Doctorat – université de Rennes 1 – IRMAR - 31 janvier 2006 Soutenabilité, risques climatiques et équations de Reynolds moyennées (RANS) Doctorat – université de Rennes 1 – IRMAR - 31 janvier 2006 par Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Première partie : motivation Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Introduction Première partie : motivation Couplage finance – économie – Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS) - RANS (à 1 d° de fermeture), Finance- Economie (FE) - couplages : + FE - RANS + Black & Scholes (BSC) - RANS Soutenabilité et quelques problèmes mathématiques - critère d’optimisation et soutenabilité - maximisation du critère s.c. FE-RANS - FE-RANS, BSC-RANS, RANS existence, unicité Deuxième partie : RANS 3D stationnaire sans convection avec viscosités non bornées régularisées en 0 1- Cas scalaire (sans pression et sans convection) stationnaire - formulation variationnelle : espaces de Sobolev à poids dépendant des solutions - densité de fonctions régulières / Sobolev à poids - estimations à priori - passages à la limite 2 - Cas périodique stationnaire sans convection avec pression et viscosité concave - construction de solutions régulières ( ) - estimations à priori - passages à la limite Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Climat Finance - Economie Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Couplage finance-économie-fluides Climat Finance - Economie Externalités CLIMAT (RANS) ETAT Réglementation, contrôle (taxation, dépenses) Financement Capitalisation Transfert de risques Prix PRODUCTEURS FINANCE Production Epargne Consommation Sensibilité CONSOMMATEURS ECONOMIE Offre, demande, dommages Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Climat Finance - Economie Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Couplage finance-économie-fluides Climat Finance - Economie Politique environnementale CLIMAT (RANS) ETAT Revenus PRODUCTEURS FINANCE Financement Capitalisation Transfert de risques Prix Production Epargne Consommation CONSOMMATEURS ECONOMIE Gestion de l’environnement, agrégation de comportements, maximisation des profits et satisfactions Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Modèles FE - RANS et BSC - RANS Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Couplage finance-économie-fluides Modèles FE - RANS et BSC - RANS RANS symbolisant le climat : - océans et atmosphère centraux pour le climat => NS incompressible - équations chaotiques => probabilités => RANS - forces, domaines, sources et puits dépendant de l’économie grande complexité => HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES MAIS difficultés dues aux - viscosités turbulentes - terme quadratique de production d’ECT - cascade inverse en ECT Finance / Economie: - T.E.E. - lien avec le climat par les prix, usure du capital et renouvellement des matières premières - absence d’opportunité d’arbitrage - transfert de risques par les options grande complexité mais PAS (trop) D’HYPOTHESES REDUCTRICES =>ouvertures - analyse fondamentale = Keynes, néo-classiques, théorie des jeux … - analyse technique = modélisation statistico-financière Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Soutenabilité et contrôle optimal Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Décisions soutenables et problèmes mathématiques Soutenabilité et contrôle optimal Soutenabilité : - dépend des sociétés et cultures qui la définissent => consensus international et hiérarchisation de situations insoutenables - soutenabilité  vérification de contraintes sur les variables d’état => critère d’optimisation = 1 dans le domaine et sinon - critère défini à priori ( = celui des forces politiques en place ) Exemple : limitation de la température Le problème à résoudre : maximiser (f est intégrable et = 1 lorsque la limitation est vérifiée et sinon, sous contrainte FE-RANS ou BSC-RANS, avec les contrôles des forces politiques en place) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Première partie : motivation Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Décisions soutenables et problèmes mathématiques Première partie : motivation Sous problème : existence de solutions du modèle RANS 3D + stationnaires + sans convection + avec des conditions homogènes + viscosités non bornées ( cas des viscosités bornées : Lewandowski 97, Lewandowski-Murat 97, Gallouët-Herbin 97, Brossier-Lewandowski 02, Bernardi-Chacon-Lewandowski- Murat 03) (ouvert borné et régulier 3D) Cas physique : Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Première partie : motivation Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Décisions soutenables et problèmes mathématiques Première partie : motivation Contexte : - viscosités turbulentes + non bornées + dérivables en 0 et + vérifiant - terme de production quadratique - cas tri-dimensionnel stationnaire sans convection Contributions : - existence de solutions dans le cas scalaire (sans pression ni convection) sans terme de cascade inverse - existence dans le cas tri-dimensionnel périodique (avec pression) sans convection avec cascade inverse pour des viscosités concaves : estimation L infini sur l’ECT Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Deuxième partie : analyse d’équations RANS Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Analyse fonctionnelle et quelques espaces à poids Deuxième partie : analyse d’équations RANS 1- Cas scalaire (Gallouët-Lederer-Lewandowski-Murat-Tartar, Nonlinear analysis TMA 03) Définitions : (ouverts bornés Lipschitziens simplement connexes) Généralisations : si le poids b et son inverse sont p-fois intégrables avec Représentation du dual, réflexivité, Banach, injections continues. Résultat : Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Deuxième partie : analyse des équations RANS Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Analyse fonctionnelle et quelques espaces à poids Deuxième partie : analyse des équations RANS Densité : résultat connu (Cattiaux-Fradon). Preuve originale et plus courte (avec T. Gallouet, R. Lewandowski, F. Murat et L. Tartar) 3 étapes : densités respectives de 1. Par troncature et Lebesgue 2. et Lebesgue. 3. Convolution et convergence faible en utilisant la régularité de b puis Hahn-Banach Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Deuxième partie : analyse des équations RANS Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire Deuxième partie : analyse des équations RANS Résultat principal Solutions d’énergie : et Système approché : viscosités bornées (existence par R.L.) et troncature du membre de droite de l’équation de k. Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Deuxième partie : analyse des équations RANS Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire Deuxième partie : analyse des équations RANS Cas scalaire en 3D : estimations à priori Estimation standard : Boccardo-Gallouët : Principale estimation : Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Deuxième partie : analyse des équations RANS Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire Deuxième partie : analyse des équations RANS Cas scalaire en 3D : passages à la limite (en utilisant la densité …) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Deuxième partie : analyse des équations RANS Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire Deuxième partie : analyse des équations RANS Cas scalaire en 3D : passages à la limite Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Deuxième partie : analyse des équations RANS Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT Deuxième partie : analyse des équations RANS 2 - Cas périodique avec terme de cascade inverse et viscosité concave (J.Lederer et R. Lewandowski, accepté pour publication dans Ann. IHP, analyse non linéaire) Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Deuxième partie : analyse des équations RANS Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT Deuxième partie : analyse des équations RANS Dans l’article, cas plus général : Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Deuxième partie : analyse des équations RANS Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT Deuxième partie : analyse des équations RANS Cas périodique 3D avec terme de cascade inverse (avec R. Lewandowski) NB : la condition ci-dessus est due au terme de cascade inverse Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Deuxième partie : analyse des équations RANS Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT Deuxième partie : analyse des équations RANS Preuve en quatre étapes : 1 – Transformation du système 2 – Construction d’un système approché par régularisation des viscosités et du terme de production d’ECT 3 – Estimations à priori 4 – Passages à la limite dans les équations Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Deuxième partie : analyse des équations RANS Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT Deuxième partie : analyse des équations RANS 1- Transformation du système : (Kirchoff) en notant encore au lieu de le système devient NB : Comme on a Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Deuxième partie : analyse des équations RANS Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT Deuxième partie : analyse des équations RANS 2- Solutions approchées : - et deux fois dérivables et bornées - avec Par point fixe (Leray-Schauder), on résout où est étendu par 0 dans le complémentaire de Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Deuxième partie : analyse des équations RANS Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT Deuxième partie : analyse des équations RANS 3 – Estimations à priori : - pour les mêmes raisons que dans le cas scalaire, - comme et - on dérive formellement l’équation pour le champ de vitesse : en multipliant par et en intégrant par parties (conditions périodiques), Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Deuxième partie : analyse des équations RANS Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT Deuxième partie : analyse des équations RANS En intégrant encore par parties, D’après l’équation pour k, donc dans ce cas, comme la viscosité turbulente est minorée par une constante Comme la viscosité est CROISSANTE, POSITIVE ET CONCAVE donc Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Deuxième partie : analyse des équations RANS Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT Deuxième partie : analyse des équations RANS On conclut en utilisant la borne pour : - une borne pour la vitesse (en particulier pour ) - une borne pour l’ECT (et en particulier L infini) car second membre de carré intégrable 4 – Passages à la limite : on peut remplacer par une troncature de niveau assez élevé et nous ramener au cas habituel des viscosités bornées Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Soutenabilité et risques climatiques : un domaine riche en problèmes ouverts Conclusion Soutenabilité => contrôle optimal … (financements F.A.O., banque mondiale, … ? ) Problèmes posés restant ouverts : + Limitation de la température sc FE-RANS + Coûts des risques climatiques sc FE-RANS + Existence et unicité pour FE-RANS et BSC-RANS + Existence et unicité pour RANS ° Cas stationnaire avec des viscosités non bornées dont l’inverse n’est pas bornée ° Cas stationnaire non scalaire sans terme de transport dans des ouverts lipschitziens bornés simplement connexes ° Prise en compte du terme de transport ° Cas d’évolution pour des viscosités non bornées avec et sans terme de transport + De Rham pour Sobolev à poids avec des poids et inverses non bornés à l’infini + Densité des espaces de fonctions vectorielles à divergence nulle très régulières dans les espaces de Sobolev à divergence nulle Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS) Soutenabilité et risques climatiques : un domaine riche en problèmes ouverts Conclusion Un domaine d’application nouveau : définition de politiques soutenables Contribution : deux résultats d’existence pour RANS, un résultat de densité Trois conjectures : + le résultat de densité sur les espaces de Sobolev à poids devrait se généraliser au cas d’espaces de Banach en remplaçant la condition par + le cas périodique devrait s’étendre au cas d’ouverts lipschitziens bornés et simplement connexes + De Rham : Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006 Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

FIN En remerciant les membres du jury et l’assistance Doctorat – université de Rennes 1 – IRMAR - 31 janvier 2006 par Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski