : [MB] est un diamètre de C. En utilisant le résultat du cas n°1, Démontrer que : AOB = 2AMB B A M O C [MC] est un diamètre de C donc d’après la question a) : AOC = 2 AMC et COB = 2 CMB Or AOB = AOC + COB Or AOB = 2AMC + 2CMB = 2 AMB

2. Démonstration des deux propriétés Cas n°3 : [MB] est un diamètre de C. En utilisant le résultat du cas n°1, Démontrer que : AOB = 2AMB A B M O C

et Or AOB = BOC - AOC Or OAB = 2BMC – 2AMC = 2 AMB Cas n°3 : [MB] est un diamètre de C. En utilisant le résultat du cas n°1, Démontrer que : AOB = 2AMB A B M O C [MC] est un diamètre de C donc d’après la question a) : AOC = 2 AMC et BOC = 2 BMC Or AOB = BOC - AOC Or OAB = 2BMC – 2AMC = 2 AMB

2. Démonstration des deux propriétés Propriété 2 En utilisant la propriété 1, démontrer la propriété 2. A B M O N AMB et AOB interceptent le même arc de cercle donc AMB = AOB :2

2. Démonstration des deux propriétés Propriété 2 En utilisant la propriété 1, démontrer la propriété 2. A B M O N ANB et AOB interceptent le même arc de cercle donc ANB = AOB :2

2. Démonstration des deux propriétés Propriété 2 En utilisant la propriété 1, démontrer la propriété 2. A B M O N et ANB = AOB :2 AMB = AOB :2 donc AMB = ANB

Fin