Physique statistique des systèmes finis Théorie de l’information pour les systèmes finis: processus hors équilibre et transitions de phase Physique statistique des systèmes finis En taille En temps Longue portée (chargés) Transitions de phase Inéquivalences d’ensembles Observables Applications en physique nucléaire

Z = Tr e –bH (?) Exemples Collisions d’ions lourds rélativistes A.Ono, PRC 59(98)853 Excitation Energy (MeV) 1 2 3 4 5 6 Temperature 0.4 0.8 1.2 172Yb Siem-PRC65(2002)044318 Superfluidité dans les noyaux Transition solide-liquide dans les agrégats Schmidt et al, PRL 79(1997)99 (eV/K) 0.8 0.4 L’ensemble évaporatif Brechignac et al, PRL81(98)4612 Heat Capacity 100 200 300 400 Temperature (K) Z = Tr e –bH (?)

Physique statistique pour les systèmes infinis « Equilibrium is a macroscopic phenomenon….equilibrium is an unchanging state » (S.K.Ma, Statistical Mechanics) « If a closed macroscopic system is in a state such that in any macroscopic subsystem the macroscopic physical quantities are to a high degree of accuracy equal to their mean value, the system is said to be in statistical equilibrium (or thermal equilibrium) » (L.D.Landau, Statistical Physics)  Un système infini est un ensemble de sous-systèmes infinis une réalisation (événement) peut être en équilibre Z = Tr e –bH

Physique statistique pour les systèmes finis Les interfaces ne sont pas négligeables dans les systèmes finis une réalisation (événement) ne peut pas être en équilibre Nécessité d’un ensemble de repliques

Physique statistique pour les systèmes finis Ergodique ∞ <>temps = <>espace des phases Conditions aux bords? Etats dans le continuum? Variables d’état: lois de conservation (E, J, P …) Mixing Conditions initiales inconnues Valable à un temps défini p q -> t Stochastique Dynamique inconnue Complexe / min info (Jaynes – Balian) Un nombre limité d’observables pertinentes <Al> => variables d’état (conservées ou non) Valable à tous les temps; Variables d’état arbitraires p q

Théorie de l’information pour les systèmes finis Ensemble statistique: Information (Shannon): Observables: Minimum bias : min I sous contrainte Multiplicateurs de Lagrange Probabilité pour chaque état Fonction de partition Contraintes = EOS

Théorie de l’information pour les systèmes finis Pouvoir prédictif ? L’équilibre est difficile à démontrer (ergodicité/reduction de l’information) L’équilibre n’est jamais rigoureusement réalisé en nature La distance de l’équilibre est une observable Tr(DA)-Tr(DeqA)  0 moyennes exactes par construction Tr(DA2)-Tr(DeqA2)  0 réalisation au niveau des variances Tr(DlnD)  Tr(DeqlnDeq) estimation macroscopique Tr(DDeq)-1  0 estimation microscopique pbl(E)  exp(-bE –lE2)) gaussian ensemble  expq(-bE) = (1+(q-1)bE)-q/(q-1) Tsallis R.S.Johal et al.PRE(2003)

Théorie de l’information et ensembles statistiques Microcanonique E <E> <R3> <Q2> <p.r> <A> <L> Canonique Isobare Déformé En expansion Grand En rotation Isochore V Contraintes (ext) Lois de conservation Observations (time odd) Echantillonage

Inéquivalence entre ensembles R. Balian « Statistical mechanics » Microcanonique : Shannon = Boltzmann: Température (EOS): Canonique : Fonc. de partition = Laplace tr.: Energie moyenne (EOS) Entropie = Legendre tr.: ! Mais Sc(<E>)canonique ≠ S(E) microcanonique => EOS canonique ≠ EOS microcanonique

Transitions de phase dans les systèmes infinis Potentiel thermodynamique non analytique pour L.E. Reichl, Texas Press (1980) Thermodynamical potential Ordre de la transition: discontinuité dans Log Z Ehrenfest’s definition Temperature ßt Caloric curve EOS Premier ordre: E2 Energy E1 R. Balian, Springer (1982) Temperature ßt

Transitions de phase dans les systèmes finis Z analytique: “transition” arrondie Energy Temperature ßt Caloric curve inéquivalence des ensembles: Lagrange contrôlé: paramètre d’ordre contrôlé: Energy Temperature ßt Caloric curve Caloric curve Energy ßt Temperature

Inéquivalence Distribution canonique Monomodale F. Gulminelli & Ph. Chomaz., PRE 66 (2002) 46108 100 Liquid Gas Distribution canonique entropie micro Entropy 10 Energy Distribution 1 bL bG 0.1 Monomodale Le plus probable: Moyenne: EOS can ≈ EOS micro. Lattice-gas Model Lattice-Gas Temperature Microcanonical Canonical <E> Le plus probable: coéxistence interdite Bimodale: inéquivalence Canonical (Most Probable)

Vers les systèmes finis: le théorème de Yang Lee C.N. Yong, T.D.Lee Phys.Rev.1952 Origine des non analyticités Premier ordre b sinh cosh analytique La transition de phase est univoquement définie par la distribution des zéros de la fonction de partition

sinh cosh Yang Lee et Bimodalité Binder Landau 1984 K.C..Lee 1996 Fonction de partition et distribution de probabilité E1 Energy Distribution normale: pas de zéros Distribution bimodale P = P1+P2: double approximation de point selle ß E distribution at E1 E2 Energy

Bimodalité dans la distribution des observables Au+Au 80 A.MeV INDRA@GSI data "reservoir" Z2 Z1 Z1 T 197Au 197Au paramètre d’ordre: asymétrie de charge Zbig-Zsmall O.Lopez et al. 2001, B.Tamain et al. 2003 Z1-Z2

Bimodalités et susceptibilités négatives D.J.Wales R.S.Berry 1994 Pente inversée dans l’équation d’état associée au paramètre d’ordre Une transition de phase correspond à une susceptibilité négative Probabilité Lagrange controlé Température paramètre d’ordre controlé énergie

g T = ¶ logW Décroissance g : densité de niveaux Heat Capacity(kB) T(MeV) 0.5 1.0 0.0 20. 0. 40. Décroissance g : densité de niveaux g Excitation Energy (MeV) 1 2 3 4 5 6 Microcanonical T 0.4 0.8 0. 1.2 166Er 162Dy 172Yb X(3He, 3He ’)X* T - 1 = ¶ logW E Melby et al, PRL 83(1999)3150

Susceptibilités négatives et fluctuations anormales J.L.Lebowitz 1967 (1),(2) indépendants Lagrange contrôlé « canonique » paramètre d’ordre contrôlé « microcanonique » A=cst

Susceptibilités négatives et fluctuations anormales Lattice-Gas Model Susceptibilités négatives et fluctuations anormales A=Etot A1=Ek fluctuation estimation exact A=Atot A1=Amax Ph.Chomaz F.Gulminelli V.Duflot 2001,F.Gulminelli 2005

Fragmentation Nucléaire Multics-Miniball Indra Isis Indra-Aladin Isis Au+Au QP, Au+X central Indra Xe+Sn central Isis p+Au Indra-Aladin Au+Au QP one source Isis E900A all

Conditions aux bords / Etats du continuum Etats liés: conditions aux bords non relevantes Systèmes piégés: Hamiltonien modifié En général, H necessite des conditions aux bords => la thermo n’est pas définie sans conditions aux bords => Ex: Entropie S(E)=log W(E) non définie => Introduction d’une surface S : Y(n)=0 sur S s (x,y,z) = 0

Conditions aux bords / Etats du continuum Chomaz & Gulminelli & Juillet (2004) Projecteur sur la surface Équation aux valeurs propres => énergetique modifiée Ensemble statistique => thermodynamique modifiée => information infinie non physique => ensemble microcanonique W(E,N,V) non physique Conditions aux bords contraintes spatiales ex: <V>=<R3> => Ensemble isobare

Dépendance du temps Contraintes ≠ Lois de conservation D change au cours du temps Exemple: TDHF

Ensembles statistiques dépendant du temps Balian, Al-Hassid & Reinhardt, An. Phys. (1987); Chomaz & Gulminelli & Juillet (2004) Observables connues au temps tl ; système observé au temps t Max S au temps t avec contraintes <A> déterminées au temps antérieur tl = t - Dtl Evolution de D de tl à t Heisenberg picture: => observables time odd

Ensembles statistiques dépendant du temps Balian, Al-Hassid & Reinhardt, An. Phys. (1987); Chomaz & Gulminelli & Juillet (2004) Extension aux temps finis Minimum bias au temps t avec contraintes effectives au temps t0 Nouvelles contraintes et multiplicateurs de Lagrange cas Hamiltonien Cas particulier: algèbre fermée information finie à tous les temps!

Exemple: mouvement Brownien 1 particule à 1D couplée à un thermostat à T=b-1 Observable: énergie cinétique <K>t0 Algèbre fermée Solution exacte à tous les temps <=> équilibre avec une température dépendante du temps Caldeira Legget d=2mg/b fluctuation -dissipation

Exemple: la dynamique de l’expansion Système préparé au temps t0 et en expansion libre pour t>t0 <R2> fini au temps t0: <=> potentiel externe <=> équilibre dans un piège l0r2 Evolution successive: => flot radial Gaz parfait: solution exacte à tous les temps

Traitement statistique du flot radial x z Expansion Traitement statistique du flot radial Contrainte additionnelle: flot radial <pr(r)> Lagrange additionnel h(r) expansion auto similaire h =cst h Thermal distribution in the moving frame Negative pressure “Isobar” ensemble

Traitement statistique du flot radial Lattice-Gas Model Gaz sur réseau en expansion (Meme énergie totale, flots différents) Distribution des fragments modifiée Only thermal Thermal+expansion Fragment yields Fragment masses e: closest neighbor interaction Gulminelli, Chomaz, Nucl. Phys A (2004)

Conclusion IV Systèmes finis => Théorie de l’information Différents ensembles - inéquivalences Transitions de phase => Bimodalités Courbures inversées Fluctuations anormales Boundary (continuum) => Contraintes de volume S(E,N,V) non définie Transient => ensemble stat. dépendant de t Equilibre sous flot “freeze-out” multiples Longue portée => Multicanonique IV