Attribut " Des cinq approches discutées dans ce chapitre, l'approche ER est clairement la gagnante en termes de manque de définitions précises, manque de niveaux clairs d'abstraction, et manque de discipline mentale. La popularité de ER réside sans doute dans sa multitude d'interprétations, aussi bien que dans son utilisation de modes de pensée familiers mais obsolètes.  » Ted Codd, The Relational Model for Database Management, Version 2, Addison-Wesley, 1990, ISBN : 020114192 2

Le rasoir d'Occam Ou principe d'économie Si un concept est inutile, il faut prendre le rasoir et le couper.   " Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem" Il ne faut pas multiplier les entités au delà du nécessaire

Le rasoir d'Occam Ce principe portant le nom du logicien anglais nominaliste du XIV e siècle Guillaume d'Occam (illustré dans le roman Le nom de la rose d'U. Eco par Guillaume de Baskerville) qui a donné aussi son nom à un langage de programmation, " est illustré au siècle précédent par Thomas d'Aquin, puis Duns Scot, qui l'empruntent tous deux à un adage scolaire tiré d'Aristote (Pysique), qui prétend s'inspirer d'Empédocle (!) :   Frustra fit per plura quod potest fieri per pauciora. Il vaut mieux prendre des principes moins nombreux et de nombre limité, comme fait Empédocle.

Les ambiguïtés du langage naturel Les hommes sont mortels synonyme de Tous les hommes sont mortels La plupart des hommes sont mortels ? Les Français prennent beaucoup de jours de vacances synomyme de Tous les Français prennent beaucoup de jours de vacances La plupart des Français prennent beaucoup de jours de vacances ?

Boxologie

La diérèse (Platon) L'essence des choses Pour fixer le sens d ’un concept : Le procédé de la division (Platon) On prend la classe qui a l'extension la plus grande et on la divise en deux, puis chaque division en deux, etc. Ces divisions doivent créer une partition. Exemple : Personnes Personnes physiques, Personnes morales Hommes, Femmes

La diérèse La pêche à la ligne La pêche à la ligne est un art Il y a des arts de la production et des arts de l ’acquisition Parmi les arts de l ’acquisition, il y a ceux qui se font par échange, les autres par prise Parmi ceux qui se font par prise, les uns sont une lutte, les autres une chasse, etc. Aristote : insuffisance de la diérèse Elle ne force pas l ’assentiment, une conclusion nécessaire

Diérèse et syllogisme 1) La diérèse platonicienne A S est A A se divise en B et non-B Donc S est ? B Non B 2) Syllogisme aristotélicien S est A B A est B A est non B Donc S est B Donc S est non B B A A

Le carré logique contraires Aucun homme n ’est blanc Tout homme est blanc (Affirmative universelle) A Aucun homme n ’est blanc (négative universelle) E contradictoires subalternes subalternes subcontraires Quelque homme n ’est pas blanc (Négative particulière) O Quelque homme est blanc (Affirmative particulière) I

Aristote en diagramme d ’Euler Sujet Prédicat Affirmative universelle Tout homme est blanc P S Négative universelle Aucun homme n ’est blanc P S Affirmative particulière Quelque homme est blanc S P Négative particulière Quelque homme n ’est pas blanc S P

Aristote vs les stoïciens Tous les hommes sont mortels Donc tous les non mortels sont non hommes Tous les A sont B Donc tous les non B sont non A Stoïciens S ’il fait jour, il fait clair Donc s ’il ne fait pas clair, il ne fait pas jour. Si p alors q. Donc si non q alors non p.

Aristote vs les stoïciens Forme commune aux deux raisonnements : une permutation et un changement de signe On a souligné chez Aristote, des termes chez les stoïciens, des propositions Chez Aristote, les unités les plus petites sont des termes et les symboles logiques sont des symboles intra propositionnels Chez les stoïciens, les plus petites sont des propositions et les symboles logiques sont des symboles inter propositionnels (connecteursbinaires, négation)

Aristote vs les stoïciens Aristote : logique des termes Stoïciens : logique des propositions

Aristote vs les stoïciens Les stoïciens ont dégagé cinq schémas de base permettant d ’éliminer proposition et connecteur logique : les schémas d ’inférence Ex le plus connu : le modus ponens On y pose le moyen terme Si P alors Q Or P Donc Q Le modus tollens (on y nie le moyen terme) Or non Q Donc non P

Les stoïciens, Schémas d ’inférence (suite) Non P et Q Or P Donc non Q P ou Q (mais pas les deux) Or non Q Donc P

La logique de Boole Interprétation X . Y dénote l ’ensemble des membres de x, membres de y X + Y dénote l ’ensemble des éléments appartenant à X ou à Y 1 - X dénote l ’ensemble des éléments n ’appartenant pas à X x = 0 la classe X n ’a pas de membre Lois X + Y = Y + X X + (Y + Z) = (X + Y) + Z X . Y = Y . X X . (Y . Z) = (X . Y) . Z Z . ((Y + Z) = (X . Y) + (X . Z) X . X = X

Le carré logique en logique de Boole Affirmative universelle (A) Tout X est Y X . (1 - Y) = 0 Négative universelle (E) Aucun X n ’est Y X . Y = 0 Affirmative particulière (I) Quelque X est Y X . Y /= O Négative particulière (O) Quelque X n ’est pas Y X . (1 - Y) /= 0

L ’extension vide Tous les enfants de Philippe sont endormis Présupposition (interprétation aristotélicienne) : les enfants de Philippe existent. Strawson : un énoncé S présuppose un énoncé S ’ si la vérité de S ’ est une pré-condition de la vérité ou de la fausseté de S. Ex : « il a cessé de fumer » présuppose que « il fumait »

L ’extension vide Interprètation selon Strawson De «  Tous les A sont B  » on peut inférer « Quelques A sont B » Boole Interprétation de «  Tous les A sont B  » par : « l ’intersection de la classe A et de la classe des non-B est vide » Interprétation de «  Quelques A sont B  » par « l ’intersection de la classe des A et de la classe des B n ’est pas vide »

L ’extension vide Avec l ’interprétation de Boole, De « Tous les A sont B » peut-on inférer « Quelques A sont B » ? NON « Tous les A sont B » a /\ b = {} est vérifié « Quelques A sont B » (a /\ b) /= {} est vérifié car si a est vide, il est faux que (a /\ b) /= {} Impossibilité d ’inférer une particulière d ’une universelle a /\ non b = {} ne permet de savoir si a est vide ou non

Attribut Pour Aristote, il s'agit de savoir ce que sont les natures dernières des choses, les "essences". Il faut donc savoir si l'attribut confère au sujet une qualité -essentielle, - propre ou - accidentelle.

Le propre Aristote distingue sous le nom de propre : 1) Ce qui sans exprimer l'essence de la chose, lui appartient cependant et se réciproque avec elle : c'est un propre de l'homme que d'être géomètre et réciproquement un géomètre ne peut être qu'un homme (Topiques) 2) Ce qui appartient à la chose toujours et par soi : ainsi l'homme est, par nature, un animal non sauvage (Porphyre) 3) Ce qui appartient à la chose non par soi, mais par son rapport avec une autre : c'est, par exemple, un propre de l'âme de commander et pour le corps de servir ; 4) Ce qui appartient toujours à la chose, mais par rapport à d'autres choses où se trouve une partie du même propre ; ainsi le propre qui caractérise le dieu par rapport au cheval et à la bête, c'est qu'il est un vivant immortel ; ou l'homme par rapport au cheval et au chien, c'est qu'il est bipède (Porphyre) ;

5) Ce qui appartient à la chose, mais seulement à un certain moment, et par conséquent par rapport à d'autres moments et par rapport à d'autres individus ; ainsi pour un homme de se promener dans le gymnase et sur l'agora (Porphyre) Exemples : Le fait d'avoir la somme des angles égal à 180° n ' "appartient " qu'au triangle mais cela ne constitue pas son essence (qui est de ne posséder que trois angles). Ce fait est un propre. L ' "appartenance" de l' attribut peut désigner une qualité accidentelle, par exemple, pour un homme, le fait d'être assis, couché, debout. Les distinctions (essence, propre, accident) sont loin d'être très nettes. Mais elles sont souvent implicites dans les modélisations.

Attribut Ce concept est un concept à problèmes ! On trouve aussi le mot "propriété" utilisé à la place de "attribut". L'homme est mortel. Socrate est mortel. mortel est l'attribut de l'homme mortel est l'attribut de Socrate Le logicien pensait atteindre l'essence des choses à travers ces attributs. Un jour l'un d'eux ayant entendu que l'homme est un animal sans plume, a collé des plumes à un homme pour montrer que la définition n'avait pas atteint l'essence de l'homme.

Attribut Jules est à côté de Paul. « à côté de Paul" serait l'attribut de Jules ?! Et pourquoi pas "à côté de Jules" l'attribut de Paul ? Des "méthodes" parlent d'entité, d'attributs,de relations. ...Que de discussions interminables ...! On a connu l'époque où on discutait pour savoir si la date était un attribut ou une entité !! Le plus souvent on ne trouvait pas d'entité Date mais des attributs date de naissance, date de décès. Et puis un jour Microsoft a diffusé Access et tout un chacun a pu voir qu'il y avait un type Date qui se moquait bien des naissances et des décès !

Attribut Et puis il y a eu le passage à l'an 2000 et bien des sous (des gros !) ont été dépensés pour retrouver les dates cachées dans les attributs aux noms divers et variés. La pensée scientifique a reconnu l'impossibilité d'atteindre l'essence des choses et la logique des relations est née. On ne se demande pas ce qu'est un attribut, on a des ensembles, des relations, un point c'est tout. Et en ce qui concerne l'essence des choses... Alors c'est quoi un "attribut" ?

Attribut Voici quelques propositions : - l'application d'un fonction EstNéA : Personne --> ville EstNéA (dudule) = Nantes Nantes est la valeur de l'attribut villeDeNaissance - l'image relationnelle d'une relation aPourEnfants : Personne <--> Personne DEFINITIONS enfants (Dudule) == aPourEnfants [{dudule}] parents (Dudule) == aPourEnfants~ [{dudule}]

Attribut On parlera de l'attribut enfants (on dira même "attribut multivalué" ce qui est pour le moins confus ! l'attribut n'a pas plusieurs valeurs, il n'en a qu'une seule qui est un ensemble de valeur) - la projection d'un couple sur l'une de ses composantes (paul, jacques) : aPourPère Paul est une valeur de l'attribut "enfant" et jacques de l'attribut "père » - le domaine ou le codomaine d'une relation DEFINITIONS père == ran (aPourPère); enfant == dom (aPourPère)

Attribut - un élément du codomaine d'une relation Nantes : ran (EstNéA) - la relation et la relation inverse mariage : hommes +-> femme DEFINITIONS époux == mariage~ ; épouse == mariage

Attribut Remarquons que dans le "Modèle relationnel n-aire", on écrit le schéma d'une relation ainsi : Personne (N° personne, Nom de Personne, ville de naissance, ville d'études) et que l'on appelle N° personne, Nom, ville de naissance, ville d'études, les attributs de la relation. Pour chacun de ces attributs on donne son domaine (l'ensemble sur lequel il est défini. Ainsi ville de naissance et ville d'études ont le même domaine VILLE).

Attribut On a compris que l'on a regroupé plusieurs fonctions : aPourN° : PERSONNE+-> NAT /* N°personne == ran (aPourN°) */ aPourNom : PERSONNE +-> NOM /* Nom de Personne == ran (aPourNom) */ estNéA : PERSONNE +-> VILLE /* ville de naissance == ran (estNéA) */ faitSesEtudesA : PERSONNE +-> VILLE /* ville d'études == ran (faitSesEtudesA) */ Personne <: NAT * NOM * VILLE * VILLE

Attribut On fera attention à bien distinguer la projection d'une telle relation sur un de ses "attributs", l ’ensemble des valeurs d ’une colonne de la valeur d'un de ses attributs pour par exemple, un N° personne donné. La valeur d ’une case de la valeur de chacun de ses attributs pour par exemple, un N° personne donné. La valeur d ’un enregistrement (un n-uplet)

Triplets OAV Attribut : relation binaire d ’un ensemble d ’objets vers un ensemble de valeurs Objets Attribut : couleur Valeurs voiture veste vélo chapeau bleu rouge vert jaune noir

Triplets OAV Objet Valeur Attribut Objet Sujet Prédicat Objet Ressource Propriété

Triplets OAV Ressource Auteur CrééePar CrééePar travailleAvec Contient Image Ressource, Image, CrééPar sont à remplacer par des adresses http://...

Triplet OAV Personne Statut Région Dudule Représentant Pays de la Loire Dutif Vendeur Limousin Pignouf Vendeur Bretagne Zébulon Représentant Corse Entité Attribut Valeur Dudule Statut Représentant Dudule Région Pays de la Loire Dutif Statut Vendeur Dutif Région Limousin Pignouf Statut Vendeur Pignouf Région Bretagne Zébulon Statut Représentant Zébulon Région Corse

Triplets OAV Le langage LEAP (Feldman, Rover, 1969) A.O = V fils.Jean Melle = Henri Melle l ’assoc. Si dans la base A.O = x fils.Jean Melle = x fils de Jean Melle A.x = V fils.x = Henri Melle père de Henri Melle x.O = V x.Jean Melle = Henri Melle nom de la relation entre Jean Melle et Henri Melle A.x = z fils.x = z tous les couples père-fils de la base x.Z = V x.z = Henri Melle Toutes les associations ayant Henri Melle comme 3e composant x.O = z x.Jean Melle = z Toutes les associations ayant Jean Melle comme 2e composant x.y = z x.y = z Toute les assoc de la base

Typage « La proposition "Caton a tué Caton", peut s'interpréter de quatre manières différentes : — a tué (Caton, Caton) — s'est tué (Caton) — a tué Caton (Caton) — Caton a tué (Caton) » Exemple de Frege cité par J.L. Gardies dans « Esquisse d'une grammaire pure », Vrin, 1975.

Typage Esquisse d'une grammaire pure, Jean-Louis Gardies, Librairie philosophie Vrin, 1975 Considérons les quatre phrases suivantes : " 1. Pierre préfère cette pomme-ci à celle-là. 2. Cette poire préfère cette pomme-ci à celle-là. 3. La saveur préfère cette pomme-ci à celle-là. 4. Pierre préfère à cette pomme-ci Aucun de nos quatre phrases, en dehors de la première, ne remplit les trois conditions (...) " J.L. Gardies

Typage a- le verbe préférer doit comporter un sujet et deux compléments : x préfère y à z. En termes logiques, préférer se présente comme un prédicat à trois arguments ; b- les arguments du prédicat préférer peuvent toujours être des noms d'individus ; et si les deux derniers, ceux que les grammairiens appellent les compléments, peuvent très bien être à leur tour des noms de prédicats (on peut préférer, non seulement un objet individuel, mais encore une qualité), le premier ne peut être en revanche qu'un nom d'individu ; c- ce nom d'invidu, pour que la phrase composée avec le verbe préférer ait un sens, ne peut désigner qu'un individu doué du minimum de personnalité qui le rende capable d'exercer une préférence, i.e. en gros ce qu'on appelle un être animé.

Typage En B, nous écririons, selon ce que nous acceptons comme phrase : SETS ETREANIME VARIABLES préfèreA INVARIANT préfèreA : ETREANIME <-> ETREANIME * ETREANIME

Typage SETS OBJET VARIABLES préfèreA, APourEtat, APourType DEFINITIONS Etre == APourType~ [{individu}]; EtreInanimé == APourEtat~ [{inanimé}]; EtreAnimé == APourEtat~ [{animé}]; Propriétés == APourType ~ [{propriété}] INVARIANT APourType : OBJET +-> {individu, propriété} & APourEtat :Etre +-> {animé, inanimé} & préfèreA : EtreAnimé <-> OBJET * OBJET

Typage Remarquons que ce que nous appelons "propriété" dans cette dernière spécification est un individu (la définition "Propriétés" est un ensemble d'éléments de l'ensemble de base OBJET et non une relation.) préfèreA : EtreAnimé <-> OBJET * OBJET n'est pas la même spécification que : préfèreA : EtreAnimé <-> ((OBJET <->OBJET) * (OBJET <-> OBJET))

Typage SETS ETRE VARIABLES préfèreA, APourEtat DEFINITIONS EtreInanimé == APourEtat~ [{inanimé}]; EtreAnimé == APourEtat~ [{animé}] INVARIANT APourEtat : ETRE +-> {animé, inanimé} & préfèreA : EtreAnimé <-> ETRE * ETRE

La boxologie illustrée On vous dira qu' un schéma relationnel n-aire (selon le "modèle relationnel" de Codd) est "Logique" (ou encore du niveau logique.) alors que, lorsqu'on utilise des rectangles, nous aurions un schéma "conceptuel" (ou encore du niveau conceptuel). En quoi une des représentations serait logique et l'autre conceptuelle ? Exercice : "déconceptualisez" ou "logicisez" le "schéma conceptuel".

La boxologie illustrée

La boxologie illustrée Algorithme de « conceptualisation » : 1) Vous étirez les parenthèses jusqu'à lui donner la forme d'un rectangle 2) Avec un segment de droite, vous dessinez un bandeau rectangulaire en haut du rectangle 3) Vous faites migrer (tiens, coco c'est chic ce terme, pourquoi pas "délocaliser" ou "externaliser" et même "outsourcer") le nom de la relation n-aire dans le bandeau. 4) Vous écrivez les noms des constituants de la relation les uns sous les autres. Et vous voilà avec un schéma conceptuel. Finalement, conceptualiser c'est facile.

Les cercles d'Euler (Euler, Lettres à une princesse d'Allemagne, publiées en 3 volumes à Saint-Petersbourg, de 1768 à 1772, puis à Paris) Chacun des deux termes d'une proposition est symbolisé par un cercle. Pour les propositions universelles, pour l'affirmative (Tout A est B), le cercle A qui symbolise le sujet de la proposition est écrit à l'intérieur du cercle B, pour la négative (Aucun A est B), le cercle A qui symbolise le sujet de la proposition est écrit à l'extérieur du cercle B,

Les cercles d'Euler Pour les propositions particulières, les deux cercles sont en intersection. Pour distinguer l'affirmative de la négative, Euler : pour l'affirmative (quelque A est B), inscrit la lettre A dans la partie en intersection avec B, pour la négative (quelque A n'est pas B), inscrit la lettre A dans la partie qui de B qui est hors du cercle A. Remarque importante : Avec cette notation graphique, le quelque a un sens restrictif dans la mesure où ce sens n'est pas celui de la théorie où "Quelque A est B" est encore vrai lorsque "Tout A est B"

Cercles d ’Euler Aucun poisson n ’est un mammifère Tous les brochets sont des poissons Donc aucun brochet n ’est un mammifère Brochets Poissons Mammifères

Cercles d ’Euler Toutes les bêtes venimeuses sont dangereuses Quelques serpents sont des bêtes venimeuses Donc quelques serpents sont dangereux. Bêtes dangereuses Bêtes venimeuses Serpents

Cercles d ’Euler Aucun étudiant n ’est un imbécile Quelques fumistes sont des étudiants Donc quelques fumistes ne sont pas des imbéciles. 3 lectures possibles de quelques fumistes ne sont pas des imbéciles Imbéciles /\ fumistes = {} imbéciles <: fumistes (imbéciles /\ fumistes) /= {} E F E F I I E F I

Cercles d ’Euleur (limites) Ne conviennent que pour 2 ou 3 termes

Cercles d ’Euleur (limites) Pas de différence entre combinaisons possibles des termes et les propositions C ’est la proposition qui dira si telle ou telle zone est vide.

Diagrammes de Venn Dans l ’interprétation aristotélicienne, on présuppose l ’existence (Il existe au moins un) laquelle est liée de manière indissoluble à l ’universalité (tous) Si on sépare les deux (interprétation moderne), les diagrammes d ’Euler ne suffisent plus. Il faut distinguer entre : - le cas où l ’on sait que la classe est vide (avec Venn, hachures) - le cas où l ’on sait que la classe est non vide (avec Venn, on met une X) - le cas où l ’on ne sait rien sur la classe (avec Venn, on laisse à blanc)

Diagrammes de Venn A E a b a b Tout homme est blanc Aucun homme n ’est blanc I O X X a b a b Quelque homme est blanc Quelque homme n ’est pas blanc

Diagrammes de Venn (le syllogisme) Tous les étudiants sont travailleurs Quelques étudiants sont informaticiens Donc quelques informaticiens sont travailleurs Technique : on note tout ce qui est affirmé par les prémisses, par des hachures pour les universelles par des croix pour les particulières T E X I On ne doit rien écrire pour ce qui est affirmé par la conclusion car la conclusion n ’affirme rien qui ne soit déjà affirmé par les prémisses, du fait de la validité du syllogisme.

Diagrammes de Venn (le syllogisme) Tous les étudiants sont travailleurs Quelques informaticiens sont travailleurs Donc quelques informaticiens sont étudiants E Si les prémisses sont vraies, la conclusion l ’est peut-être mais pas nécessairement : lorsque le contenu affirmé dans les prémisses ne tranche pas la question, il faut mettre la croix sur la ligne délimitant deux secteurs. I X T

Diagrammes de Venn (spécifiques et généralisés) Source : Notations for software design, Feijs et al. Springer, 1994 S S p p, q q x x y y 2 diagrammes spécifiques équivalents

Diagrammes de Venn (spécifiques et généralisés x x q q y y 2 diagrammes spécifiques équivalents

Diagrammes de Venn (spécifiques et généralisés) x x q q q y y 3 diagrammes spécifiques mutuellement distincts

Diagrammes de Venn (spécifiques et généralisés) ,p, q p, q p p q q p S 5 diagrammes généralisés mutuellement distincts q

Diagrammes de Venn (spécifiques et généralisés) SETS TACHE; PERSONNE VARIABLES employés, programmeurs, relecteurs INVARIANT employés <: PERSONNE & programmeurs : TACHE <--> PERSONNE & relecteurs : PERSONNE <--> PERSONNE & dom (relecteurs) <: ran (programmeurs) & ran (programmeurs) <: employés employés Ran (programmeurs) Dom (relecteurs) Ran (relecteurs)

Les diagrammes de Leibniz source :R. Blanché, J. Dubucs, La logique et son histoire, Armand Colin Leibniz utilise les cercles d'Euler qu'il a retrouvés. Il a aussi inventé une notation originale qui n'a pas les défauts des cercles d'Euler. Les droites horizontales représentent l'extension des concepts. Les pointillés verticaux représentent les relations d'inclusion ou d'exclusion, partielle ou totale, entre ces concepts : quand ils tombent sur la ligne horizontale, il y a inclusion et la proposition est affirmative, elle est négative quand ils ne tombent pas sur une ligne horizontale.

Les diagrammes de Leibniz Universelle affirmative Tout B est C B C Universelle négative Nul B n ’est C B Particulière affirmative B Quelque B est C

Les diagrammes de Leibniz Particulière négative Quelque B n ’est pas C B C Barbara (1er mode de la 1ière figure du syllogisme) Tout C est B B Tout D est C C Tout D est B D

Notation de Frege Archimède a été tué lors de la prise de Syracuse Contenu conceptuel : la mort violente d ’Archimède lors de la prise de Syracuse - une assertion qu ’on peut formuler en ajoutant …est un fait A contenu assertion A

Notation de Frege A contenu assertion A A Non A A Si B alors A B

Notation de Frege Si B alors non A A B Négation de Si B alors A A B

Notation de Frege Les autres connecteurs s ’expriment ainsi : Conjonction (négation de Si B alors non A) A B disjonction A B

Notation de Frege A C B C A B C Si B et C alors A, Si C alors B alors Si C alors A

Notation de Frege L ’oxygène est plus léger que l ’acide carbonique F (A) … est plus léger que ... Y (A, B)

Notation de Frege Pour tout a, F(a) F (a) a F (a) a Pour tout a, non F (a) F (a) F (a) a a Universelles Particulières

Les diagrammes de Heinrich Lambert (1728-1777) source :R. Blanché, J. Dubucs, La logique et son histoire, Armand Colin

Diagrammes de Lambert

Diagrammes de Carroll xy xy ’ x ’y x ’y ’ Quelques xy existent Quelques x existent Aucun x ’y n ’existe

Diagrammes de Carroll xy m ’ xy ’ m ’ xy m xy ’ m x ’y m x ’y ’ m ’ Tout x est y x ’y m ’ x ’y ’ m ’ Tout x est m

Diagrammes de Carroll Tout x est m

Notation de Pierce ou une boxologie intelligente Charles S. Pierce, Collected papers of C. S. Pierce, ed. C. Hartshorne, P. Weisse, vol 4, Cambridge, Mass, Harvard U. Press, 1933

Notation de Pierce

Notation de Pierce

Notation de Pierce On constate que la quantification universelle (que l'on vient d'exprimer par la quantification existentielle) - tout groupe a un responsable peut s'écrire il n'y a pas de groupe sans responsable - apparaît visuellement : on peut lire alors les éllipses comme des "tout" : toute chose belle est bon marché. C'est ça qui est intéressant dans cette notation.

Pierce et Peano Pierce Peano Pierce Peano P Q Not (not P /\ not Q) Not (P /\ Q) Not (P /\ not Q) P => Q P Q P Q Not P /\ not Q

Graphe Et-Ou (p /\ (q \/ (r /\ s)) p (q \/ ( r /\ s)) (r /\ s) q s r

Event Tree Analysis pa sorties pb Le système marche Pompe A marche Pompe B marche Le système marche p(a) . P (1-b) P (1 - b) Le système défaille P(a) . P(b) Pompe A défaille Pompe B défaille P (a) P (b)

Arbre d ’héritage figure Fig. ouverte Fig. fermée ellipse segment polygone triangle rectangle cercle carré

Higraph dates Travaille pour mois employés Payé le années secrétaires salaires Arrive en autres équipement boulons pilotes avion Peut voler sur vis