Inter-académiques Montpellier 2011 Atelier spécialité Proposé par lacadémie de Grenoble

Constat Les programmes de spécialité proposent une entrée par la résolution de problèmes et donnent une liste non exhaustive de problèmes avec les contenus associés. Cette approche pose un certain nombre de questions aux professeurs.

Plan de latelier 1 ère partie Exemples de problèmes portant sur les notions nouvelles du programme de S 2 ème partie Echanges autour des points qui questionnent

Des points qui questionnent Place de la résolution de problèmes Contenus : o Matrices inverses, graphes, équations diophantiennes o Algorithmes o Capacités attendues o Contrat scolaire de lélève Place de la démonstration de cours

Exemples de problèmes Propagation dépidémie : modèle SIRmodèle SIR Marche aléatoire sur un triangle Marche aléatoire Modèle de diffusion EhrenfestEhrenfest Pertinence dune page Webpage Web

Propagation de maladie Modèle S.I.R A partir dune situation, on introduit les notions de graphe probabiliste, matrice de transition ….

Propagation de maladie, modèle S.I.R. Dans une population un individu est susceptible de contracter une certaine maladie. Il peut être dans un des trois états : S : Susceptible : il peut tomber malade I : Infecté : il a la maladie R : Retiré : il est immunisé.

Graphes probabilistes, modèle S.I.R. Ces états sont temporaires, lindividu peut changer détat. Supposons que son état puisse changer tous les trois mois selon les probabilités : Sil est immunisé (état R), il peut le rester avec une probabilité de 0,9, ou passer à létat S avec une probabilité 0,1. Sil est dans létat S, il peut le rester avec une probabilité de 0,6, ou passer à létat I avec une probabilité de 0,3, ou encore à létat R avec une probabilité de 0,1 ( par vaccination naturelle, par exemple) Sil est dans létat I, il peut le rester avec une probabilité de 0, 05 ou passer à létat R avec une probabilité de 0,95

Graphes probabilistes – Modèle S.I.R Exemple de questions : Si un individu est susceptible aujourdhui, dans quel état sera-t-il dans trois mois ? Dans 9 mois? Que peut-on prévoir à long terme pour cet individu ? Interprétation statistique : On étudie les états dune population de 10 millions dhabitants : quel nombre dindividus peut-on prévoir dans chaque état, après une longue période.

Graphes probabilistes, modèle S.I.R On peut résumer les données à laide dun graphe : Les branches portent des probabilités conditionnelles

Un peu de vocabulaire Ce graphe possède trois sommets S, I et R Ces sommets sont reliés par des arcs (arêtes orientées), certains de ces arcs sont des boucles, ils relient le sommet à lui-même. Au plus un arc relie un sommet à un autre. Ce graphe est valué: les arcs portent des probabilités conditionnelles: La somme des probabilités conditionnelles issues dun sommet vaut 1

Une suite de variables aléatoires, état probabiliste, matrice de transition

Matrice de transition dun graphe probabiliste

Marche aléatoire sur un triangle Sauts de puce A partir dune même situation, on travaille selon différents points de vue : probabilités, suites, graphes, matrices…

Le problème Une puce saute dun sommet à un autre dun triangle de sommets A, B, C. Les sauts de la puce se font avec certaines probabilités précisées dans chaque énoncé. Peut-on prévoir la position de la puce après un certain nombre de sauts ?

Quelle activité mathématique pour lélève ? Effectuer une simulation avec un tableur Ecrire un algorithme de simulation Utiliser des probabilités conditionnelles Suites Graphe probabiliste Matrices Résolution de système

Deux approches Sauts de puce avec les suites. Dans cette première approche, on nutilise ni les graphes, ni les matrices Sauts de puce, graphes et matrices. Cette deuxième approche, privilégie lutilisation dun graphe probabiliste et de la matrice de transition associée. On peut mener en parallèle lusage de la programmation et celui dun tableur

Première approche Simulation SMG1_sauts de puce_suitesV2.xlsx Algorithme Utilisation dun arbre de probabilités Suites et limites

Deuxième approche Graphe probabiliste associé Utilisation de matrices colonnes

Deuxième approche A laide du calcul formel saut_puce_matricesV2.wxm on obtient les probabilités au bout de 5 sauts, puis de 10 sauts On peut de même déterminer létat stable.

Modèle de diffusion dEhrenfest ( ) Présentation dun problème méconnu permettant de travailler sur la non convergence vers un état stable.

La problématique Relevé par Boltzmann : un système thermodynamique évolue vers un état stable de manière irréversible, mais les équations physiques sont réversibles. Les époux Ehrenfest (physiciens) ont proposé de considérer deux enceintes A et B de même volume. Le vide est fait dans lenceinte B puis on fait un trou dans la paroi séparant les deux enceintes.

Modélisation simple: on dispose de deux urnes A et B ainsi que de N boules numérotées à intervalles réguliers une boule et une seule choisie au hasard parmi les N change durne. On effectue ainsi n tirages à linstant initial toutes les boules sont dans lurne A

Avec les élèves Étude de lévolution de lurne A Y- a-t-il stabilisation conformément à lintuition ? Travail sur Excel, Scilab (ou un autre algorithme illustré en Xcas)ExcelScilabXcas Simulation

Avec les élèves Un peu de théorie avec 4 boules Le graphe probabiliste La matrice de transition

Avec les élèves Un peu de théorie avec 4 boules Avec logiciel de calcul formel

Avec les élèves Un peu de théorie avec 4 boules Avec logiciel de calcul formel Calcul de M n, puis de E n, en fonction de n

Avec les élèves Un peu de théorie avec 4 boules Avec logiciel de calcul formel Recherche de létat stable Résolution du système M:(a,b,c,d,e) = (a,b,c,d,e) et a+b+c+d+e=1 Solution Cest-à-dire b(4;1/2)

Avec les élèves Un peu de théorie avec 4 boules un autre état initial On peut prendre Cest à dire quavant de démarrer le processus on choisit au hasard (uniformément) le nombre initial de boules dans A Ou bien (a,b,c,d,e) un état initial quelconque (avec a + b + c + d + e = 1) Dans ce cas lespérance de X n vaut Dans tous les cas on a donc et

Retours à létat initial Simulation avec 1000 boules et lancers

Retours à létat initial Estimer le temps moyen de retour à létat initial (toutes les boules dans lurne A) en fonction du nombre de boules Ehrenfest4RetoursEtatInitialEhrenfest4RetoursEtatInitial.xws Simulation : en abscisse : le nombre de boules, en ordonnée : le nombre moyen de tirages entre deux retours à létat initial

Quelques résultats

Calcul de pertinence dune page Web Présentation rapide dun problème dont la formulation intrigue

Le problème Comment sy prendre pour choisir un ordre daffichage, de façon à présenter en premier les pages les plus pertinentes ?

Un modèle réduit : supposons que quatre pages contiennent les mots clés de la recherche

On affine

Matrice de transition

Le calcul de pertinence est donné par létat stable : Exemple de problème posé en classe

Ceci peut illustrer la phrase du programme « Marche aléatoire sur un tétraèdre ou sur un graphe à N sommets avec saut direct possible dun sommet à un autre : à chaque instant, le mobile peut suivre les arêtes du graphe probabiliste ou aller directement sur nimporte quel sommet avec une probabilité constante p»

Documentation fournie pour quelques autres problèmes non développés pendant latelier Nombres de Carmichael Modèle proie-prédateur : discret et continu Plus court chemin dans un graphe Implémentation concrète de lalgorithme de Dijkstra, traduction dans un langage de programmation Dautres ressources seront disponibles sur le site Planète maths de lacadémie de Grenoble courant 2011